對掛鉤模型的深度思考

王 銀 楊天才

(1.安徽省壽縣一中 2.重慶市大學(xué)城第一中學(xué)校)

為了形象、簡捷地處理物理問題,人們經(jīng)常把復(fù)雜的實際情況轉(zhuǎn)化成一定的容易接受的簡單的物理情境,從而形成一定的經(jīng)驗性的規(guī)律,即建立物理模型.高考試題體現(xiàn)了考試作為教育的重要手段和必要環(huán)節(jié),對中學(xué)教學(xué)有一定的導(dǎo)向作用.本文以2017年高考天津卷第8題為切入口,歸納總結(jié)掛鉤模型的特點,并通過對同類模型的進(jìn)階拓展,深度解析其物理本質(zhì),提升學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng).

2 思維鏈條

2.1 模型呈現(xiàn)

例1(2017年天津卷)如圖1所示,輕質(zhì)不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點,懸掛衣服的衣架鉤是光滑的,掛于繩上處于靜止?fàn)顟B(tài).如果只人為改變一個條件,當(dāng)衣架靜止時,下列說法正確的是( ).

圖1

A.繩的右端上移到b′,繩子拉力不變

B.將桿N向右移一些,繩子拉力變大

C.繩的兩端高度差越小,繩子拉力越小

D.若換掛質(zhì)量更大的衣服,則衣服架懸掛點右移

解析對衣架鉤受力分析如圖2所示,設(shè)繩與水平方向的夾角為θ,由平衡條件知2FTsinθ＝mg,則.設(shè)繩子總長為L,衣架兩側(cè)繩長為L1、L2,兩桿間距離為d,根據(jù)幾何關(guān)系有L1cosθ＋L2cosθ＝d,得cosθ＝.繩的右端上移到b′,L、d、衣服及掛鉤的重力mg都不變,則繩子張力FT也不變,選項A 正確;桿N向右移動一些,d變大,FT變大,選項B正確;繩的兩端高度差無論如何變化,不影響d和L,所以FT不變,選項C 錯誤;衣服質(zhì)量增加,繩子上的拉力增加,由于θ不變,則衣服懸掛點不變(不會右移),選項D 錯誤.

圖2

通過對例題的分析,總結(jié)出光滑掛鉤模型的特點:1)成立的條件:不計一切摩擦且系統(tǒng)處于平衡狀態(tài);2)由,兩繩與水平方向的夾角(相同)僅與兩桿間距、繩總長有關(guān),與懸掛物重力、繩中張力、懸掛點(確定)位置無關(guān);3)由知,繩中張力大小處處相等且僅與懸掛物重力、兩桿間距、繩總長有關(guān),與繩子左右結(jié)點的高度差無關(guān),當(dāng)繩兩端點水平距離增加(或減小)時,由于繩長不變,故繩與豎直方向的夾角增大(或減小);4)懸掛點的位置僅與兩桿間距、繩總長、繩端固定點有關(guān),與懸掛物重力、繩中張力無關(guān);5)光滑掛鉤其作用相當(dāng)于輕動滑輪,還可等效為光滑釘子、輕圓柱體等.

2.2 模型應(yīng)用

根據(jù)掛鉤模型的特點,可以設(shè)置與模型相關(guān)的比較大小、臨界條件、動態(tài)變化等基本問題.

例2如圖3所示,一光滑輕繩左端固定在豎直桿頂端,其右端系于一光滑圓環(huán)上,圓環(huán)套在光滑的矩形支架ABCD上.現(xiàn)將一物體用輕質(zhì)光滑掛鉤懸掛于輕繩之上,若使光滑圓環(huán)沿著ABCD方向在支架上緩慢地順時針移動,圓環(huán)在A、B、C、D四點時,繩上的張力分別 為Fa、Fb、Fc、Fd,則( ).

圖3

A.Fa＜FbB.Fb＞Fc

C.Fc＞FdD.Fd＞Fa

解析根據(jù)前文結(jié)論,圓環(huán)沿AB方向和CD方向移動時,張力均不變,即Fa＝Fb,Fc＝Fd,選項A、C錯誤;沿BC方向移動時,作用點間距增大,張力增大,即Fb＜Fc,Fd＞Fa,選項D 正確.

點評本題與模型結(jié)論十分吻合,解決此類問題時,首先要通過受力分析,掌握其受力特點,建立正確的物理模型,再根據(jù)相關(guān)結(jié)論求解.

例3如圖4所示,將一根輕而柔軟的細(xì)繩一端拴在天花板上的A點,另一端拴在墻壁的B點,A和B到O點的距離相等,繩的長度是OA的兩倍,在一質(zhì)量可忽略的動滑輪K的下方懸掛一質(zhì)量為m的重物,摩擦力可忽略.現(xiàn)將動滑輪、重物一起掛到細(xì)繩上,在達(dá)到新的平衡時,繩中拉力為多大?B點沿墻壁向O點緩慢移動過程中,繩中拉力最小值為多大?

