量子力學(xué)中表象變換理論的教學(xué)探討：結(jié)合中微子振蕩的前沿案例

涂 濤，郭奧林，李傳鋒，郭光燦

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院，中國科學(xué)院量子信息重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230026)

量子力學(xué)是物理學(xué)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課程，同時(shí)其內(nèi)容又與量子調(diào)控、量子信息、粒子物理、凝聚態(tài)物理等領(lǐng)域的研究前沿密切聯(lián)系在一起[1-3]. 如何把現(xiàn)代物理學(xué)的一些前沿進(jìn)展，與基礎(chǔ)物理課程的教學(xué)內(nèi)容融合在一起，需要在教學(xué)研究、教學(xué)改革和課程建設(shè)中不斷思考、探索與實(shí)踐.

在目前的量子力學(xué)教材中[4-7]，有一些基本概念和知識(shí)點(diǎn)如定態(tài)薛定諤方程，有許多具體的教學(xué)案例和教學(xué)研究，例如結(jié)合無限深方勢阱、中心勢場中的氫原子等來求解定態(tài)薛定諤方程[8-11]. 然而，還有一些基本概念和知識(shí)點(diǎn)如表象變換理論等，都比較抽象，也沒有具體的教學(xué)案例. 學(xué)生們普遍反映這些概念和知識(shí)點(diǎn)較難理解，也不清楚這些抽象公式所代表的物理圖像. 因此表象變換理論等內(nèi)容成為當(dāng)前量子力學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)之一.

筆者所在的中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)量子力學(xué)教學(xué)研究團(tuán)隊(duì)，從2006年起就提出 “面向現(xiàn)代物理前沿，開展科教融合的量子力學(xué)課程建設(shè)”.團(tuán)隊(duì)持續(xù)關(guān)注物理學(xué)研究前沿和動(dòng)態(tài)，探索將一些前沿進(jìn)展以適合本科生教學(xué)的方式融入到量子力學(xué)課程中[12,13]. 一方面，學(xué)生運(yùn)用學(xué)到的基礎(chǔ)知識(shí)來解決具體和實(shí)際的科研問題，可以大大加深他們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握. 另一方面，研究前沿作為教學(xué)案例，也是學(xué)生接觸科學(xué)研究的一條途徑，可以很好地激發(fā)他們從事科學(xué)研究的興趣和熱情. 本文主要探討利用中微子振蕩作為教學(xué)案例促進(jìn)量子力學(xué)中表象變換理論的教學(xué)過程和效果.

1 表象變換理論教學(xué)的難點(diǎn)分析

|Ψ〉=∑iai|vi〉

(1)

這里展開系數(shù)是ai.

|Ψ〉=∑jbj|φj〉

(2)

這里展開系數(shù)是bj.

同樣一個(gè)量子態(tài)，可以分別用A表象和B表象來表示:

|Ψ〉=∑iai|vi〉=∑jbj|φj〉

(3)

對(duì)于上式，左乘以A表象的基矢〈vi|，利用基矢的正交歸一性，可以得到

ai=∑j〈vi|φj〉bj=∑jSijbj

(4)

可以把上式寫成矩陣的形式，即為

(5)

式(5)表明，同一個(gè)量子態(tài)在A表象和B表象中的表示系數(shù)是有聯(lián)系的，它們通過一個(gè)幺正矩陣S聯(lián)系在一起.

以上就是量子力學(xué)中表象變換理論的一般形式. 在我們多年的教學(xué)實(shí)踐中[13]，通過對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)情況的問卷調(diào)查和交流討論，學(xué)生普遍反映存在如下兩個(gè)困難：1) 這些矩陣公式比較抽象，學(xué)生往往不知道如何將抽象的符號(hào)與具體的物理圖像聯(lián)系在一起；2) 這些公式包含的概念較多，有表象、力學(xué)量算符、態(tài)矢量、本征態(tài)的正交歸一性和完備性等，如何用一個(gè)完整的物理圖像來理解這么多的公式，也有相當(dāng)大的挑戰(zhàn).

針對(duì)上述困難，我們選取中微子振蕩這一粒子物理學(xué)前沿作為教學(xué)案例，促進(jìn)學(xué)生對(duì)表象變換理論的學(xué)習(xí)和理解.

2 中微子物理前沿進(jìn)展的介紹和引入

為了能夠?qū)⒅形⒆诱袷幾鳛榻虒W(xué)案例，我們需要向?qū)W生簡單地介紹一下中微子物理. 這部分內(nèi)容可以看作是原子物理課程中粒子物理內(nèi)容的一些擴(kuò)展和延伸，學(xué)生不難掌握.

