數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運用策略探究

福建省三明學(xué)院附屬小學(xué) 廖加慶

數(shù)形結(jié)合具體指的是根據(jù)數(shù)形間的相應(yīng)關(guān)系，通過有效轉(zhuǎn)化數(shù)形來進行問題解決的一項思維方式。新課程背景下的“數(shù)形結(jié)合”思想，貫穿整個小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。目的在于對學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)與提高。

一、數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中運用的意義

教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)解題中運用數(shù)形結(jié)合的方式可以將數(shù)學(xué)問題通過圖形直觀地呈現(xiàn)出來，有利于學(xué)生探索空間的擴增，促使學(xué)生能夠由不同層級以及角度來開展邏輯思維活動。在進行數(shù)學(xué)問題解答時教師利用直觀的圖形來呈現(xiàn)出抽象的數(shù)量問題，可以讓學(xué)生更為清晰地掌握不同知識點間的邏輯關(guān)系，讓其更容易理解問題，并且可以引導(dǎo)學(xué)生利用掌握的知識以及學(xué)習(xí)經(jīng)驗來進行分析與歸納，得到一個較為全面的解題思路，對于其解題效率以及質(zhì)量的提升有著非常積極的現(xiàn)實意義。

二、數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運用策略

1.運用數(shù)形結(jié)合使學(xué)生養(yǎng)成良好習(xí)慣。

良好的習(xí)慣是成功的一半。數(shù)形結(jié)合是我們在數(shù)學(xué)解題中最常用、最有效的思想方法。數(shù)形結(jié)合解題能力的培養(yǎng)也是我們數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)內(nèi)容的一部分和努力的方向。如在教學(xué)“雞兔同籠”的過程中，我們采用假設(shè)法解題時，教師單純地用語言一直強調(diào)雞和兔兩個變量的變化，效果肯定不是很顯著，若用數(shù)形結(jié)合，通過學(xué)生想一想、畫一畫、再想一想、再畫一畫，幫助學(xué)生理解題目中雞和兔這兩個變量，從而引發(fā)學(xué)生的聯(lián)想，啟發(fā)孩子的思維，把化繁為簡、化難為易的思想方法深入孩子的心理，潛移默化中悟出畫圖方法的好處，感受到數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點，為學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣奠定基礎(chǔ)。

2.運用數(shù)形結(jié)合來理解抽象概念。

因為在小學(xué)數(shù)學(xué)中許多概念都比較抽象，但是小學(xué)生因為生活經(jīng)驗不足，且抽象思維受限，所以理解起來難度較大。因此教師可以合理滲透數(shù)形結(jié)合的方法理念，合理轉(zhuǎn)化圖形與數(shù)據(jù)，直觀地呈現(xiàn)出抽象的數(shù)學(xué)概念，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和解題能力。如在一年級上冊“認(rèn)位置”學(xué)習(xí)過程中，教師可以設(shè)計以下幾個題目：①一年級小朋友在排隊，小明前后分別有3人與6人，總共有多少名學(xué)生在排隊？②有一些小朋友在排隊，由前到后數(shù)，小麗是第三位，由后往前數(shù)，她是第六位，排隊的小朋友一共有多少位？在解答題目①時，算式為3+6+1=10；解答題目②時，列出算式：3+6-1=8。在解答這兩道題時，較易導(dǎo)致學(xué)生思維混亂，分不清楚是要在什么時候“+1”，什么時候“-1”。所以教師能夠采取屬性結(jié)合的方法，把學(xué)生用圓圈代替，并在黑板上畫圖，讓學(xué)生能夠直觀地了解到什么時候“+1”，什么時候“-1”。通過數(shù)形結(jié)合的方法可以讓學(xué)生通過圖形掌握本質(zhì)內(nèi)容，將直觀地畫圓圈數(shù)數(shù)的方式呈現(xiàn)出排隊的問題，讓解題變得更為直觀與簡單。

