幾何直觀素養(yǎng)培育的基本路徑
——以“勾股定理”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)為例*

孫朝仁 張 靜

(江蘇省蘇州市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 215000) (江蘇省蘇州市教育科學(xué)研究院 215004)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》將“幾何直觀”作為初中學(xué)段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，并明確其內(nèi)涵為“運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣．”具體分為4個(gè)層次：一是能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類；二是根據(jù)語(yǔ)言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；三是建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型；四是利用圖表分析實(shí)際情境和數(shù)學(xué)問(wèn)題，探索解決問(wèn)題的思路．幾何直觀的作用就在于“把握問(wèn)題的本質(zhì)，明晰思維的路徑”，不止于把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，更在于通過(guò)思維交往，探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果．

本文主要以“勾股定理”實(shí)驗(yàn)教學(xué)為思維交往執(zhí)行載體，通過(guò)識(shí)圖抽象、畫圖建模,以及算圖推理等思維交往方式，在“直觀懂”的組織運(yùn)演過(guò)程中，產(chǎn)生新思路、新方案和新方法，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的長(zhǎng)足發(fā)展．

1 識(shí)圖抽象：幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的先行組織

識(shí)圖抽象就是在直觀觀察的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)事物共同屬性的概括，剔除概念的非本質(zhì)屬性，抽象出概念本質(zhì)特征的一種認(rèn)知行為傾向．心理學(xué)認(rèn)為，直觀是從感覺(jué)的具體對(duì)象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的、理想的能力．就這一認(rèn)識(shí)來(lái)說(shuō)，識(shí)圖抽象的前提是呈現(xiàn)先行組織材料，識(shí)圖抽象的過(guò)程是直觀到具體，識(shí)圖抽象的結(jié)果是抽象與表征．換句話說(shuō)，識(shí)圖抽象本身就是一種幾何直觀，是一種先行組織行為，是直觀引起的行為潛能的持久的心理變化．

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材設(shè)置的“章頭圖”，一方面突出了概念的直觀，另一方面凸顯具體概念的本質(zhì)特征．這有助于學(xué)生站在系統(tǒng)的高度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，從直觀過(guò)渡到抽象，建立概念表象，形成概念認(rèn)知產(chǎn)生式．七年級(jí)數(shù)學(xué)第1章“數(shù)學(xué)與我們同行”的設(shè)置，旨在引領(lǐng)蘇科版整套教材教學(xué)導(dǎo)向，讓學(xué)生從生活到數(shù)學(xué)、從活動(dòng)到思考、從具體到抽象、從圖形直觀到概念客觀，形成概念產(chǎn)生式．因此，圖形是從實(shí)物和模型第一次抽象后的產(chǎn)物，也是形象、直觀的語(yǔ)言表征，是識(shí)圖抽象的結(jié)果形態(tài)，是幾何直觀素養(yǎng)發(fā)展的先行組織行為．

一般情況下，抽象的理論概念“只有通過(guò)更為具體的解釋這些概念的模型才能描述世界”．也就是抽象往往需要從具體開(kāi)始，帶有“特殊→一般→特殊”的思想意義．?dāng)?shù)學(xué)教育中的“問(wèn)題情境”抑或“先行組織”都是數(shù)學(xué)抽象的思維基礎(chǔ)，是概念形成的思維運(yùn)行載體，是幾何直觀作用的結(jié)果．蘇科版教材中的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”“數(shù)學(xué)活動(dòng)”“閱讀”“讀一讀”“小結(jié)與思考”“課題學(xué)習(xí)”都是一種先行組織材料，起到幾何直觀的作用，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與把握．當(dāng)然，數(shù)學(xué)作為科學(xué)是不可以有情境的，但作為數(shù)學(xué)教育是可以有情境的．這能讓學(xué)生從具體到抽象，從感性到理性，這就是一種幾何直觀素養(yǎng)．而識(shí)圖抽象的意義就在于讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在直觀的識(shí)圖中，獲得概念抽象的能力，從而發(fā)展幾何直觀、用好先行組織材料．為此，在識(shí)圖抽象層面需要做好三個(gè)方面的工作：一是確立適合的學(xué)習(xí)目標(biāo)，為識(shí)圖提供具體指向；二是在識(shí)圖的過(guò)程中進(jìn)行自然的數(shù)學(xué)抽象，形成事實(shí)概念；三是用好先行組織材料，讓學(xué)生在“模型→圖形→文字→符號(hào)”這個(gè)抽象的過(guò)程中，建立客觀概念．

