用矩陣研究一維彈性碰撞與圓周率的關(guān)系

岳國聯(lián)，黃紹書，周 奎，張利純，趙慶文

(1. 六盤水市第三中學(xué),貴州 六盤水 553000；2. 六盤水市第八中學(xué),貴州 六盤水 553000)

在靠光滑豎直墻壁的光滑水平面上放置一質(zhì)量為m1的彈性滑塊，在滑塊m1與光滑豎直墻壁之間另放置一質(zhì)量為m2的彈性滑塊.現(xiàn)給m1一個(gè)水平向左的初速度，m1與m2之間以及m2與豎直墻壁之間將會(huì)發(fā)生若干次彈性碰撞.如果m1是m2的1倍、100倍、10 000倍、1 000 000倍、100 000 000倍……那么總碰撞次數(shù)分別為3、31、314、3 141、31 415、……也就是說，一維完全彈性碰撞次數(shù)蘊(yùn)涵著圓周率.

2003年,美國東伊利諾大學(xué)Gregory Galperin教授根據(jù)這一類似的碰撞模型撰文提出了一維彈性碰撞與圓周率的關(guān)系，其主要證明思路是將碰撞次數(shù)問題轉(zhuǎn)化為類似于光學(xué)中平面鏡反射次數(shù)問題來對碰撞過程進(jìn)行闡述[1,2].這一碰撞模型的相關(guān)視頻及討論近年來風(fēng)靡國內(nèi)外的一些網(wǎng)站，從而引起諸多學(xué)者對該問題的研究興趣，也有不少文獻(xiàn)利用速度相空間將此問題轉(zhuǎn)化為圓的問題進(jìn)行研究[3-6].也有文獻(xiàn)采用二階矩陣對此問題進(jìn)行計(jì)算研究[2,6]，但僅作了兩次碰撞的計(jì)算，不夠徹底.

實(shí)踐表明，用二階矩陣對這一連續(xù)多次碰撞問題進(jìn)行計(jì)算和嚴(yán)密的分析處理，顯得更為完善和更具普適性，且更為方便.

1 重構(gòu)模型

不失一般性，假定兩個(gè)彈性滑塊的質(zhì)量m1、m2之間滿足m1=km2，其中k>0.設(shè)初始狀態(tài)m1、m2的初速度分別為u0、v0，m1、m2間第n+1次碰撞前的速度分別為un、vn，如圖1所示.

圖1 一般化碰撞模型

基于這一模型，我們要研究m1、m2間及m2與墻壁間總碰撞次數(shù)與k之間的關(guān)系以及總碰撞次數(shù)與圓周率π之間的關(guān)系.

2 一維彈性碰撞完全解

根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒，m1、m2之間第1次碰撞過程滿足：

(1)

(2)

(3)

由于

m1=km2

(4)

由式(1)—式(4)得m1、m2間第2次碰撞前各自速度為

(5)

連續(xù)的兩次碰撞可看成是一種對速度的變換，因此，可將式(5)寫成矩陣形式，即為

(6)

同理，m1、m2間第n+1次碰撞前速度與初速度之間的關(guān)系可寫成矩陣高次冪形式，即

(7)

令

(8)

設(shè)λ1、λ2分別為行列式|λE-A|=0的兩個(gè)特征根

λ2-2(k-1)λ+(k-1)2+4k=0

(9)

因?yàn)閗>0，式(9)有兩個(gè)不相同的復(fù)根

(10)

(11)

(12)

其中，待定矩陣P、Q由下式確定

(13)

將式(8)、式(10)—式(13)整理并用三角函數(shù)表示，化簡可得

(14)

式中，0≤nθ<2π,由式(7)、(14)得到速度關(guān)系為

(15)

所以，m1、m2間第n+1次碰撞前速度的三角函數(shù)形式表示式為

(16)

式(16)為m1、m2之間第n次碰撞后m1的速度un的表達(dá)式，及m2與墻壁之間的第n次碰撞(若vn=0，則m2與墻壁間n-1次)，碰撞后m2的速度vn的表達(dá)式，此結(jié)論與文獻(xiàn)[4]結(jié)論一致，具有普適性.

3 碰撞總次數(shù)與π的關(guān)系

取向左為所有矢量的正方向，顯然m2與m1最后一次碰撞后的速度一定滿足如下關(guān)系：

(17)

現(xiàn)在結(jié)合式(16)、(17)分兩種情況討論m2與m1及墻壁碰撞總次數(shù)N與圓周率π之間的關(guān)系，并通過一些數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證.

3.1 m2初始狀態(tài)靜止

這里考慮m2初始狀態(tài)靜止，m1先向左碰撞m2，如圖2所示.

圖2 m1先向左碰撞靜止的m2

初始條件：

(18)

由式(16)、(17)、(18)得

(19)

因?yàn)?/p>

(20)

所以有

(21)

由式(21)得m與m1和墻壁總碰撞次數(shù)為

(22)

式中“「?”表示向上取整數(shù)(下同).此結(jié)論與文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]結(jié)論一致.式(22)已經(jīng)包含了vn=0時(shí)，m不再與墻壁相碰撞的情形在內(nèi)，具有普適性.從式(22)不難看出，碰撞次數(shù)N1與圓周率π之間存在緊密關(guān)系.

(23)

(24)

3.2 m1初始狀態(tài)靜止

這里考慮m1初始狀態(tài)靜止，m2先向右碰撞m1，如圖3所示.

