基于Volterra 級(jí)數(shù)的大跨橋梁渦激力內(nèi)核參數(shù)識(shí)別方法

■許 坤 王金露 艾四芽 鮑丹宇 余潔歆 許 莉

（1.北京工業(yè)大學(xué)城市與工程安全減災(zāi)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124；2.福州市城鄉(xiāng)建設(shè)局，福州 350000；3.福建省交通科技發(fā)展集團(tuán)有限責(zé)任公司，福州 350004；4.福建省二建建設(shè)集團(tuán)有限公司，福州 350003；5.福建江夏學(xué)院工程學(xué)院，福州 350108；6.福州大學(xué)土木工程學(xué)院，福州 350108）

渦激振動(dòng)是大跨橋梁較易發(fā)生的一種大振幅振動(dòng)現(xiàn)象，對(duì)行人行車安全、構(gòu)件疲勞壽命等產(chǎn)生較大危害。 為掌握結(jié)構(gòu)渦振性能，現(xiàn)有研究往往借助渦激力數(shù)學(xué)模型，通過(guò)風(fēng)洞試驗(yàn)獲取模型氣動(dòng)力參數(shù)，結(jié)合結(jié)構(gòu)有限元開(kāi)展三維全橋渦振性能分析， 以考慮結(jié)構(gòu)振型、渦激力展向相干性等三維效應(yīng)影響[1]。

現(xiàn)有結(jié)構(gòu)渦振模型可大致分為2 類：?jiǎn)巫杂啥饶Ｐ蚚2-4]和兩自由度模型[5-9]；其中橋梁斷面多采用單自由度形式模型。 這類模型通過(guò)擬合風(fēng)洞試驗(yàn)測(cè)得的結(jié)構(gòu)位移獲取氣動(dòng)力參數(shù)。 由于模型無(wú)法準(zhǔn)確反映渦振過(guò)程流體結(jié)構(gòu)間的耦合關(guān)系，導(dǎo)致擬合參數(shù)在不同質(zhì)量—阻尼系數(shù)工況下存在顯著差別。 設(shè)計(jì)風(fēng)速內(nèi)大跨橋梁渦振可發(fā)生模態(tài)有多階，不同模態(tài)間的模態(tài)質(zhì)量及阻尼比并不相同，基于上述渦振經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠?jì)算結(jié)果難以保證其可靠性。

近年來(lái)，航空航天領(lǐng)域針對(duì)全尺寸流固耦合模擬困難開(kāi)展了降階模擬技術(shù)研究。 其中具有多重卷積積分格式的Volterra 級(jí)數(shù)理論上可通過(guò)無(wú)限階次展開(kāi)近似任意非線性系統(tǒng)，較適用于模擬氣動(dòng)力的非線性特性及記憶效應(yīng)。 Volterra 級(jí)數(shù)早期用于電氣工程[10]，Wu 等[11]將其引入到鈍體斷面非線性氣動(dòng)力模擬，Xu 等[12]則對(duì)其用于大跨橋梁渦激氣動(dòng)力模擬開(kāi)展了初步研究。

為模擬流固耦合行為，需首先獲得描述流體—結(jié)構(gòu)耦合關(guān)系的氣動(dòng)力內(nèi)核項(xiàng)。 相較機(jī)翼斷面，鈍體斷面流固耦合的非線性效應(yīng)更為顯著，渦振發(fā)生風(fēng)速較低，氣動(dòng)力記憶效應(yīng)也更為明顯。 渦激力中高次內(nèi)核項(xiàng)的識(shí)別問(wèn)題尤為突出。 針對(duì)這一問(wèn)題，本文采用理論分析和數(shù)值模擬手段， 對(duì)Volterra 模型非線性最高階次、氣動(dòng)力記憶持續(xù)時(shí)長(zhǎng)等影響因素進(jìn)行研究，提出便于實(shí)際操作的橋梁斷面渦激力內(nèi)核參數(shù)識(shí)別方法，并對(duì)其準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 基于Volterra 理論的渦激力模型

以豎向渦振為例，無(wú)量綱結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

式中， CL（s）為無(wú)量綱升力系數(shù)；Y 為無(wú)量綱位移；K=Dωn/U 為折算頻率；s=Ut/D 為無(wú)量綱時(shí)間；D為結(jié)構(gòu)特征尺寸；ωn為結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率；U 為來(lái)流風(fēng)速；ξ 為結(jié)構(gòu)機(jī)械阻尼比；m 為結(jié)構(gòu)質(zhì)量。

渦振過(guò)程中作用于結(jié)構(gòu)的附加氣彈效應(yīng)主要為非線性氣動(dòng)阻尼效應(yīng)，可將其表示為卷積格式的Volterra 級(jí)數(shù)形式：