不妨以“勾股定理”的概念發(fā)生為實(shí)驗(yàn)載體，從“跳一跳，夠得到”的學(xué)習(xí)目標(biāo)出發(fā)，說(shuō)明識(shí)圖抽象的微言大義，突出幾何直觀的躍遷作用，強(qiáng)調(diào)用好“先行組織材料”的指導(dǎo)意義，落實(shí)核心素養(yǎng)發(fā)展的根本任務(wù)．具體識(shí)圖抽象過(guò)程如下：

(1)學(xué)習(xí)目標(biāo)的確立

目標(biāo)1是在具體情境中，探索勾股定理，發(fā)展合情思想；目標(biāo)2是在應(yīng)用勾股定理求直角三角形的未知邊長(zhǎng)中，發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想．這里的第一個(gè)目標(biāo)的關(guān)鍵詞是“探索”，第二個(gè)目標(biāo)的關(guān)鍵詞是“應(yīng)用”，前者指向概念合情思想的建立，后者旨在建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)，以及形成初步的數(shù)形結(jié)合思想．無(wú)論探索還是應(yīng)用，都是“具體→直觀→畫圖”的先行組織行為，這為識(shí)圖抽象提供思維交往的基礎(chǔ)．

(2)欣賞與思考的設(shè)置

包括兩個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1是數(shù)一數(shù)圖案(圖1)中3個(gè)正方形內(nèi)小方格的個(gè)數(shù)，你有哪些發(fā)現(xiàn)？問(wèn)題2是說(shuō)說(shuō)圖案的文化內(nèi)涵，簡(jiǎn)單畫出圖案蘊(yùn)含的基本圖形，并說(shuō)明畫法．問(wèn)題1的設(shè)置，旨在讓學(xué)生從“直觀的數(shù)與算→三個(gè)正方形面積關(guān)系的初步建立→直角三角形三邊關(guān)系的初步確立”，即“9個(gè)小正方形+16個(gè)小正方形=25個(gè)小正方形”，也就是“兩個(gè)較小的正方形的面積和等于較大的正方形的面積”；問(wèn)題2的設(shè)置，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷“模型→圖形→概念”，即“模型”是1955年希臘發(fā)行的一枚郵票，以此紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯對(duì)“勾股定理”證明這一文化內(nèi)涵．畫圖方法是以直角三角形的三邊為邊，向外作正方形，構(gòu)造基本圖形 (圖2)，這就完成了“模型到圖形”的第一次識(shí)圖抽象，為概念符號(hào)的建立，以及文字表征奠定了直觀的先行組織行為，有效地落實(shí)了核心素養(yǎng)的發(fā)展目標(biāo)．

