淺析放縮式在不等式證明中的應(yīng)用

◎孟麗萍

(青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,青海 西寧 810008)

一、引 言

數(shù)學(xué)方法是指通過運(yùn)用事物之間的各種位置和空間關(guān)系抓住事物的本質(zhì)，對各種已知條件和推出的條件加以整合、組織，使其推出結(jié)論的過程中所運(yùn)用的手段、模式、方式等例如待定系數(shù)法、配方法、向量法、放縮法、換元法、演繹法、反證法等，它們都是人們經(jīng)過長期刻苦地專研、認(rèn)識(shí)和實(shí)踐研究出來的解決問題的“門路”和“程序”放縮法是數(shù)學(xué)方法中重要的一種，能夠?qū)?shù)學(xué)問題化難為易、化繁為簡

放縮法，顧名思義就是把代數(shù)式中的某些部分恰當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，得到相應(yīng)的不等式，研究它的性質(zhì)，以達(dá)到解題的目的舉個(gè)例子：要證明+2+2恒為正數(shù)，就要證明+2+2>0，很多人會(huì)通過=1>0且=-4=4-8=-4<0 來證明=+2+2的函數(shù)圖像在軸上方，從而恒為正數(shù)但我們可以發(fā)現(xiàn)，+2+2=(+1)+1，又因?yàn)橥耆椒绞欠秦?fù)數(shù)，所以+2+2=(+1)+1≥1>0，所以+2+2恒為正數(shù)這個(gè)過程就用到了簡單的放縮思想，即要證明>，如果已知>，那么我們只要證明≥，則可以證明>這里要注意不等號(hào)的方向只有同向才能進(jìn)行傳遞

放縮式是放縮法的重要組成部分，是放縮法的“骨肉”用好放縮法的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用放縮式，我們既然想去放縮一個(gè)式子來證明不等式，那最基本、最重要的就是掌握一些重要的放縮式

二、放縮式

這里將放縮式分為基本放縮式和變形放縮式基本放縮式也就是常說的“不等式串”，大部分放縮式都由它變形而來，是必須掌握的放縮式

變形放縮式大部分是由基本放縮式靈活變形而來的

1e-1≥?e≥+1?e-1≥(把-1 看成整體)?e≥e

2≥ln(+1)?-1≥ln

6-≥-1(當(dāng)=1時(shí)取等號(hào))

三、放縮小技巧

(一)不等號(hào)的方向

1求證：e-2eln≥e(-2+2)

要直接證明這個(gè)式子可能有點(diǎn)難度，不妨分幾步來想：

①兩邊約去e，即證e-1-2ln≥-2+2；

②我們可以發(fā)現(xiàn)式子右邊是二次函數(shù)，左邊是指數(shù)和對數(shù)式，從右邊到左邊證明會(huì)有點(diǎn)難，故不妨從左往右證明推；

③但我們只能往小處放(根據(jù)題目要求，往小于號(hào)處走)，又發(fā)現(xiàn)ln前邊有負(fù)號(hào)，故不等號(hào)方向問題也解決了，即-ln≥-+1；

④則有e-1-2ln≥·+2(1-)=-2+2

e-2eln=e(e-1-2ln)

≥e[+2(1-)]=e(-2+2)

(二)整體代換

整體代換使用的是數(shù)學(xué)中的整體思想，比如e-1≥?e≥+1?e-1≥，這個(gè)式子中便運(yùn)用了此方法，學(xué)會(huì)將已知的放縮式變更為解題需要的放縮式很重要

我們同樣分成幾步來考慮：

≥e(ln-ln)=0

(三)調(diào)整次數(shù)

我們知道，當(dāng)>1時(shí)，有>，再利用變形放縮式-1≥ln即可求解

=9>9(ln+1)=9+9ln

>9+ln

(四)上冪

“上冪”的精髓在于把相乘的式子化為對數(shù)式，比如e=e+ln ≥+ln+1(>0),這個(gè)式子巧妙的地方在于將e變?yōu)閑+ln ，然后運(yùn)用 e≥+1這個(gè)放縮式進(jìn)行變形

四、放縮式的應(yīng)用

放縮式的應(yīng)用極為廣泛，在求函數(shù)極值、數(shù)列求和以及不等式證明中經(jīng)常會(huì)用到放縮法，是高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，掌握基本放縮式與變形放縮式對于快速、準(zhǔn)確地解題有很大幫助下面，我們從導(dǎo)數(shù)放縮和數(shù)列放縮兩方面對放縮式在不等式證明中的應(yīng)用進(jìn)行分析

4已知()=e+-,()=ln(+1)+2，當(dāng)≥1時(shí)，證明：()≥()-

因?yàn)椤?，所以e+≥e+1，利用放縮式e≥+1以及放縮小技巧中的整體代換思想，可得出e+1≥(+1)+1，即可得證

原式即證e+≥ln(+1)+2

∵e+≥e+1≥(+1)+1=+2≥ln(+1)+2,

∴()≥()-

此題利用放縮式-1≥ln即可得證

∴()<-1

(1)討論()的極值；

此題有一定難度，第二問證明充分性時(shí)運(yùn)用了在(1,+∞)上e-1≥和≥

①當(dāng)≤0時(shí)，′()<0，()在(0,+∞)上單調(diào)遞減，無極值；

故()>(1)=0

綜上所述，的最小值為1

7已知數(shù)列{}的首項(xiàng)為1，為數(shù)列{}的前項(xiàng)和，+1=+1，其中>0，∈

(1)若2,,+2成等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；

(1)由題+1=+1……①，

可知當(dāng)≥2時(shí)，=-1+1……②，

兩式相減，可得+1=，

即從第二項(xiàng)開始是公比為的等比數(shù)列

當(dāng)=1時(shí)，代入①式，可得+=+1，

∴=，即是首項(xiàng)為1、公比為的等比數(shù)列

根據(jù)2,,+2成等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)，可得2++2=3+2=2，

由題，>0，可知=2，∴=2-1,∈

由(1)可得,{}為首項(xiàng)為1、公比為的等比數(shù)列，

原式得證

五、結(jié) 論

放縮式可以與很多知識(shí)內(nèi)容相結(jié)合，學(xué)生要具有較強(qiáng)的觀察能力和應(yīng)變能力，才能對式子進(jìn)行合理的放縮放縮法以及放縮式的教學(xué)有利于增強(qiáng)學(xué)生分析和解決問題的能力及邏輯思維能力，在合理放縮的過程中也能體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造力和探索能力正所謂“授人以魚，不如授人以漁”，數(shù)學(xué)方法就是“漁”的工具、策略數(shù)學(xué)方法的教學(xué)適應(yīng)了科技不斷發(fā)展、知識(shí)不斷更新的需要，它有利于知識(shí)的遷移和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)方法，才能在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)舉一反三