中微子是構(gòu)成物質(zhì)世界的一種基本粒子，中微子不帶電，只參與弱相互作用，所以它與其他物質(zhì)的相互作用很弱. 為了探測到中微子，需要有很強(qiáng)的中微子源，也需要龐大的探測器，才能產(chǎn)生足夠的信號(hào). 歷史上，美國科學(xué)家利用核反應(yīng)堆發(fā)射中微子束流，并利用200 L的水和1 682 L的液體閃爍體作為探測器，測量到了中微子的信號(hào). 中微子的發(fā)現(xiàn)獲得了1988年和1995年兩次諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).

目前科學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了3種類型的中微子，分別是電子中微子、μ子中微子和τ子中微子. 日本科學(xué)家在KamLand建造了埋在地下礦井中的、擁有50 000 t水和11 500個(gè)光電倍增管的大型中微子探測裝置. 他們分別探測了來自核反應(yīng)堆的中微子束流，和由宇宙射線產(chǎn)生的中微子束流. 他們觀測到如下有趣的現(xiàn)象：

核反應(yīng)堆會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)目的電子中微子，當(dāng)這些電子中微子經(jīng)過一段距離，到達(dá)KamLand的探測器時(shí)，科學(xué)家觀測到電子中微子數(shù)目出現(xiàn)減少.

當(dāng)高能宇宙射線進(jìn)入大氣層，會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的電子中微子和μ子中微子. 當(dāng)這些電子中微子和μ子中微子經(jīng)過一段距離達(dá)到KamLand的探測器時(shí)，科學(xué)家觀測到電子中微子的數(shù)目幾乎不變，而μ子中微子數(shù)目發(fā)生減少.

這些現(xiàn)象說明了中微子會(huì)在幾種不同狀態(tài)之間發(fā)生相互轉(zhuǎn)換，稱為中微子振蕩. 中微子振蕩是粒子物理學(xué)的研究前沿，這一發(fā)現(xiàn)已經(jīng)獲得了2002年和2015年兩次諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，進(jìn)一步的研究仍然方興未艾[14,15].

下面我們就利用量子力學(xué)的表象變換理論來解釋中微子振蕩這一有趣而重要的現(xiàn)象.

3 兩代中微子情況的表象變換理論

3.1 中微子的味表象

在味表象中，中微子的一般狀態(tài)可以表示為這兩種基矢的疊加：

(6)

這一組數(shù)a1、a2就構(gòu)成了量子態(tài)在味表象中的表示.

3.2 味表象中的力學(xué)量算符

在味表象中，中微子的質(zhì)量算符可以表示為一個(gè)矩陣：

(7)

這個(gè)矩陣表示的物理意義是：對(duì)角元素mee、mμμ分別表示電子中微子和μ子中微子的質(zhì)量.而非對(duì)角元素meμ、mμe表示電子中微子和μ子中微子之間的混合.

首先，我們求解質(zhì)量算符的本征方程：

(8)

此時(shí)它是一個(gè)矩陣的本征方程:

(9)

這是一個(gè)矩陣的本征問題.質(zhì)量本征值可以由如下方程得到：

(10)

通過代數(shù)運(yùn)算，可以求得兩個(gè)質(zhì)量本征值為

(11)

這里我們令meμ=mμe.

進(jìn)一步，我們將質(zhì)量本征值代入方程(9)中，可以得到相應(yīng)的兩個(gè)質(zhì)量本征態(tài)為

(12)

3.3 中微子的質(zhì)量表象

通過線性代數(shù)計(jì)算，我們可以驗(yàn)證如下式子：

即質(zhì)量本征態(tài)|φ1〉和|φ2〉是正交歸一的，因此它們構(gòu)成態(tài)空間的一組基矢.以|φ1〉和|φ2〉為基矢的表象，我們稱為質(zhì)量表象.

在質(zhì)量表象中，中微子的某一狀態(tài)可以表示為質(zhì)量本征態(tài)的疊加：

(13)

這一組數(shù)b1、b2就構(gòu)成量子態(tài)在質(zhì)量表象中的表示.