圖1 圖2

2 畫圖建模：幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的心理前提

畫圖建模是引起幾何直觀能力變化的持久性心理傾向，是培養(yǎng)初中階段學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的思維途徑．“畫圖→建?！钡谋举|(zhì)就是建立概念的心理原型，它起于“畫圖”，成于“建?！?，終于“直觀的懂”．實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中的“說(shuō)一說(shuō)”“做一做”“議一議”“試一試”都是畫圖建模的重要方式，是幾何直觀素養(yǎng)得以培養(yǎng)和緩存的心理前提．具體來(lái)說(shuō)，我們通過(guò)畫“線段的垂直平分線”，不止于“會(huì)畫”，更在于通過(guò)“動(dòng)手畫”，建立概念原型，揭示“線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”，促進(jìn)線段是軸對(duì)稱圖形這一概念表象的建立；我們依據(jù)作法，畫“角的平分線”，不止于畫，不止于建立軸對(duì)稱性，更在于揭示畫法的合情依據(jù)(“邊邊邊”或SSS)，從而使得畫圖、猜想、驗(yàn)證在實(shí)驗(yàn)教育學(xué)體系內(nèi)，有了高度的統(tǒng)一性．這就是一種實(shí)驗(yàn)哲學(xué)，具體與抽象，或者畫圖與建模．在希爾伯特看來(lái)，了解一種理論的最好方法是找出然后研究那種理論的原型的具體例子．這里的“原型”可以理解為概念對(duì)象，而“具體例子”就相當(dāng)于“舉例說(shuō)明”的直觀作用．基于這樣的認(rèn)識(shí)，畫角平分線、線段的垂直平分線，就是建立“軸對(duì)稱圖形”這一概念原型，形成概念產(chǎn)生式．

不難理解，幾何直觀是一種思維活動(dòng)，是人腦對(duì)客觀事物及其關(guān)系的一種直接識(shí)別或猜測(cè)的心理狀態(tài)．畫圖本身就是一種幾何直觀，而“畫圖→建模”則是對(duì)象關(guān)系識(shí)別與建立的通用技術(shù)，有助于幾何直觀素養(yǎng)層級(jí)的提升與轉(zhuǎn)化，是學(xué)生直觀理解概念的思維抓手．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》在“課程內(nèi)容”部分明確指出，在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖痕跡，不要求寫出作法．其中，“探討作圖道理+保留作圖痕跡”的過(guò)程就是畫圖建模的實(shí)踐形式，有助于建立識(shí)別和猜測(cè)，促進(jìn)“直觀懂”的從天而降，落實(shí)概念的有質(zhì)量形成．教師應(yīng)當(dāng)努力開(kāi)發(fā)制作簡(jiǎn)便實(shí)用的教具和學(xué)具，有條件的學(xué)?？梢越ⅰ皵?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”供學(xué)生使用，這也在結(jié)論的背后，強(qiáng)調(diào)發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)的重要性和方法指導(dǎo)．為此，在畫圖建模維度，需要做好三個(gè)方面的工作，方能提高幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的水平：一是任意畫圖，在辨別中形成直觀概念心理；二是畫一畫，在直觀猜想中建立概念屬性；三是變式畫圖，促進(jìn)概念本質(zhì)特征的形成，形成“完形”概念產(chǎn)生式．

不妨以“勾股定理”的概念形成為實(shí)驗(yàn)載體，基于畫圖建模，突出幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的能力傾向，落實(shí)“直觀懂”的意義．具體實(shí)驗(yàn)操作如下：

首先要求在方格紙上進(jìn)行“畫一畫”活動(dòng)．(1)任意畫一個(gè)直角三角形，兩條直角邊的長(zhǎng)分別為

a

,

b

，斜邊為

c

，并以三邊為邊向外作正方形，其中兩個(gè)小正方形的面積與大正方形面積之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并說(shuō)明理由；(2)任意畫一個(gè)銳角三角形，三邊長(zhǎng)分別為