式中，C(1)L表示氣動(dòng)力中的線性項(xiàng)；C(p)L（s）表示氣動(dòng)力中的p 次非線性項(xiàng)；τ1,2,...為氣動(dòng)力記憶效應(yīng)持續(xù)時(shí)間；h 為Volterra 級(jí)數(shù)內(nèi)核項(xiàng)，其本質(zhì)為結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)與氣動(dòng)力間的傳遞函數(shù)。

風(fēng)洞試驗(yàn)或CFD 模擬得到的結(jié)構(gòu)位移與氣動(dòng)力時(shí)程為時(shí)間離散格式，有必要將式（3）表示為時(shí)間離散格式：

2 Volterra 模型內(nèi)核識(shí)別方法

Volterra 內(nèi)核識(shí)別主要有2 種途徑[13]：（1）當(dāng)被模擬對(duì)象具有解析表達(dá)式時(shí)，可利用解析方法推導(dǎo)Volterra 級(jí)數(shù)內(nèi)核解析表達(dá)式；（2）當(dāng)被模擬對(duì)象沒(méi)有解析表達(dá)式時(shí)，需利用試驗(yàn)或數(shù)值模擬得到的系統(tǒng)輸入—輸出關(guān)系，采用系統(tǒng)辨識(shí)手段獲取Volterra 級(jí)數(shù)內(nèi)核參數(shù)。

對(duì)于鈍體斷面氣動(dòng)力而言， 無(wú)法通過(guò)理論推導(dǎo)獲得氣動(dòng)力解析表達(dá)； 渦激力內(nèi)核參數(shù)只能通過(guò)試驗(yàn)或CFD 計(jì)算獲取所需數(shù)據(jù)，通過(guò)系統(tǒng)辨識(shí)手段得到。根據(jù)式（6），氣動(dòng)力與結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)關(guān)系可以表示為：

當(dāng)系統(tǒng)輸入—輸出總長(zhǎng)度大于內(nèi)核向量總長(zhǎng)度時(shí)（n+1＞Q1+…+QN），可借鑒最小二乘思想，擬合得到內(nèi)核向量：

其中，符號(hào)“+”表示Moore-Penrose 偽逆。

3 橋梁斷面渦激力內(nèi)核參數(shù)識(shí)別

為驗(yàn)證橋梁斷面渦激力內(nèi)核識(shí)別效果，選取典型π 形斷面， 利用CFD 模擬平臺(tái)獲取內(nèi)核識(shí)別所需數(shù)據(jù)。 計(jì)算網(wǎng)格區(qū)域?yàn)椋?15B≤Lx≤35B 和-25B≤Ly≤25B，其中B 為斷面寬度，Lx和Ly分別為網(wǎng)格區(qū)域在來(lái)流及垂直于來(lái)流方向的大小。 計(jì)算區(qū)域采用三角形非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行離散，底層網(wǎng)格尺寸為0.001B，總體網(wǎng)格數(shù)量約為1.4×105。 計(jì)算區(qū)域及網(wǎng)格尺寸選取基于前期網(wǎng)格優(yōu)化驗(yàn)證。 計(jì)算過(guò)程中雷諾數(shù)為1×104（以斷面高度為參考尺寸），采用大渦模型進(jìn)行湍流模擬。 計(jì)算區(qū)域及網(wǎng)格形狀如圖1所示。

圖1 斷面附近局部網(wǎng)格

系統(tǒng)輸入—輸出數(shù)據(jù)采用不同折算風(fēng)速和振幅單頻強(qiáng)迫振動(dòng)組合， 共包括12 個(gè)折算風(fēng)速（1.66≤U/ωnD≤2.15）和10 個(gè)無(wú)量綱振幅（0.01≤A/D≤0.10）。 各工況采樣時(shí)長(zhǎng)取50 個(gè)振動(dòng)周期。

內(nèi)核參數(shù)識(shí)別需首先確定模型最高階次N 及氣動(dòng)力記憶持續(xù)時(shí)長(zhǎng)Mp。為研究非線性最高階次和記憶持續(xù)時(shí)長(zhǎng)對(duì)模擬效果的影響，對(duì)不同N 和Mp條件下的模擬效果進(jìn)行了比較。 其中，模擬效果評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)采用Balajewicz 和Dowell 提出的擬合誤差率[14]：