圖4

解析由前文結(jié)論知.如果此時將B點沿墻壁向O點緩慢移動,F不變,拉力最小值為

點評本題要求定量計算繩中張力的大小和張力的極值,是模型的具體應(yīng)用.

例4如圖5所示,以水平直桿AB的中點O為轉(zhuǎn)軸,一輕繩跨過輕質(zhì)滑輪,兩端分別固定在A、B兩點,滑輪通過另一根輕繩連接一重物,不計滑輪與輕繩之間的摩擦.現(xiàn)讓直桿AB繞O逆時針緩慢轉(zhuǎn)過角度θ(θ＜90°),輕繩的張力( ).

圖5

A.逐漸減小 B.逐漸增大

C.先增大后減小 D.先減小后增大

解析直桿AB繞O逆時針緩慢轉(zhuǎn)過角θ(θ＜90°)的過程中可認(rèn)為重物處于平衡狀態(tài),因間距減小,輕繩的張力逐漸減小,選項A 正確.

點評本題在原有模型基礎(chǔ)上,增加了靜力學(xué)的動態(tài)平衡背景,因兩個分力的大小和方向都在改變,這里不能用求解動態(tài)平衡問題的矢量三角形法和相似三角形法判斷,要求學(xué)生在解題時整合必備知識,以此提升關(guān)鍵能力.

2.3 模型拓展

掛鉤模型的成立條件是不計一切摩擦且系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),如果晾衣繩粗糙、“活結(jié)”變“死結(jié)”、有外力作用、系統(tǒng)處于加速狀態(tài)等,其結(jié)論有何不同呢?

例5如圖6所示,輕質(zhì)不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點,a點比b點低,晾衣繩粗糙,懸掛衣服的衣架鉤在晾衣繩中點和在桿M、N中間位置時都不滑動.衣架靜止,下列說法正確的是( ).

圖6

A.衣架鉤在晾衣繩中點時,左右兩邊繩子拉力大小相等

B.衣架鉤在晾衣繩中點時,右邊繩子拉力小于左邊繩子拉力

C.衣架鉤在桿M、N中間位置時,左右兩邊繩子拉力大小相等

D.衣架鉤在桿M、N中間位置時,右邊繩子拉力大于左邊繩子拉力

解析設(shè)a到節(jié)點的高度為h1,b到節(jié)點的高度為h2,節(jié)點到M的水平距離為x1,節(jié)點到N的水平距離為x2,a端繩子和水平方向的夾角為α,b端繩子和水平方向的夾角為θ,對繩子節(jié)點進(jìn)行受力分析,如圖7所示.當(dāng)衣架鉤在晾衣繩中點時,設(shè)a、b到節(jié)點繩子長度為L,根據(jù)幾何關(guān)系有

圖7

因為h1＜h2,可 得α＜θ,根據(jù)平衡條件有Facosα＝Fbcosθ,可得,選項A、B錯誤;衣架鉤在桿M、N中間位置時,根據(jù)幾何關(guān)系有

因為h1＜h2,可得α＜θ,根據(jù)平衡條件有Facosα＝Fbcosθ,可得,Fa＜Fb,選項C錯誤,選項D 正確.

點評本題涉及繩受摩擦力問題,是模型的進(jìn)階拓展.原有模型(“活結(jié)”)的結(jié)論要重新進(jìn)行修正(“死結(jié)”),不能直接套用結(jié)論.對懸掛物進(jìn)行正確的受力分析、正交分解,最后利用力的平衡條件列方程求解是關(guān)鍵.如果把重物(衣服)換成其他質(zhì)點(如雜技演員),只要是在摩擦力作用下系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài),新結(jié)論依然成立.

例6如圖8 所示,輕質(zhì)不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在兩根豎直桿上,A端高于B端,繩上掛有一件衣服,為防止滑動,將懸掛衣服的衣架鉤固定在繩上,當(dāng)固定在適當(dāng)位置O處時,繩子兩端對兩桿的拉力大小相等.則( ).

圖8

A.繩子OA段與豎直桿夾角比OB段與豎直桿夾角大

B.O點位置與衣服重力有關(guān),衣服重力越大,O點離B端越近

C.若衣架鉤固定在繩子上中點處,則繩子兩端對桿的拉力大小仍然相等

D.若衣架鉤固定在繩子上中點處,則繩子A端對桿的拉力大于B端對桿的拉力

解析設(shè)左、右兩段繩的拉力大小分別為F1、F2,左、右兩段繩與豎直方向的夾角分別為α、β,根據(jù)水平方向受力平衡可得F1sinα＝F2sinβ,由于F1＝F2,故α＝β,選項A 錯誤;根據(jù)上面的方程可知,O點的位置取決于繩長和兩桿間的距離,與衣服重力無關(guān),選項B錯誤;若衣架鉤固定在繩子的中點處,由于桿A高于桿B,即α＞β,結(jié)合F1cosα＝F2cosβ,可得F1＞F2,選項C錯誤,選項D 正確.