3.4 中微子兩個(gè)表象之間的表象變換

從上面的討論中，我們看到，同樣一個(gè)中微子狀態(tài)在味表象和質(zhì)量表象中，可以表示為不同的形式，分別是表達(dá)式(6)和(13).一個(gè)很自然的問題是，這兩種表示之間有什么聯(lián)系呢？

注意到，同一個(gè)中微子態(tài)有

|Ψ〉=a1|ve〉+a2|vμ〉=b1|φ1〉+b2|φ2〉

(14)

對(duì)于上式，左乘〈ve|，我們有

〈ve|ve〉a1+〈ve|vμ〉a2=〈ve|φ1〉b1+〈ve|φ2〉b2

(15)

再利用基矢的正交歸一性，可得到如下關(guān)系式：

a1=〈ve|φ1〉b1+〈ve|φ2〉b2

(16)

同理，對(duì)式(9)，如果左乘〈vμ|，可得到類似關(guān)系式：

a2=〈vμ|φ1〉b1+〈vμ|φ2〉b2

(17)

為更清楚，將式(16)和(17)表示為矩陣的形式：

(18)

式(18)清楚的顯示，同一個(gè)量子態(tài)在味表象和質(zhì)量表象這兩個(gè)表象中的不同表示之間是相互關(guān)聯(lián)的，它們是通過一個(gè)變換矩陣S聯(lián)系在一起的.矩陣元素Sij是味表象的基矢|vi〉和質(zhì)量表象的基矢|φj〉之間的標(biāo)積Sij=〈vi|φj〉.

在3.2節(jié)中，我們已經(jīng)求得了在味表象下，質(zhì)量本征態(tài)的表達(dá)式(12)，因此不難得到如下結(jié)果：

這樣我們可以把表象變換矩陣S寫成

(19)

表象變換矩陣S具有很直觀的物理意義，每個(gè)矩陣元Sij代表了電子中微子態(tài)|ve〉或μ子中微子態(tài)|vμ〉是由兩種質(zhì)量本征態(tài)|φ1〉和|φ2〉混合而成的

|ve〉=cosθ|φ1〉+sinθ|φ2〉=S11|φ1〉+S12|φ2〉

(20)

|vμ〉=-sinθ|φ1〉+cosθ|φ2〉=S21|φ1〉+S22|φ2〉

(21)

這里，我們把θ稱為中微子的混合角.如果用表象變換矩陣S表示，即為

|vi〉=∑jSij|φj〉

(22)

3.5 中微子的含時(shí)演化和中微子振蕩現(xiàn)象

下面，利用中微子的表象變換理論，分析中微子狀態(tài)的含時(shí)演化行為.設(shè)在初始時(shí)刻，產(chǎn)生了一個(gè)電子中微子，在味表象下，中微子的狀態(tài)表示為

|Ψ(0)〉=|ve〉

(23)

利用味表象和質(zhì)量表象之間的變換關(guān)系，可以得到在質(zhì)量表象下的式子：

|Ψ(0)〉=cosθ|φ1〉+sinθ|φ2〉

(24)

顯然，中微子的狀態(tài)可以看成是兩種質(zhì)量本征態(tài)|φ1〉和|φ2〉的組合.

(25)

因?yàn)槊糠N質(zhì)量的中微子都隨著其能量發(fā)生含時(shí)演化，所以我們可以得到t時(shí)刻的狀態(tài)為

|Ψ(t)〉=cosθe-iE1t/?|φ1〉+sinθe-iE2t/?|φ2〉

(26)

這里的E1和E2分別代表兩種質(zhì)量為m1和m2的中微子相應(yīng)的能量.

因?yàn)樵趯?shí)驗(yàn)中，我們探測的是電子中微子或μ子中微子的信號(hào)，所以我們重新在味表象下表示t時(shí)刻的狀態(tài).利用味表象和質(zhì)量表象之間的變換關(guān)系，我們可以得到

|Ψ(t)〉=(cos2θe-iE1t/?+sin2θe-iE2t/?)|ve〉+

sinθcosθ(e-iE2t/?-e-iE1t/?)|vμ〉

(27)

從上述表達(dá)式，我們?nèi)菀椎玫?，在t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)中微子處于電子中微子狀態(tài)|ve〉的概率為

Pe(t)=|ve|Ψ(t)〉|2=

|cos2θe-iE1t/?+sin2θe-iE2t/?|2=

1-sin22θsin2[ΔEt/2?]

(28)

這里我們令ΔE=E1-E2.

(29)

這里定義中微子從發(fā)射源到探測器的飛行距離為L.

上述理論公式(29)清楚的表明，初始時(shí)候的電子中微子，在t時(shí)刻只有一部分的概率Pe仍然處在電子中微子，另外有1-Pe的概率轉(zhuǎn)化為μ子中微子.這種隨時(shí)間演化的現(xiàn)象稱為中微子振蕩.而中微子振蕩的概率取決于兩個(gè)關(guān)鍵的參數(shù)：混合角θ和質(zhì)量差Δm.