3.運用數(shù)形結(jié)合來理解算理與算法。

因為數(shù)和形存在著非常密切的聯(lián)系，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運算定律時教師可以合理運用數(shù)形結(jié)合的方式來幫助學(xué)生理解運算定律，正確使用計算方法，直觀地呈現(xiàn)出抽象的數(shù)學(xué)概念。例如，在對“乘法分配律”進行教學(xué)過程中，在開展簡易計算估測中，一些學(xué)生使用乘法分配律往往會出現(xiàn)錯誤，并不會深究其原因，也沒能正確認(rèn)知相應(yīng)的算理。在小學(xué)階段，學(xué)生的思維由具體形象思維轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄笏季S，而在學(xué)習(xí)乘法分配律時存在一定的抽象性，所以學(xué)生學(xué)習(xí)起來存在一定難度，所以教師能夠利用屬性結(jié)合的方式，通過面積解題的方法來讓學(xué)生對運算定律有一個更深刻的理解。又如，“真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)”這部分內(nèi)容的重點是加強學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)知，在此之前學(xué)生應(yīng)掌握了分?jǐn)?shù)的意義以及相關(guān)的內(nèi)容，因為真假分?jǐn)?shù)這一知識概念具有較強的抽象性，所以知識采取單純的講解教學(xué)難以獲得理想效果。所以教師可以運用數(shù)形結(jié)合的理念，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系其直線上點以及圖形，利用“1”作為分解，讓學(xué)生對真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)進行判斷。不過在此過程中學(xué)生可能會出現(xiàn)認(rèn)知上的偏差，所以，教師能夠引導(dǎo)學(xué)生回憶之前學(xué)習(xí)過的分?jǐn)?shù)知識，隨后應(yīng)用“面積模型”，采取畫陰影的方式來代表分?jǐn)?shù)，這樣學(xué)生能夠更易于理解。

4.運用數(shù)形結(jié)合來建設(shè)動態(tài)圖形表征。

運用數(shù)形結(jié)合建設(shè)起相應(yīng)的圖形表征，能夠讓學(xué)生在觀察圖形過程中將新舊知識充分融合起來，循序漸進地掌握算例，運用算法，獲得正確的解題思維，從而可以促使學(xué)生在解題、推理、假設(shè)以及驗證環(huán)節(jié)能夠自主理清思路，將相關(guān)知識內(nèi)容有效聯(lián)系起來。例如在解答題目“小銘、小莉還有小紅一起吃相同蛋糕，其中每人吃了個，請問這三人總共吃了多少個？”通過問題來將算理分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘引出，引導(dǎo)學(xué)生在自主思考以及運算推理中更好地掌握并優(yōu)化解題步驟與方法，正確認(rèn)識分?jǐn)?shù)乘法的意義，并熟練運用相關(guān)計算法則。因為該道題中存在比較抽象的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生難以展開深入的思考，所以教師能夠運用方格圖形來將問題結(jié)構(gòu)直觀地呈現(xiàn)出來，減小解題難度，能夠讓學(xué)生根據(jù)自己掌握的知識經(jīng)驗，經(jīng)過思考、對比來對整數(shù)乘法有一個大致的理解。由此可以發(fā)現(xiàn)，抽象的數(shù)量關(guān)系能夠利用圖形直觀清楚地呈現(xiàn)出來，有利于學(xué)生能夠在實質(zhì)上理解分?jǐn)?shù)乘法，此時教師還可利用圖形來引導(dǎo)學(xué)生由圖形處理的層面逐步深入的聯(lián)系起分?jǐn)?shù)乘法算式和圖形。教師通過提問“是否還有更為簡便的方法來計算出來引導(dǎo)學(xué)生將圖形表征有效結(jié)合起來?！懊课煌瑢W(xué)分別吃了，也就是兩個，那么三位同學(xué)總共是吃了六個，所以這道題最終目的是要算出3×。不僅如此，教師還應(yīng)當(dāng)要引導(dǎo)學(xué)生對其運算所得的結(jié)果進行分析與參數(shù)，讓其能夠更為透徹地掌握解題步驟，了解題目中給出的已知條件，進而更好地掌握分?jǐn)?shù)和整數(shù)乘法的意義所在。3×也就是將三個加起來，學(xué)生通過將加法向乘法算式轉(zhuǎn)換，并進行圖形分析能夠正常進行解答由此也更好地掌握了分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的意義。在解題過程中運用數(shù)形結(jié)合的思想要求教師能夠關(guān)注學(xué)生空間想象力以及幾何直觀能力的培養(yǎng)，讓其在動手實踐過程中進行分析與思考，讓其能夠利用圖形更好地發(fā)現(xiàn)與掌握數(shù)學(xué)規(guī)律。

