二體問(wèn)題的探討

林灝宸, 馬 麗

(西安理工大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

想必大家都聽(tīng)說(shuō)過(guò)劉慈欣先生寫的科幻小說(shuō)《三體》，距離地球四光年外的“三體文明”，在3顆無(wú)規(guī)則運(yùn)行的恒星主導(dǎo)下，經(jīng)歷百余次毀滅與重生，被逼迫不得不逃離母星. 在探索宇宙的過(guò)程中，我們希望能定量地精確計(jì)算出各天體的軌道，這免不了牽涉多天體的相互作用. 對(duì)于多體問(wèn)題，人們目前還不能完全解決，只能通過(guò)數(shù)值積分方法(如Runge-Kutta法、幾何積分算法、顯式辛算法、Nacozy流形改正方法、Fukushima旋轉(zhuǎn)線性變換方法等)進(jìn)行軌道演化計(jì)算[1].

對(duì)于太陽(yáng)系這種含1個(gè)占絕大部分質(zhì)量的主天體的特殊N體問(wèn)題，太陽(yáng)與每個(gè)行星組成的二體會(huì)受到其余星體的引力作用(受攝二體模型). 當(dāng)攝動(dòng)力遠(yuǎn)小于二體間相互作用力時(shí)，在不需要精確計(jì)算的情況下，可將該多體問(wèn)題簡(jiǎn)化為二體問(wèn)題.

本文主要是對(duì)這一類二體問(wèn)題的方法進(jìn)行總結(jié)，通過(guò)變換參考系和能量守恒兩個(gè)角度推導(dǎo)出了柯尼希定理，并引入折合質(zhì)量μ，簡(jiǎn)化了二體問(wèn)題的討論. 同時(shí)介紹了等效一體化處理問(wèn)題的方法，用折合質(zhì)量進(jìn)行二體修正的本質(zhì)是將問(wèn)題一體化處理.

1 柯尼希定理

我們?cè)诟咧芯鸵呀?jīng)接觸到碰撞問(wèn)題，想必大家都見(jiàn)過(guò)一道很經(jīng)典的問(wèn)題，就是在兩個(gè)物塊之間加一個(gè)彈簧，在它們運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求解兩物塊之間的彈性勢(shì)能. 我們可以通過(guò)列彈簧處于原長(zhǎng)和兩物塊共速兩時(shí)刻的動(dòng)量守恒、能量守恒，聯(lián)立，進(jìn)而求解，但求解過(guò)程很繁瑣. 如果運(yùn)用柯尼希定理就會(huì)簡(jiǎn)便很多，甚至可以口算得出答案. 這樣的二體問(wèn)題的例子還有很多[2-4].下面先給出柯尼希定理的證明.

證明：設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量分別為m1、m2，相對(duì)于地面參考系S和平動(dòng)質(zhì)心系S′的速度分別為v1、v2；v′1、v′2,u為質(zhì)點(diǎn)1相對(duì)質(zhì)點(diǎn)2的相對(duì)速度，有

u=v12=v1-v2=v′1-v′2

(1)

m1v′1+m2v′2=0

(2)

由方程組可得

(3)

(4)

可得相對(duì)于質(zhì)心系S′的動(dòng)能E′k的表達(dá)式為

(5)

我們還可以從能量守恒的角度驗(yàn)證柯尼希定理的正確性：

質(zhì)心速度為

(6)

相對(duì)于質(zhì)心系S′的動(dòng)能為

E′k=Ek-Ekc=

(7)

2 二體問(wèn)題與等效一體化思路

運(yùn)用折合質(zhì)量對(duì)二體問(wèn)題進(jìn)行修正的方法如下, 即選定一個(gè)隨質(zhì)點(diǎn)1運(yùn)動(dòng)的參考系，在該參考系上看質(zhì)點(diǎn)1為靜質(zhì)點(diǎn)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)2為動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，同時(shí)認(rèn)為該靜質(zhì)點(diǎn)1所在的參考系為慣性系，寫出動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于靜質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程F=ma，把ma中的動(dòng)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m改為折合質(zhì)量μ，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)二體問(wèn)題求解的簡(jiǎn)化.

等效一體化就是將需要考慮的一系列物體視為整個(gè)系統(tǒng)，通過(guò)討論系統(tǒng)中各物體之間的聯(lián)系，或者尋找出系統(tǒng)中保持不變的點(diǎn)或參數(shù)，選取其為基準(zhǔn)，來(lái)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行求解.