a

,

b

,

c

，并以三邊為邊向外作正方形，其中兩個(gè)小正方形面積與大正方形面積之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？任意畫一個(gè)鈍角三角形呢？為什么？活動(dòng)(1)旨在讓學(xué)生從問(wèn)題到建模，借助探討正方形面積關(guān)系，形成勾股定理的初步概念；活動(dòng)(2)旨在讓學(xué)生通過(guò)補(bǔ)償畫圖，產(chǎn)生概念辨別心理，直接對(duì)概念對(duì)象進(jìn)行理解與把握．其中，任意畫一個(gè)直角三角形是一種半開(kāi)放問(wèn)題，而任意畫一個(gè)銳角三角形和一個(gè)鈍角三角形，是一種變式畫圖，有助于學(xué)生在直觀畫中，形成猜想、形成辨別能力，突出直角三角形的三邊關(guān)系，這就是畫圖建模的思維通道，有助于幾何直觀素養(yǎng)的自然積淀．接下來(lái)，教師呈現(xiàn)3個(gè)所畫圖形(圖3)．其中，圖3(1)旨在強(qiáng)調(diào)割補(bǔ)法對(duì)勾股定理概念形成的不可或缺性，是幾何“三大語(yǔ)言”轉(zhuǎn)換的思維現(xiàn)場(chǎng)(

a

+

b

=

c

)；圖3(2)和圖3(3)旨在讓學(xué)生建立一般三角形的三邊關(guān)系，即

a

+

b

>

c

或

a

+

b

<

c

．如果說(shuō)任意畫建立了語(yǔ)言概念，那么辨別畫建立了特征概念，而“語(yǔ)言關(guān)系→圖形關(guān)系→符號(hào)關(guān)系”的轉(zhuǎn)換與建立，是勾股定理形成的標(biāo)志，實(shí)現(xiàn)了畫圖建模的目標(biāo)．

圖3

3 算圖推理：幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的運(yùn)演條件

計(jì)算是一種邏輯推理，具有非完全演繹性，是直觀思維得以過(guò)渡的運(yùn)演條件，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)．算圖推理顧名思義，就是讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算圖形的面積，在幾何思維的參與下，揭示概念對(duì)象的本質(zhì)．在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中，“拼圖→算圖→公式”“畫圖→算圖→勾股定理”“打印紙→折紙→長(zhǎng)與寬的比值的確立”“無(wú)蓋立方體的制作→規(guī)律的發(fā)現(xiàn)”，等等都是算圖推理的實(shí)驗(yàn)形式，有助于直觀到抽象、直觀到建模、直觀到推理，形成“知其然，知其所以然”的直觀背后的運(yùn)演能力．事實(shí)上，就當(dāng)前的初中教育現(xiàn)狀來(lái)說(shuō)，合格型數(shù)學(xué)教師依然是重視教知識(shí)，輕視教能力，課堂還是“一個(gè)概念+三項(xiàng)注意+復(fù)式練習(xí)”，“燒中段”現(xiàn)象極為普遍．就這一現(xiàn)象來(lái)說(shuō)，課堂轉(zhuǎn)型亟待解決，概念使用亟待規(guī)范，方能讓學(xué)生在使用概念中形成概念能力，發(fā)展直觀素養(yǎng)．算圖推理是數(shù)學(xué)教育的一種“直觀懂”的方式，是將感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)的一劑思維良藥．在西方哲學(xué)家看來(lái)，直觀就是未經(jīng)充分的邏輯推理而對(duì)事物本質(zhì)的一種直接洞察、直接把握對(duì)象的全貌和對(duì)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)．這里的“洞察→把握→對(duì)象本質(zhì)”是算圖推理的重要環(huán)節(jié)，“洞察”在于幾何直觀，“把握”在于將感性上升為理性，“對(duì)象本質(zhì)”在于關(guān)系性理解．正如斯根普指出的那樣，只有從工具性理解(幾何直觀)達(dá)到關(guān)系性理解(算圖推理)，學(xué)生才能把握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)．

