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    拉梅系數(shù)在力學(xué)中的應(yīng)用

    2022-09-15 05:36:04馬瑛晗毛英臣
    大學(xué)物理 2022年8期
    關(guān)鍵詞:哈密頓量動(dòng)能力學(xué)

    周 健,馬瑛晗,毛英臣

    (遼寧師范大學(xué) 物理與電子技術(shù)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

    拉梅(G. Lamé)系數(shù),又被稱為度規(guī)元,反映了在任意點(diǎn)P處沿坐標(biāo)(q1,q2,q3)方向的長度(微元)增量分別與沿各自坐標(biāo)增量的比值,在數(shù)學(xué)與物理中有重要的應(yīng)用.如沈孝明利用拉梅系數(shù)給出了動(dòng)力學(xué)方程的一種新形式[1],張春雷等利用拉梅系數(shù)給出了正交曲線坐標(biāo)系中加速度的矢量求法[2],謝樹藝?yán)美废禂?shù)給出了梯度、散度、旋度與調(diào)和量的表達(dá)式[3], 上述工作僅對拉梅系數(shù)在某一知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用進(jìn)行了介紹.本文對拉梅系數(shù)在力學(xué)方面的應(yīng)用做了系統(tǒng)梳理,為方便讀者理解、記憶給出了對應(yīng)物理量的一般表達(dá)式,并結(jié)合具體事例介紹了其在運(yùn)動(dòng)學(xué)和分析力學(xué)里的應(yīng)用.

    1 拉梅系數(shù)

    在空間中任意一點(diǎn),如果3個(gè)坐標(biāo)曲線都互相正交,并且3個(gè)坐標(biāo)曲面也互相正交,則稱這樣的坐標(biāo)系為正交曲線坐標(biāo)系.若空間某一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(q1,q2,q3),位矢為r,則位矢r的增量為

    (1)

    (2)

    (3)

    由式(3)可知,拉梅系數(shù)反映了任意點(diǎn)P沿(q1,q2,q3)方向的長度(微元)增量分別與沿各自坐標(biāo)增量的比值.

    圖1 球坐標(biāo)示意圖

    如圖1所示,可通過對球坐標(biāo)系中拉梅系數(shù)的計(jì)算來加深對其定義的理解.在點(diǎn)P沿(r,θ,φ)方向的長度增量分別為

    dlr=dr, dlθ=rdθ, dlφ=rsinθdφ

    根據(jù)定義很容易得到球坐標(biāo)系中拉梅系數(shù)為

    (4)

    同理,易求得其他坐標(biāo)系中的拉梅系數(shù),如表1第2列所示.

    2 拉梅系數(shù)在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用

    2.1 弧長、面元和體元

    (5)

    進(jìn)一步,利用上式可以將弧長表示為

    (6)

    曲線的弧長微元ds在坐標(biāo)軸上的投影為dsi,通常取弧長增大的方向與對應(yīng)的曲線增大時(shí)坐標(biāo)曲線的走向一致,這樣dsi與dqi就有相同的正負(fù)號(hào),從而有

    dsi=hidqi

    (7)

    由此可將面元和體元分別表示為

    dSij=dsidsj=hihjdqidqj, (i≠j)

    (8)

    dV=hihjhkdqidqjdqk, (i≠j≠k)

    (9)

    2.2 速度

    設(shè)點(diǎn)P處位矢r可表示為曲線坐標(biāo)的函數(shù)r=r(q1,q2,q3),其中q是時(shí)間t的函數(shù),故點(diǎn)P處的速度可表示為

    (10)

    利用式(3)可將點(diǎn)P處的速度表示為如下形式:

    (11)

    式(11)給出的速度是正交曲線坐標(biāo)系中的一般形式,實(shí)際問題中最常用的直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系以及球坐標(biāo)系都可看作正交曲線坐標(biāo)系的特殊情況.為表述方便,可將正交單位向量基用ei(α)(下標(biāo)標(biāo)注對應(yīng)不同的坐標(biāo)參量)表示.下面以極坐標(biāo)系為例,來看一下點(diǎn)P處速度的具體表達(dá)式.

    極坐標(biāo)系下的位矢r=rer,從表1可知其拉梅系數(shù)為hr=1、hθ=r,將其代入式(11)可以得到在點(diǎn)P處的速度為

    (12)

    所得結(jié)果即大家所熟悉的形式.

    為方便理解和記憶,筆者在表1中列出了不同坐標(biāo)系中點(diǎn)P的拉梅系數(shù)、位移dr、體元和速度.