在二體問(wèn)題中，引入折合質(zhì)量進(jìn)行二體修正的本質(zhì)是找出兩質(zhì)點(diǎn)間的相互聯(lián)系，將問(wèn)題一體化處理.同時(shí)我們也可以選用質(zhì)心參考系來(lái)對(duì)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行研究.

二體問(wèn)題中質(zhì)點(diǎn)1、質(zhì)點(diǎn)2和質(zhì)心C始終在同一條直線上，該質(zhì)心系為慣性系.設(shè)質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)1相對(duì)于質(zhì)心C的位矢為r1c，質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)于質(zhì)心C的位矢為r2c，如圖1所示，有

(8)

(9)

求導(dǎo)可得

(10)

(11)

(12)

(13)

所以有

(14)

m1a1c=f12

(15)

m2a2c=-f12=f21

(16)

圖1 等效一體化示意圖

綜上所述，對(duì)兩質(zhì)點(diǎn)孤立系統(tǒng)的問(wèn)題簡(jiǎn)化處理，可以找出兩質(zhì)點(diǎn)間相互聯(lián)系，采用折合質(zhì)量的方法進(jìn)行修正，也可以選定質(zhì)心系，寫出兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)力學(xué)方程，進(jìn)而求解.

3 二體問(wèn)題多解法的討論與改進(jìn)

在許多天體問(wèn)題中需要計(jì)算兩個(gè)天體相碰的時(shí)間，一般都采用積分的方法進(jìn)行求解，計(jì)算量相對(duì)來(lái)說(shuō)比較大.在兩個(gè)天體相對(duì)靜止或者速度相差不大的情況下，可以利用開(kāi)普勒第三定律和退化橢圓的方法，簡(jiǎn)便快速地求解二者相碰所需時(shí)間.

這里必須強(qiáng)調(diào)的是，該方法只適用于求解末狀態(tài)的時(shí)間，如需具體求出相距某一距離的時(shí)間仍需要通過(guò)積分法進(jìn)行求解.

3.1 天體系統(tǒng)

假設(shè)宇宙空間的一個(gè)慣性系中，有兩顆相距為d，質(zhì)量分別為m1、m2的靜止不動(dòng)的星球，在萬(wàn)有引力的相互作用下，開(kāi)始相向運(yùn)動(dòng)，dm1和dm2為m1、m2相對(duì)于質(zhì)心C點(diǎn)的距離,如圖2所示.求兩星球由靜止到相碰，共經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間？設(shè)兩星球半徑遠(yuǎn)比相互間距小[5].

圖2 兩個(gè)天體組成的系統(tǒng)示意圖

對(duì)本問(wèn)題，我們分別采用折合質(zhì)量進(jìn)行二體修正法、質(zhì)心等效質(zhì)量法進(jìn)行求解.

方法一：用折合質(zhì)量進(jìn)行二體修正法

商務(wù)英語(yǔ)有著很重要的作用，尤其是在我國(guó)農(nóng)產(chǎn)品對(duì)外貿(mào)易中，其以獨(dú)特的專業(yè)性特點(diǎn)為農(nóng)產(chǎn)品對(duì)外貿(mào)易領(lǐng)域奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，如今在農(nóng)產(chǎn)品對(duì)外貿(mào)易中，商務(wù)英語(yǔ)應(yīng)用占很大比重。商務(wù)英語(yǔ)在農(nóng)產(chǎn)品對(duì)外貿(mào)易進(jìn)行協(xié)商和談判時(shí)，可以幫助貿(mào)易雙方簡(jiǎn)單直白地了解合作意向。由此可見(jiàn)，商務(wù)英語(yǔ)在我國(guó)和其他國(guó)家的貿(mào)易中起著非常重要的作用。

選任意質(zhì)點(diǎn)為靜質(zhì)點(diǎn)，比如我們選m1為靜質(zhì)點(diǎn)，寫出動(dòng)質(zhì)點(diǎn)m2的動(dòng)力學(xué)方程

(17)

(18)

方法二：質(zhì)心等效質(zhì)量法

在質(zhì)心系中引入質(zhì)心質(zhì)量等效替代某一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，討論質(zhì)心與待研究質(zhì)點(diǎn)的受力情況.

(19)

(20)

(21)

這兩種方法本質(zhì)相差不大，求解的步驟都比較簡(jiǎn)略.

