二分法解非線性方程的算法設(shè)計和Matlab程序

楊柳玉 宋東翔 楊世玲

（德宏師范高等?？茖W校，德宏 678400）

一、引言

在科學研究和科學計算中常常碰到非線性方程求解問題。非線性方程的解一般不能解析求出。所以數(shù)值解法顯得非常重要,而數(shù)值解法在實際中的實現(xiàn)則更為重要,下面介紹二分法解非線性方程在Matlab 里的實現(xiàn)程序[1]。

二、二分法

二分法又稱對分區(qū)間法，是求f(x) = 0 根的一種簡單直觀方法。函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間連續(xù)，且f(a)f(b) ＜ 0 則f(x)= 0在(a,b) 內(nèi)必有實根，此為微積分中的零點定理。然后取由零點定理確定f(x)= 0在[a,c]與[c,b]是否有實根，確定有根區(qū)間后取有根區(qū)間中點繼續(xù)重復做，可得近似根?？梢娢⒎e分中的零點定理是使用二分法的前提[2]。

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù),假定f(a) ＜0f(b) ＞0 取中點,檢查f(x0)的符號。若f(x0) =0,則x0就是一個根; 若f(x0) ＞0,記a為a1,x0為b1,則得有根區(qū)間[a1,b1];若f(x0) ＜0,記x0為a1,b為b1,則得有根區(qū)間[a1,b1]。后兩種情況都得到有根區(qū)間[a1,b1],它的長度為原區(qū)間的一半。對[a1,b1],令x0=a1+b1,再施以同樣的方法,可得新的有根區(qū)間[a2,b2],它的長度為[a1,b1]的一半,如此反復進行下去,其中每一個區(qū)間是前一區(qū)間的一半。有這就是方程的根。而即為方程的近似根,且有估計誤差[3][4]。

三、二分法的算法設(shè)計

（一）二分法的計算步驟

1.求有根區(qū)間[a,b]。有兩種方法，下面會舉例列出。

2.根的精確化。即已知一個根的近似值，逐步提高根的精度，直到滿足所要求的精度為止。

（1）輸入起點a,步長h,方程f(x),誤差e

（2）計算b=a+h

（3）當f(a)f(b) ＞0時，做

a=a+h

b=a+h

若f(a)f(x) ＜0 則 ；b=x

若f(a)f(x)==0x=x；

若f(a)f(x)＞0a=x；

（7）輸出x

四、Matlab 程序和計算實例

例1用二分法求非線性方程f(x)=x3-x- 1 =0在區(qū)間(1,2)內(nèi)的一個實根。

分析：先求出有根區(qū)間（法一）；

當精度控制量 e=0.001 時，求出根的近似值。

解：

（1）先求出有根區(qū)間

因為二分法只能求單根，首先可以搜索函數(shù) 在f(x) =x3-x- 1 = 0 、在MATLAB 命令窗口輸入如下命令:

從圖一可以看出f(x)=x3-x- 1 =0在區(qū)間(1,2)內(nèi)有惟一的一個大于1.3 而小于1.4 的單根。

圖一 在區(qū)間 上的圖像

（2）Matlab 程序?qū)崿F(xiàn)：

先建立ey.m

（3）最后在MATLAB 命令窗中輸入:

例2：下面用二分法求非線性方程f(x)=x3- 5 =0的一個實根。

解：

（1）先求出有根區(qū)間(法二)

取掃描起點a=1,h=0.1,尋找有根區(qū)間如下表所示：

k 0 1 2 3 4 5 6 7 a 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 k b a h 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8= +kk f a f b符號() ()+++++++-k k

故f(x)=x3- 5 =0在區(qū)間（1,2）內(nèi)的有根區(qū)間是[1.7,1.8]。

用二分法求近似值，計算結(jié)果如下表所示：

k 3 0 1 a 1.7 1.7 1.7 1.7 kb 1.8 1.75 1.725 1.7125 k 1.75 1.725 1.7125 1.70625 k a b x=kk +e 2 1 k 1 40 1 80 1 20 160 k f a f b 的符號---k () ()2

故當k=3時，，近似解取為x3=1.70625 。

（3）Matlab 程序?qū)崿F(xiàn)：

先建立eff.m

五、結(jié)束語

二分法是求非線性方程近似根的最簡單的方法，它的數(shù)學思想推行過程簡單易行，便于在計算機上實現(xiàn)。本文結(jié)合兩個非線性方程介紹了二分法解非線性方程的算法設(shè)計和Matlab程序。