3.6 與中微子實(shí)驗(yàn)的對(duì)照和分析

科學(xué)家使用核反應(yīng)堆產(chǎn)生電子中微子，然后在距離為L處利用探測器探測到達(dá)的電子中微子. 世界上許多發(fā)達(dá)國家都開展了這類中微子振蕩的實(shí)驗(yàn)，特別是日本的KamLand實(shí)驗(yàn)組. 這些反應(yīng)堆中微子的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[14]，在圖1中由不同形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)給出. 在圖1中，橫軸表示中微子從反應(yīng)堆到探測器的飛行距離L，縱軸表示探測器測量到電子中微子的概率Pe.

進(jìn)一步，可以利用理論公式(29)來定量分析日本KamLand組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果. 在KamLand組的實(shí)驗(yàn)中，反應(yīng)堆產(chǎn)生的中微子動(dòng)量為pc=4 Mev，從反應(yīng)堆到探測器的距離為L=180 km.兩個(gè)主要參數(shù)的數(shù)值為：中微子的混合角θ=0.59，中微子的質(zhì)量差Δm2c4=7.1×10-5eV2.將這些參數(shù)代入理論公式(29)，我們可以計(jì)算最后探測到電子中微子的概率為Pe=0.47，這與實(shí)驗(yàn)測量值Pe=0.51是符合的[14].

圖1 反應(yīng)堆中微子振蕩的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析

4 三代中微子情況的表象變換理論

4.1 中微子味表象和質(zhì)量表象之間的表象變換

在第3節(jié)中，我們給出了中微子的兩種表象：味表象和質(zhì)量表象.進(jìn)一步，利用兩種表象之間的表象變換，分析了中微子狀態(tài)隨時(shí)間的演化行為：中微子振蕩現(xiàn)象.理論分析和實(shí)驗(yàn)觀測是完全一致的.當(dāng)然，在第3節(jié)中，我們只討論了兩代中微子的情況，更完整的討論應(yīng)該包括3代中微子的情況.因此，我們將中微子的表象變換理論從2代中微子推廣到3代中微子.

在味表象中，中微子的3種基矢態(tài)，即電子中微子、μ子中微子和τ子中微子分別標(biāo)記為|ve〉、|vμ〉和|vτ〉.中微子的一般狀態(tài)可以表示為這3種基矢態(tài)的疊加：

(30)

這一組數(shù)a1、a2和a3就構(gòu)成了量子態(tài)在味表象中的表示.

在質(zhì)量表象中，我們將3種質(zhì)量本征態(tài)分別標(biāo)記為|φ1〉、|φ2〉和|φ3〉，它們的質(zhì)量為m1、m2和m3.在質(zhì)量表象中，中微子的一般狀態(tài)可以表示為這些質(zhì)量本征態(tài)的疊加：

(31)

這一組數(shù)b1、b2和b3就構(gòu)成了量子態(tài)在質(zhì)量表象中的表示.

注意到，同一個(gè)態(tài)有

|Ψ〉=a1|ve〉+a2|vμ〉+a3|vτ〉=

b1|φ1〉+b2|φ2〉+b3|φ3〉

(32)

對(duì)于上式，左乘〈ve|、vμ|或者〈vτ|，我們可以得到如下關(guān)系式：

a1=〈ve|φ1〉b1+〈ve|v2〉b2+〈ve|φ3〉b3

(33)

a2=〈vμ|φ1〉b1+〈vμ|φ2〉b2+〈vμ|φ3〉b3

(34)

a3=〈vτ|φ1〉b1+〈vτ|φ2〉b2+〈vτ|φ3〉b3

(35)

很顯然，上述關(guān)系式可以表示為矩陣的形式：

(36)

這個(gè)表象變換矩陣S顯示同一個(gè)量子態(tài)在兩個(gè)表象中的表示系數(shù)是聯(lián)系在一起的.其中矩陣元素Sij是味表象的基矢|vi〉和質(zhì)量表象的基矢|φj〉之間的標(biāo)積Sij=〈vi|φj〉.這里的矩陣元素具有很明顯的物理含義，即電子中微子態(tài)、μ子中微子態(tài)或τ子中微子態(tài)是由3種質(zhì)量本征態(tài)混合而成的：

|ve〉=S11|φ1〉+S12|φ2〉+S13|φ3〉

(37)

|vμ〉=S21|φ1〉+S22|φ2〉+S23|φ3〉

(38)

|vτ〉=S31|φ1〉+S32|φ2〉+S33|φ3〉

(39)

如果用表象變換矩陣S，可以寫成

|vi〉=∑jSij|φj〉

(40)