3.2 點(diǎn)電荷系統(tǒng)

對(duì)于電磁學(xué)中兩個(gè)靜止異號(hào)點(diǎn)電荷的運(yùn)動(dòng)情況，在一些書(shū)籍中都只有積分解法，求解過(guò)程過(guò)于繁瑣，如果我們并不需要求出兩個(gè)點(diǎn)電荷相距某一距離的時(shí)間，就沒(méi)有必要采用微積分，只需要類比之前討論的天體系統(tǒng)的二體問(wèn)題就可以更簡(jiǎn)潔地求解.

下面討論如何類比天體問(wèn)題，快速求出兩個(gè)點(diǎn)電荷從相對(duì)靜止的初狀態(tài)到最后相碰所經(jīng)歷的時(shí)間.

真空中有兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷q1和q2，它們的質(zhì)量分別為m1和m2，t=0時(shí)刻，兩個(gè)電荷均靜止，相距r0，如圖3所示.試問(wèn)它們何時(shí)相碰，只考慮其間的庫(kù)侖相互作用[6].

圖3 兩個(gè)點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)示意圖

對(duì)本問(wèn)題，我們先采用常規(guī)積分法進(jìn)行計(jì)算，再通過(guò)類比上述的天體系統(tǒng)二體問(wèn)題，采用折合質(zhì)量進(jìn)行二體修正法，以及質(zhì)心等效電荷量法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行處理.

方法一：常規(guī)積分法

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

dr=2r0udu,

(28)

代入式(27)，得

(29)

兩點(diǎn)電荷相碰時(shí)r=0，有

(30)

方法二：用折合質(zhì)量進(jìn)行二體修正法

我們可以把它類比天體問(wèn)題，選取任意點(diǎn)電荷為靜質(zhì)點(diǎn)，比如選m2為靜質(zhì)點(diǎn)，m1為動(dòng)質(zhì)點(diǎn).由于在這道題中只考慮兩電荷之間的庫(kù)侖力，就相當(dāng)于天體中二體間的萬(wàn)有引力在這里變成了兩點(diǎn)電荷間的庫(kù)侖力，同樣都是平方反比的力，在系統(tǒng)總能量E<0時(shí)二者相對(duì)位置滿足橢圓軌跡，類比二體天體問(wèn)題可列出動(dòng)力學(xué)方程：

(31)

(32)

方法三：質(zhì)心等效電荷量法

在質(zhì)心系中引入質(zhì)心電荷量等效替代某一點(diǎn)電荷所帶電荷量，討論質(zhì)心與待研究點(diǎn)電荷的受力情況.

選取質(zhì)心C為參考點(diǎn)，m1和m2最終在質(zhì)心處相碰，某一點(diǎn)電荷受另一點(diǎn)電荷的作用力可等效為位于質(zhì)心處的點(diǎn)電荷對(duì)其施加的庫(kù)侖力，我們只需求出在質(zhì)心C處的等效電荷量q*，即可通過(guò)退化橢圓的方法求出相碰時(shí)間.

m1到C點(diǎn)的距離為r1：

(33)

等效電荷為q*：

(34)

(35)

類比二體天體問(wèn)題得動(dòng)力學(xué)方程：

(36)

相碰時(shí)間為t：

(37)

可以看到，采用常規(guī)的積分法求解過(guò)程非常繁瑣，而采用本論文提出的二體修正法以及質(zhì)心等效法要簡(jiǎn)略很多.所以在二體問(wèn)題中運(yùn)用等效一體化思路，找出兩質(zhì)點(diǎn)間的相互聯(lián)系，通過(guò)引入折合質(zhì)量進(jìn)行二體修正，或者采用等效替代的思維，選用質(zhì)心參考系來(lái)對(duì)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行研究，在很大程度上可以簡(jiǎn)化二體問(wèn)題的求解.

4 總結(jié)

本文對(duì)二體問(wèn)題的求解方法進(jìn)行了歸納總結(jié)，給出了相關(guān)的證明，提出等效一體化的思路，簡(jiǎn)化了二體問(wèn)題的討論.并引入了退化橢圓求時(shí)間的方法巧解了兩物體在平方反比的作用力下從相對(duì)靜止到碰撞的時(shí)間問(wèn)題.在本文的最后，對(duì)二體問(wèn)題的多解法進(jìn)行了討論與改進(jìn)，同時(shí)用天體系統(tǒng)二體問(wèn)題的結(jié)論類比兩個(gè)點(diǎn)電荷問(wèn)題，避免書(shū)中積分的繁瑣，突出了對(duì)問(wèn)題等效一體化處理的優(yōu)越性.