5.運用數(shù)形結(jié)合創(chuàng)設(shè)解題情境。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中合理利用圖形能夠有利于學(xué)生思維的發(fā)散與開闊，加深其對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解與影響，所以在解題過程中教師需要重點提高學(xué)生利用圖形來分析并處理問題的能力。為了有效吸引學(xué)生注意，調(diào)動其解題積極性，教師可以利用多種直觀圖形來創(chuàng)設(shè)多元化的學(xué)習(xí)情境，并將數(shù)學(xué)運算的定律呈現(xiàn)出來。因為學(xué)生在解題時能夠完成知識經(jīng)驗的建設(shè)，教師需要圍繞學(xué)生思維、判斷、辨別等能力的提升來引導(dǎo)其聯(lián)系實際生活經(jīng)驗來進行解題，通過利用圖形結(jié)構(gòu)來將數(shù)量關(guān)系反映出來不但能夠提高學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，而且還能讓其體會到實際生活重視數(shù)學(xué)的重要價值。如在對“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”學(xué)習(xí)過程中，教師可以給予學(xué)生已有的生活經(jīng)驗來創(chuàng)設(shè)相應(yīng)情境，讓其得以在靈活轉(zhuǎn)變數(shù)據(jù)和圖形過程中正確掌握百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)間的差別，并了解到生活中百分?jǐn)?shù)的有效作用：“許多同學(xué)都喜歡喝蘋果汁，某類飲料中蘋果汁含量是55%，請問蘋果汁含量是55%是什么意思？___是___的55%？連續(xù)地追問，引發(fā)學(xué)生對生活中的問題進行思考。并將這55%在方格中呈現(xiàn)出來”學(xué)生回答出來后教師可以進一步提問，“蘋果汁含量還可以再多點嗎？能夠達到110%嗎”引導(dǎo)學(xué)生利用表格中的數(shù)據(jù)與信息來思考蘋果汁含量能否大于100%。學(xué)生通過直觀的圖形觀察與分析能夠快速理解數(shù)量關(guān)系以及認(rèn)識到百分?jǐn)?shù)是屬于部分與整體比較的關(guān)系，一定是在100%以內(nèi)。因為數(shù)量關(guān)系對于小學(xué)生而言比較抽象與乏味，學(xué)習(xí)難度較大，所以難以提起學(xué)習(xí)興趣，因此要求教師能夠基于學(xué)生已有的知識以及生活經(jīng)驗，合理運用數(shù)形結(jié)合的方式來促使學(xué)生探究在圖形中所蘊含的數(shù)量關(guān)系以及已知條件，讓其能夠在繪制、觀察、分析以及推理圖形時體會到問題解決的快樂，提高其學(xué)習(xí)興趣與自信。

6.運用數(shù)形結(jié)合做好圖形結(jié)構(gòu)的分析。

數(shù)形結(jié)合一個顯著特征在于能夠?qū)崿F(xiàn)抽象問題的精簡化以及直觀化，在解題過程中教師可以有意識地引導(dǎo)學(xué)生在歸納與分析圖形時自主反思學(xué)習(xí)成果，并且在掌握數(shù)學(xué)規(guī)律時能夠充分融合新舊知識，構(gòu)建起較為系統(tǒng)的知識架構(gòu)，提高其數(shù)學(xué)問題的解答效率。如，在對“扇形統(tǒng)計圖”進行學(xué)習(xí)過程中，相關(guān)數(shù)據(jù)能夠利用扇形統(tǒng)計圖來呈現(xiàn)出來，引導(dǎo)學(xué)生通過分析圖形數(shù)據(jù)來對其變化情況與規(guī)律進行分析與總結(jié)，正確認(rèn)識到扇形統(tǒng)計圖中所呈現(xiàn)出來的總數(shù)和部分?jǐn)?shù)量的關(guān)系。如，教師可以利用扇形統(tǒng)計圖來將牛奶的營養(yǎng)成分呈現(xiàn)出來，如圖1所示。同時引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，讓其能夠在觀察與分析過程中將回憶學(xué)習(xí)過的知識，并將條形統(tǒng)計圖的特征與之相聯(lián)系，形成較為全面的數(shù)據(jù)分析概念。不僅如此教師還能夠利用百分比的實際含義來鼓勵學(xué)生將學(xué)習(xí)過的折線統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖以及百分?jǐn)?shù)等知識相聯(lián)系起來，以更好地理解扇形統(tǒng)計圖的特征還有其在生活中的實際應(yīng)用，促使學(xué)生將數(shù)學(xué)知識與實際生活相聯(lián)系起來。