圖3 m2先向右碰撞靜止的m1

初始條件：

(25)

設(shè)m1、m2間最多能碰撞n次，由式(16)、(17)、(25)，得

(26)

(27)

又由式(27)，可得m1、m2和墻壁間總碰撞次數(shù)為

(28)

(29)

由式(29)得

(30)

在m2初始狀態(tài)靜止、m1初始狀態(tài)靜止這兩種情形下，m2與m1、m2與墻壁之間總的碰撞次數(shù)，也存在一定的關(guān)系，由式(22)、(28)可得此兩種情形下，碰撞次數(shù)之間的關(guān)系為

(31)

4 驗(yàn)證計(jì)算

式(22)、(24)、(28)、(30)及其相應(yīng)的推導(dǎo)過程，都詮釋了一維彈性碰撞與圓周率之間存在的必然關(guān)系.為了直觀體現(xiàn)這種關(guān)系，這里僅分別取k=1×102s(s=0，1，2，3，…)、k=4×102s(s=0，1，2，3，…)、以及k取其它幾個(gè)任意值用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證，對應(yīng)的計(jì)算結(jié)果見表1、表2、表3所示.

表1 k=1×102s(s=0，1，2，3，…)

表2 k=4×102s(s=0，1，2，3，…)

表3 其它情況

計(jì)算結(jié)果表明了式(24)和式(30)的合理性.從總體上來看，k的大小決定碰撞次數(shù)的多少即圓周率π的精確位數(shù).k越大，計(jì)算所得的圓周率的值就越精確，但是精度存在一定周期性變化，原因在于連續(xù)無窮多個(gè)不同的k值對應(yīng)了相同的碰撞次數(shù).當(dāng)k=1×102s(s=0，1，2，3，…)時(shí)，式(22)或式(23)計(jì)算碰撞次數(shù)正好是10sπ的整數(shù)部分，式(24)計(jì)算的圓周率π也精確到了小數(shù)點(diǎn)s位；當(dāng)k=4×102s(s=0，1，2，3，…)時(shí)，式(28)或式(29)計(jì)算碰撞次數(shù)正好是10sπ的整數(shù)部分，式(30)計(jì)算的圓周率π也精確到了小數(shù)點(diǎn)s位.

圖與 k的關(guān)系圖

圖與 k的關(guān)系圖

5 碰撞次數(shù)與圓周率π關(guān)系的進(jìn)一步分析

僅以k=1×102s(s=0，1，2，3，…)情形為例，分析N1是否為10sπ的整數(shù)部分.

(32)

顯然，滿足N1是為10sπ的整數(shù)部分.

(33)

(34)

因?yàn)椤癧]”內(nèi)部分均大于0，所以顯然有

(35)

即

(36)

當(dāng)s= 1時(shí)，有

(37)

將式(37)代入式(36)得

(38)

所以由式(23)、(38)得到

(39)

顯然，N1是為10sπ的整數(shù)部分.

當(dāng)s≥2時(shí)，設(shè)π小數(shù)部分各位數(shù)字分別是a1、a2、a3、…即

π=3.a1a2a3…as-1asas+1…a2s-1a2sa2s+1…

(40)

由式(40)得

(41)

為了便于討論，將式(35)范圍進(jìn)一步擴(kuò)大，即

(42)

3a1a2a3…as-1asas+1…a2s-1a2s(a2s+1+3)

(a2s+2+a1)(a2s+3+a2)…

(43)

由式(33)、(42)、(43)可知，N1不為10sπ的整數(shù)部分的必要條件是：as+1、…、a2s-1、a2s全為數(shù)字9，即圓周率小數(shù)點(diǎn)后(s+1)位到2s位數(shù)字全是9，在已知的π的數(shù)值里，這種情況是不存在的,而且s越大，這種可能性更低，因此，可猜想此必要條件必不成立.所以有

(44)

也就是，仍滿足N1為10sπ的整數(shù)部分.

綜上所述，當(dāng)k=1×102s(s=0，1，2，3，…)時(shí)，可猜想，N1為10sπ的整數(shù)部分.此結(jié)論與文獻(xiàn)[1]相比更加明確.

同理，可分析得出N2為2×10sπ的整數(shù)部分.

6 結(jié)論

本文充分驗(yàn)證了一維彈性碰撞與圓周率之間的必然關(guān)系，根據(jù)給定的一維彈性碰撞模型推導(dǎo)出式(24)和式(30)精確計(jì)算π的可行方法，并對相應(yīng)的誤差范圍進(jìn)行了式(32)—式(44)的合理推導(dǎo)分析.

7 討論

1) 結(jié)合給定的一維彈性碰撞模型，將兩滑塊之間及滑塊與墻壁之間的連續(xù)兩次碰撞視為一個(gè)周期，多次碰撞的過程就是不斷重復(fù)這種周期性過程，于是得到矩陣關(guān)系，并通過矩陣高次冪計(jì)算了連續(xù)多次碰撞后的一般速度關(guān)系式(16).實(shí)踐計(jì)算表明了這種邏輯分析方法的合理性.

2) 一維彈性碰撞與圓周率之間存在著必然關(guān)系，且只與碰撞的次序和發(fā)生碰撞的彈性體的質(zhì)量比有關(guān)，式(22)和式(28)揭示了碰撞次數(shù)與m1、m2質(zhì)量比k之間深刻的關(guān)系，對任意k均成立，不受k=102s(s=0，1，2，3，…)的條件約束.

3) 用一質(zhì)量為m1′且m1′>m2的彈性滑塊取代圖3或圖4的碰撞模型中的豎直墻壁，碰撞次數(shù)與圓周率之間仍然可得到類似于式(24)或式(30)的簡潔約束表達(dá)式.

5) 一維彈性碰撞與圓周率之間存在的必然關(guān)系，亦或可以在給定的二維彈性碰撞模型中予以推廣拓展.