點評本題因懸掛點固定,相當(dāng)于“死結(jié)”模型,結(jié)論與例5相似,例5和例6學(xué)生易與不打結(jié)的繩混淆而認(rèn)為繩上的拉力始終相等,要求學(xué)生對具體問題要具體分析.

例7如圖9 所示,一根不可伸長的長為L的輕繩兩端分別固定在間距為d的兩豎直桿的P點和Q點上,晾衣架上掛著濕衣服,衣架上的鉤掛在輕繩上可來回自由滑動.若忽略衣架掛鉤與輕繩間的摩擦,則下列說法正確的是( ).

圖9

A.在濕衣服上的水滴下落過程中,輕繩中的張力不斷減小

B.衣服不滴水時,將P點稍向上移動,則輕繩中的張力增大

C.衣服不滴水時,將左側(cè)豎直桿稍向左移動,則輕繩中的張力減小

D.衣服不滴水時,刮起了向左的風(fēng),若風(fēng)力大小恒定,再將P點稍向上移動,輕繩中的張力將增大

解析由前文結(jié)論,濕衣服上的水滴下落過程中,衣服重力mg減小,則輕繩中的張力不斷減小,選項A 正確;衣服不滴水時,將P點稍向上移動,輕繩中的張力不變,選項B錯誤;衣服不滴水時,將左側(cè)豎直桿稍向左移動,輕繩中的張力增大,選項C 錯誤;衣服不滴水時,刮起了向左的風(fēng),若風(fēng)力大小恒定,此時兩段輕繩的拉力的合力方向偏向右上方,如圖10所示,由于重力和向左的風(fēng)力的合力大于衣服的重力,所以此時細(xì)繩拉力增大;再將P點稍向上移動,相當(dāng)于增大了兩根桿之間的距離,即距離由d′變?yōu)閐″,則輕繩中的張力增大,選項D 正確.

圖10

點評本題在原模型基礎(chǔ)上,繼續(xù)改變條件創(chuàng)設(shè)新情境,使懸掛物受到水平恒力(外力)的作用,需要學(xué)生根據(jù)原有相關(guān)的解題方法來解決新問題.

2.4 模型升華

物理問題源自“原汁原味”的自然現(xiàn)象和實際生活,前面的例題都是原模型及其拓展的理論推導(dǎo).那這一模型可以用實驗檢驗嗎?

例8為了研究人們用繩索跨越山谷過程中繩索拉力的變化規(guī)律,同學(xué)們設(shè)計了如圖11所示的實驗裝置.他們將不可伸長輕繩的兩端通過測力計(不計質(zhì)量及長度)固定在相距為D的兩立柱上,固定點分別為P和Q,P低于Q,繩長為L(L＞PQ).他們首先在繩上距離P點10cm處(標(biāo)記為C)系上質(zhì)量為m的重物(不滑動),由測力計讀出PC、QC的拉力大小FTP、FTQ.隨后,改變重物懸掛點C的位置,每次將P到C的距離增加10cm,并讀出測力計的示數(shù),最后得到FTP、FTQ與繩長PC的關(guān)系曲線,如圖12所示.由實驗可知,曲線Ⅰ、Ⅱ相交處,可讀出繩的拉力為FT0＝________N,它與L、D、m和重力加速度g的關(guān)系為FT0＝________.

圖11

圖12

解析兩曲線的交點表示左右的繩拉力大小相等,讀出縱坐標(biāo)為FTP＝FTQ＝4.30 N.設(shè)CQ繩與立柱的夾角為θ,延長CQ線交另一立柱上,構(gòu)成直角三角形,則,由力的平衡可知2FT0cosθ＝mg,則.

點評本實驗題是對模型一次升華,讓學(xué)生回歸實際生活,讓學(xué)生明白我們所做的習(xí)題不是抽象的、虛無縹緲的,而是實際的、具體的問題.

掛鉤模型是相互作用章節(jié)中一類重要的物理問題,是力的平衡問題的典型代表,也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點、難點、痛點.本模型還是現(xiàn)實生活中客觀存在的物理現(xiàn)象,讓不同層次的學(xué)生參與課堂習(xí)題解決,促進(jìn)他們基于真實情境探究問題,發(fā)展其問題解決能力和物理學(xué)科核心素養(yǎng).

(完)