算圖推理起于直觀，終于邏輯，是邏輯推理的初級(jí)形式，有助于初中階段學(xué)生直觀地學(xué)好數(shù)學(xué)．在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)算理學(xué)范疇，邏輯推理是從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過(guò)程．這里的“邏輯推理”是非完全演繹形式，屬于算理邏輯的一種形式．“拼圖→整式乘法+因式分解”“一提+二套+三分解”等都是算圖推理的常見(jiàn)邏輯運(yùn)演形式．這有助于學(xué)生“知其所以然”，建立概念關(guān)聯(lián)．“邏輯規(guī)則”在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)領(lǐng)域被解釋為實(shí)驗(yàn)步驟，就像“分式游戲”活動(dòng)中的規(guī)則那樣：每人制作幾張卡片，在卡片上寫一個(gè)簡(jiǎn)單的整式或運(yùn)算符號(hào)；將其中的兩張卡片分別放在分子、分母上，它們組成的式子是分式嗎？如果是分式，它什么時(shí)候有意義？它的值能為0嗎？這些“？”都是邏輯規(guī)則的外在表現(xiàn)形式，需要在直觀支持下的算理解釋，是對(duì)幾何直觀的有效反芻．為此，在算圖推理過(guò)程中，需要做好三個(gè)方面的工作：一是變式訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的進(jìn)一步把握；二是小結(jié)與思考，實(shí)現(xiàn)將課時(shí)概念上升為單元概念；三是概念關(guān)聯(lián)，在進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)中，獲得直觀素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)發(fā)展．

不妨以“勾股定理”的概念使用為實(shí)驗(yàn)載體，運(yùn)演算圖推理的實(shí)踐行為，落實(shí)直觀素養(yǎng)的系統(tǒng)培養(yǎng)目標(biāo)．具體實(shí)驗(yàn)過(guò)程如下：

首先呈現(xiàn)“使用概念”的算圖推理的3個(gè)問(wèn)題．(1)在圖4中，當(dāng)

x

=5，

y

=12時(shí)，

z

=

；當(dāng)

x

=8，

z

=17時(shí)，

y

=

．(2)在圖4中，如果兩個(gè)小正方形的面積分別是81和144，則

z

=

．(3)如圖5，直線

l

上有3個(gè)正方形

a

,

b

,

c

，若

a

,

c

的面積分別為5和11，則

b

的面積是多少？

圖4 圖5

第(1)題是對(duì)勾股定理的工具性使用，第(2)題是回歸概念，第(3)題是關(guān)系性理解，在全等 變換思維的參與下，落實(shí)算圖推理，實(shí)現(xiàn)了將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力．如果說(shuō)，前兩個(gè)問(wèn)題是使用概念，則后一個(gè)問(wèn)題是概念關(guān)聯(lián)，有助于課時(shí)概念上升為單元概念，發(fā)展了學(xué)生的使用概念和運(yùn)演概念能力．

圖6 圖7

接著，呈現(xiàn)“小結(jié)與思考”板塊．(1)經(jīng)歷上述“畫一畫”活動(dòng)，你得到了怎樣的結(jié)論？(2)如圖6，若每個(gè)小方塊的面積都為1，畫出圖中以格點(diǎn)為端點(diǎn)且長(zhǎng)度為5的線段；

(3)制作8張如圖7的直角三角形紙片，分別拼成邊長(zhǎng)為

c

或(

a

+

b

)的正方形，你有何發(fā)現(xiàn)？

第(1)題是回歸概念，突出勾股定理核心概念的再認(rèn)知活動(dòng)；第(2)題是對(duì)概念的變式使用，為后續(xù)“勾股定理逆定理”的學(xué)習(xí)鋪設(shè)思維；第(3)題為勾股定理的驗(yàn)證提供活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，突破了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理解維度，立足于“系統(tǒng)概念”的建立，落實(shí)直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)功能．如果說(shuō)“小結(jié)與思考”的第一個(gè)問(wèn)題屬于一種變式智慧，則后兩個(gè)問(wèn)題屬于將課時(shí)概念上升為單元概念的新思想，很好地運(yùn)演了算圖推理．這種將系統(tǒng)概念的工具性理解上升為概念的關(guān)系性理解，能促進(jìn)概念對(duì)象的把握，這才是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)未來(lái)課堂的樣態(tài)．