4.2 中微子振蕩現(xiàn)象的理論分析和實(shí)驗(yàn)對(duì)照

這里，我們利用中微子的表象變換，來分析3代中微子狀態(tài)的含時(shí)演化行為.設(shè)在初始時(shí)刻，產(chǎn)生了一個(gè)某種味i的中微子，在味表象下，該中微子的狀態(tài)表示為

|Ψ(0)〉=|vi〉

(41)

這里i=e,μ,τ分別標(biāo)記3種味本征態(tài)：電子中微子、μ子中微子和τ子中微子.利用表象變換式(40)，我們可以得到在質(zhì)量表象下的式子：

|Ψ(0)〉=∑jSij|φj〉

(42)

這里j=1,2,3分別標(biāo)記3種質(zhì)量本征態(tài).

進(jìn)一步，我們可以得到t時(shí)刻的中微子狀態(tài)為

|Ψ(t)〉=∑jSije-iEjt/?|φj〉

(43)

在t時(shí)刻探測中微子，會(huì)發(fā)現(xiàn)其不再是某種味i的狀態(tài)|vi〉，而是轉(zhuǎn)換為另一種味β的狀態(tài)|vβ〉.這一轉(zhuǎn)換過程的概率為

(44)

下面，我們利用上述公式，對(duì)于實(shí)驗(yàn)中關(guān)心的

幾種典型情況進(jìn)行分析.

第1種情況，我們討論電子中微子和μ子中微子之間的轉(zhuǎn)換.利用式(44)，可以計(jì)算初始時(shí)刻為電子中微子，末了轉(zhuǎn)換為μ子中微子的概率為

(45)

第2種情況，我們討論μ子中微子和τ子中微子之間的轉(zhuǎn)換.利用式(44)，可以計(jì)算初始時(shí)刻為μ子中微子，末了轉(zhuǎn)換為τ子中微子的概率為

(46)

5 教學(xué)效果分析

我們利用中微子振蕩作為教學(xué)案例，來講述表象變換理論.對(duì)于這種方式的教學(xué)效果，我們進(jìn)行了問卷調(diào)查，讓學(xué)生以一段話來評(píng)價(jià)這種教學(xué)方式.從調(diào)查結(jié)果來看，學(xué)生普遍給予了積極評(píng)價(jià)，主要可以歸納為如下2點(diǎn)：

1) 以中微子的味表象和質(zhì)量表象作為具體例子，在討論過程中，沒有抽象的數(shù)學(xué)計(jì)算，而是把表象變換公式的物理含義揭示出來：表象變換矩陣元表示不同質(zhì)量本征態(tài)的混合.這樣的教學(xué)方式可以讓學(xué)生們直觀理解和掌握表象變換公式.

2) 以中微子振蕩這一前沿成果作為教學(xué)例子，可以讓學(xué)生了解當(dāng)前的科研熱點(diǎn)，讓他們可以用所學(xué)的基本知識(shí)來理解前沿成果，而且是獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的重要成果，這使得他們產(chǎn)生了強(qiáng)烈的興趣和熱情，學(xué)習(xí)的積極性得到較大提高.

6 結(jié)論

中微子振蕩作為粒子物理學(xué)前沿，其基本思想可以用量子力學(xué)的表象變換理論很好的理解：在實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生和探測到的中微子味本征態(tài)|ve〉、|vμ〉和|vτ〉并不是質(zhì)量本征態(tài)，而是質(zhì)量為m1、m2和m3的3種質(zhì)量本征態(tài)的線性組合.因此在飛行過程中，不同味本征態(tài)將會(huì)發(fā)生相互轉(zhuǎn)換.

在教學(xué)中，我們利用中微子振蕩作為具體案例，它很自然的包含了表象變換理論的幾個(gè)基本概念：兩個(gè)表象——味表象和質(zhì)量表象，不同表象的變換矩陣——不同中微子態(tài)的混合.理論公式的計(jì)算比較簡單，而且具有清晰的物理含義，能夠很好地解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.

量子力學(xué)課程中融入前沿的研究成果，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生利用抽象的理論公式解決具體物理問題的能力，另一方面這些具有前沿性和挑戰(zhàn)性的內(nèi)容，也極大鼓舞了學(xué)生對(duì)未知領(lǐng)域和前沿課題的探索興趣.在本文中以中微子振蕩作為典型案例，我們希望在今后的教學(xué)研究中，不斷與時(shí)俱進(jìn)，探索更多的前沿案例來豐富和促進(jìn)量子力學(xué)的教學(xué).