    表1 不同坐標(biāo)系中點(diǎn)P的拉梅系數(shù)、位移dr、體元和速度

    3 拉梅系數(shù)在分析力學(xué)中的應(yīng)用

    3.1 廣義力

    分析力學(xué)是對經(jīng)典力學(xué)的高度數(shù)學(xué)化的表達(dá)[5],它通過用廣義坐標(biāo)來描述質(zhì)點(diǎn)系.對受穩(wěn)定、理想約束的體系,一般將廣義力定義為

    (13)

    其中qα為廣義坐標(biāo),將不同坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)代入公式(13),可得極坐標(biāo)系中廣義力為

    Qr=Fr

    Qθ=rFθ

    以及球坐標(biāo)系中廣義力為

    Qr=Fr

    Qθ=rFθ

    Qφ=rsinθFφ

    其他坐標(biāo)系中的廣義力被展示在表2中,通過對比表2的第2列,利用拉梅系數(shù)可將廣義力表示為

    (14)

    顯然廣義力Qα是主動(dòng)力Fi在其坐標(biāo)方向的投影與相應(yīng)拉梅系數(shù)乘積的代數(shù)和.結(jié)合虛功的定義和式(14),我們可以得到廣義坐標(biāo)下虛功的表達(dá)式為

    (15)

    下面,可通過對質(zhì)點(diǎn)在球坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)方程[6]的求解過程來理解應(yīng)用拉梅系數(shù)的便捷性.

    將球坐標(biāo)系中的拉梅系數(shù)hr=1、hθ=r、hφ=rsinθ代入式(6)可得

    (ds)2=(dr)2+r2(dθ)2+r2sin2θ(dφ)2

    故質(zhì)點(diǎn)的速度可表示為

    進(jìn)而可得質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為

    將質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能和廣義力代入基本形式的拉氏方程,有

    整理可得質(zhì)點(diǎn)在球坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程為

    這里需要指出的是,在求解質(zhì)點(diǎn)速度時(shí),還可直接應(yīng)用式(11),這樣計(jì)算更加簡潔.從上述分析中可以看出,應(yīng)用拉梅系數(shù)可串聯(lián)對線元、速度和廣義力的求解,從而利于對這些知識(shí)的整合理解.

    3.2 哈密頓量

    對于穩(wěn)定的保守系統(tǒng),哈密頓量H等于系統(tǒng)的總機(jī)械能,即哈密頓量H=T+V.H的物理意義是代表廣義能量,它是用正則坐標(biāo)和正則動(dòng)量表示的函數(shù),而利用拉梅系數(shù)hα可將廣義動(dòng)能表示為

    (16)

    因此利用拉梅系數(shù)可將系統(tǒng)的哈密頓量表示為

    (17)

    一般地,勢能是已知項(xiàng),利用帶有拉梅系數(shù)的廣義動(dòng)能函數(shù)很容易求出體系的哈密頓量.例如在求解平面開普勒問題的哈密頓量時(shí),我們可以直接由極坐標(biāo)系下的動(dòng)能函數(shù)求得系統(tǒng)的哈密頓量[7].

    取極坐標(biāo)r、θ為廣義坐標(biāo),則勢能為

    其中κ為比例系數(shù).將極坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)hr=1、hθ=r代入式(16),可得

    故開普勒問題的哈密頓量為

    由此我們發(fā)現(xiàn),可不用求解體系的拉格朗日量,便可利用拉梅系數(shù)直接寫出體系的動(dòng)能函數(shù),從而得到哈密頓量,簡化了運(yùn)算過程.表2展示了利用拉梅系數(shù)表示的廣義力、虛功和動(dòng)能函數(shù)的一般表達(dá)式.實(shí)際上,也可通過坐標(biāo)變換關(guān)系得到用廣義坐標(biāo)、廣義速度表示的力和動(dòng)能等物理量.結(jié)合表1和表2可以看出,利用拉梅系數(shù),我們可以把運(yùn)動(dòng)學(xué)和分析力學(xué)串聯(lián)起來,從而很容易得出力學(xué)量的一般表達(dá)式,有利于對相關(guān)知識(shí)的串聯(lián)整合.

    4 小結(jié)

    本文首先介紹了拉梅系數(shù)的定義,然后以球坐標(biāo)系為例,求解了該坐標(biāo)系的拉梅系數(shù),進(jìn)而系統(tǒng)分析了拉梅系數(shù)在求解面元、體元、位移以及速度中的應(yīng)用.為充分理解拉梅系數(shù)的使用范圍,我們通過兩個(gè)具體問題討論了拉梅系數(shù)在表示廣義力、虛功和哈密頓量中的應(yīng)用.通過分析,我們可知拉梅系數(shù)揭示了一類物理問題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),利用該量可簡化對這類問題的理解.此外,利用拉梅系數(shù)表示力學(xué)量的過程可以增強(qiáng)對力學(xué)中相關(guān)知識(shí)的整合與梳理.

    表2 利用拉梅系數(shù)表示的廣義力、虛功和動(dòng)能函數(shù)

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