式中，yCFD表示CFD 計(jì)算結(jié)果；yROM表示Volterra模型模擬結(jié)果。

擬合誤差率如圖2 所示，其中時(shí)間步長(zhǎng)為0.2s（s=Ut/D）， 即Mp取50 時(shí)，p 階 記 憶 持 續(xù) 時(shí) 長(zhǎng) 為0.2×Mp=10s。從圖2 可以看到，擬合誤差率隨模型最高階次及記憶持續(xù)時(shí)長(zhǎng)的增加而變小，表明模型階次越高、記憶持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng)，模擬效果越好。 當(dāng)Mp大于一定程度時(shí)（如100）時(shí)，提高最高階次N 比增加Mp能獲得更好的模擬效果， 這是由于氣動(dòng)力具有記憶衰減特性，Mp大于一定程度時(shí)即可較好反映氣動(dòng)力的記憶效應(yīng)。 為提高模擬效果，應(yīng)在保證記憶持續(xù)時(shí)長(zhǎng)的基礎(chǔ)上盡量提高模型最高階次。

圖2 擬合誤差率隨非線性階次及記憶時(shí)長(zhǎng)變化規(guī)律

4 內(nèi)核識(shí)別效果驗(yàn)證

為驗(yàn)證內(nèi)核識(shí)別結(jié)果， 對(duì)Volterra 模型模擬結(jié)果與CFD 計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較。 圖3 為鎖定區(qū)前段不同振幅渦激力模擬結(jié)果，各振幅下渦激力形狀基本一致，為類正弦單組分形式，表明斷面漩渦脫落頻率完全被結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)鎖定，此時(shí)渦激力中與結(jié)構(gòu)振動(dòng)同頻的線性項(xiàng)起主導(dǎo)作用。 圖4 為鎖定區(qū)后段不同振幅計(jì)算結(jié)果，此時(shí)渦激力仍表現(xiàn)出振幅相關(guān)特性。 比較圖3 和圖4 可以發(fā)現(xiàn)，鎖定區(qū)振幅最大點(diǎn)和鎖定區(qū)后段渦激力中高頻與低頻成分間的相位差發(fā)生了改變，渦激力中高頻與低頻成分間的相位變化或許是導(dǎo)致鎖定區(qū)后段渦振隨風(fēng)速增加而逐漸消失的原因。

圖3 渦振鎖定區(qū)前段渦激力時(shí)程

圖4 渦振鎖定區(qū)后段渦激力時(shí)程

圖5 為鎖定區(qū)前段渦激力滯回曲線結(jié)果。 可以看到，隨著振幅增加，滯回曲線逐漸飽滿，表現(xiàn)出振幅相關(guān)特性。 圖6 為鎖定區(qū)后段結(jié)果，與鎖定區(qū)振幅最大點(diǎn)處不同，該風(fēng)速下滯回曲線長(zhǎng)軸所處象限發(fā)生了改變，表明渦激力與結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)間的相位差發(fā)生了變化。 各風(fēng)速下，縮階模型均能夠較好地模擬原始CFD 結(jié)果，驗(yàn)證了內(nèi)核識(shí)別結(jié)果的準(zhǔn)確性。

圖5 渦激力滯回曲線（U/ωD=1.84）

圖6 渦激力滯回曲線（U/ωD=2.02）

圖7、圖8 為不同工況渦激力頻譜特性。可以看到，渦激力的非線性特性主要表現(xiàn)為整數(shù)倍頻效應(yīng)。 稀疏內(nèi)核格式的Volterra 模型能夠較好模擬這種整數(shù)倍頻效應(yīng)，進(jìn)一步驗(yàn)證了內(nèi)核識(shí)別結(jié)果的準(zhǔn)確性。

圖7 渦激力頻譜特性（U/ωD=1.84）

圖8 渦激力頻譜特性（U/ωD=2.02）

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)Volterra 級(jí)數(shù)用于橋梁斷面渦激力模擬問(wèn)題，通過(guò)理論分析與數(shù)值模擬手段，對(duì)渦激力內(nèi)核識(shí)別方法進(jìn)行了詳細(xì)驗(yàn)證和比較，得到如下結(jié)論：

（1）擬合誤差率隨模型最高階次及記憶持續(xù)時(shí)長(zhǎng)的增加而變小。 當(dāng)記憶持續(xù)時(shí)長(zhǎng)大于一定程度時(shí)，提高最高階次比增加記憶持續(xù)時(shí)長(zhǎng)能獲得更好的模擬效果。 為提高模擬效果，應(yīng)在保證記憶持續(xù)時(shí)長(zhǎng)的基礎(chǔ)上盡量提高模型最高階次。

（2）渦激力的非線性特性主要表現(xiàn)為整數(shù)倍頻效應(yīng)，Volterra 級(jí)數(shù)模型在時(shí)域、頻域和相空間方面均能較好模擬渦振過(guò)程流體—結(jié)構(gòu)間的耦合關(guān)系。

（3）采用最小二乘方法的渦激力內(nèi)核識(shí)別過(guò)程，無(wú)論從風(fēng)洞試驗(yàn)還是CFD 計(jì)算層面均具有較好的可操作性，可用于實(shí)際橋梁斷面渦激力內(nèi)核參數(shù)識(shí)別。