圖1 牛奶營養(yǎng)成分扇形統(tǒng)計圖

由于小學(xué)數(shù)學(xué)中會學(xué)習(xí)到許多基礎(chǔ)性的幾何知識，學(xué)生在進行學(xué)習(xí)時往往是根據(jù)實物為基準(zhǔn)，也就是說停留于表象上的認(rèn)識。所以教師應(yīng)當(dāng)要注重學(xué)生空間知識體系的建設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生將有關(guān)的集合知識進行總結(jié)與歸納，形成完善的知識架構(gòu)，這樣能夠有利于其空間觀念的形成，提高知識的應(yīng)用能力。例如，在“圓的面積”學(xué)習(xí)中，教師不能單純讓學(xué)生死記圓的公式，一定要讓學(xué)生回憶如何推導(dǎo)出已經(jīng)學(xué)過平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形的面積，接著使用有關(guān)圓的教學(xué)器具，引導(dǎo)學(xué)生會用剪拼、割補法來拼湊成已經(jīng)學(xué)過的長方形，掌握相應(yīng)的轉(zhuǎn)化思想，這樣就能夠讓學(xué)生可以串聯(lián)并運用起之前學(xué)習(xí)過的知識內(nèi)容，為今后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

7.運用數(shù)形結(jié)合提高解決問題能力。

解決問題是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要內(nèi)容，但是不少學(xué)生都會對解決問題存在恐懼心理。因為其具有一定的復(fù)雜性，學(xué)生極易弄混題目條件，讀不懂其相關(guān)信息的聯(lián)系。但是在解答該類題目時應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方式就能夠有效防止該類情況出現(xiàn)。

在解題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在讀取每一條件時，就合理轉(zhuǎn)化“數(shù)”和“形”，理清解題思路。如，在學(xué)習(xí)“計算多邊形面積”過程中，教師可以設(shè)計這樣的應(yīng)用題“商店售賣的三角巾是等腰三角形，其高與底均為9分米，現(xiàn)有長方形布料，寬度為18分米，長度為72分米，那么最多可以做出多少塊這樣的三角巾？”大部分學(xué)生很快都能寫出72×18÷（9×9÷2）=32。此時教師可以進一步引導(dǎo)學(xué)生思考其他解決方法，提示學(xué)生能夠利用數(shù)形結(jié)合的方式來進行，學(xué)生通過互相交流與分析，按照題目意思來繪畫出相應(yīng)的示意圖，從而得到72÷9×2×（18÷9）、72×18÷（9×9）×2以及72÷9×（18÷9）×2這幾種算法。在解題過程中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方式可以有助于學(xué)生快速分析出題內(nèi)的數(shù)量關(guān)系，將解題難度降低，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散。又如，在“植樹問題”教學(xué)中，借助生活中的實例，如路邊的大樹、路燈、手指課件演示，在該課教學(xué)中把一一對應(yīng)數(shù)學(xué)思想方法作為支點，從而引出間隔與間隔數(shù)，為新課學(xué)習(xí)作鋪墊。課前我出示“為了美化環(huán)境，在500m的道路兩端種植樹木，每棵樹木間距為5m，總共需種植多少棵樹木？”我從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā)，要求學(xué)生來畫示意圖來模擬種樹，再將學(xué)生畫的示意圖讓學(xué)生展示交流。根據(jù)學(xué)生之間展示的示意圖，再結(jié)合一一對應(yīng)思想，突出了數(shù)形結(jié)合的思想，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，讓學(xué)生感受生活中處處有數(shù)學(xué)知識，也利于學(xué)生的理解和掌握。這就加強了數(shù)與形之間的聯(lián)系，利用數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生體驗到提出、思考、分析并解決問題的過程，讓其發(fā)現(xiàn)并掌握解題技巧，提高其數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

總之，新課程背景下的“數(shù)形結(jié)合”思想，它貫穿整個小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。而小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于對學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)與提高，尤其是空間形式與數(shù)量關(guān)系是學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容。諸多數(shù)學(xué)問題的解答均為根據(jù)“數(shù)”和“形”來展開，正如著名的數(shù)學(xué)家華羅庚所說：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。所以教師們在進行數(shù)學(xué)教學(xué)、解題過程中都需要注重運用數(shù)形結(jié)合的方式，將抽象、復(fù)雜的問題形象化與直觀化，讓學(xué)生更容易理解與掌握，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。