電子背散衍射花樣的數(shù)學(xué)特征

楊成超，陳亮維，駱婉君，梁 琦，宋宏遠(yuǎn)，劉 斌，虞 瀾

(昆明理工大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院,昆明 650093)

0 引 言

日本科學(xué)家Kikuchi在1928年運(yùn)用薄的云母樣品首次觀察到了電子背散衍射(electron backscatter diffraction， EBSD)現(xiàn)象，認(rèn)為這是由發(fā)散光源引起的，故電子背散衍射花樣被命名為Kikuchi花樣[1]。Humphreys和Dingley等利用EBSD菊池(Kikuchi)花樣求解晶體取向或織構(gòu)[2-5]，Michael等[6]利用CCD探頭獲得Kikuchi花樣來鑒定物相及其晶體結(jié)構(gòu)，Russ等[7]對(duì)Kikuchi花樣進(jìn)行了Hough數(shù)學(xué)變換，Wright和Adams等在Kikuchi花樣的自動(dòng)化解析方面做過獨(dú)創(chuàng)性工作[8-10]。目前EBSD得到了廣泛的應(yīng)用，已成為一種常規(guī)的晶體檢測設(shè)備,但EBSD商用分析軟件大多只提供分析結(jié)果，缺少分析過程與原始數(shù)據(jù)，給學(xué)習(xí)者制造了斷層式障礙[11-13]。然而普通EBSD用戶對(duì)原始Kikuchi花樣揭示的信息缺乏了解，較難理解和掌握在Kikuchi花樣解析中進(jìn)行的Hough數(shù)學(xué)變換，根據(jù)晶體結(jié)構(gòu)及取向直接計(jì)算Kikuchi花樣的數(shù)理特征的文獻(xiàn)鮮有報(bào)道。陳亮維等[14-17]利用晶體極射投影計(jì)算了立方和六方晶系金屬材料常見織構(gòu)的理論極圖，重新計(jì)算了歐拉空間與織構(gòu)類型的表達(dá)式，對(duì)Bunge和Roe的表達(dá)式進(jìn)行了完善和補(bǔ)充[18]，利用倒易矢量數(shù)學(xué)方法建立了已知取向的晶體與理論透射衍射花樣之間的數(shù)理關(guān)系[19-20]。在此基礎(chǔ)上，本文利用心射投影原理，從晶體結(jié)構(gòu)和晶體取向出發(fā)，運(yùn)用純數(shù)學(xué)方法去推導(dǎo)Kikuchi花樣的數(shù)學(xué)特征，一方面與分析軟件的分析結(jié)果相互驗(yàn)證，另一方面使讀者更加清楚分析過程。這為讀者解析原始的EBSD花樣信息提供了參考，也為設(shè)計(jì)新的EBSD數(shù)據(jù)分析軟件提供了依據(jù)，同時(shí)為單晶芯片質(zhì)量檢驗(yàn)提供了新方法。

1 EBSD花樣的數(shù)學(xué)特征

1.1 EBSD花樣與晶體取向的關(guān)系

EBSD花樣與樣品的晶粒取向有唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。已知樣品的晶體結(jié)構(gòu)和取向，可以推算出其理論的EBSD花樣；根據(jù)實(shí)測的EBSD花樣可以計(jì)算晶體結(jié)構(gòu)與取向。每條Kikuchi線是對(duì)應(yīng)晶面產(chǎn)生的衍射圓錐與觀察熒光屏的交線(見圖1)。

晶面間距dhkl滿足布拉格方程：

2dhklsinθ=nλ

(1)

式中：λ是入射電子的波長；dhkl是晶面間距；θ是衍射角(見圖2)；n是衍射級(jí)數(shù)。

z*是電子從樣品垂直入射到熒光屏的距離，入射點(diǎn)PC就是圖形中心(pattern center)，過PC點(diǎn)作衍射菊池線的垂線，PC點(diǎn)到衍射菊池線兩個(gè)交點(diǎn)的距離分別是r和r′，兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離，就是菊池線寬l=r′-r。

由此計(jì)算衍射角θ為：

(2)

將式(2)代入式(1)，可以計(jì)算出晶面間距dhkl為：

(3)

查表后得出可能對(duì)應(yīng)的晶面指數(shù)hkl。從式(3)看出菊池線寬與對(duì)應(yīng)的晶面間距呈負(fù)相關(guān)，即晶面間距越大對(duì)應(yīng)的菊池線越窄。一組實(shí)際的平行晶面產(chǎn)生的衍射線與雙曲線更接近。EBSD花樣滿足心射切面投影的規(guī)律(見圖3)[17]。

晶體放置在參考球心O點(diǎn)，任意一個(gè)晶帶軸投影在指定的切面上形成一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)任意一組平行晶面的衍射結(jié)構(gòu)因子不為零時(shí)，在指定切面上形成一條有寬度的線，這條線的寬度與其對(duì)應(yīng)的晶面間距成反向關(guān)系。EBSD花樣中每條線與產(chǎn)生衍射的一個(gè)晶面對(duì)應(yīng)，EBSD花樣中的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)晶帶軸。從心射切面投影的特征可知，所有晶帶軸指數(shù)[uvw]中的u和v可以是兩個(gè)方向，但所有w只能是一個(gè)方向。從球心到任意兩條晶帶軸對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的兩條線的夾角等于這兩個(gè)晶帶軸之間的夾角。衍射線條之間的夾角與對(duì)應(yīng)的一組晶面夾角有關(guān)系，但兩個(gè)角不一定相等，因?yàn)橥队扒忻娌⒉灰欢ù怪庇谶@兩個(gè)晶面。由圖3可知，心射切面投影的參考球的半徑ON為R，晶向OD與切面的交點(diǎn)是D，其夾角∠NOD=τ,可得N、D兩點(diǎn)的距離lND為：

lND=Rtanτ

(4)

根據(jù)式(4)和晶體結(jié)構(gòu)知識(shí)就可以繪制任意晶系、任意點(diǎn)陣和任意取向的理論EBSD菊池花樣。

1.2 面心立方、體心立方和六方晶體的基本晶帶軸的EBSD花樣特征

用相似的繪制方法可得體心立方和六方晶體基本晶帶軸投影于圖案中心的菊池花樣特征如圖5和圖6所示。

1.3 面心立方晶體的(001)[110]取向和(001)[100]取向的理論EBSD花樣的計(jì)算

表1 立方晶體晶面或晶向夾角Table 1 Angle of the crystal plane or crystal direction in a cubic crystal

表2 常見晶帶軸與[114]晶帶軸的夾角(A)和距離(D)Table 2 Angle (A) and distance (D) between the common zone axis and the [114] zone axis

繪制面心立方晶體的(001)[100]取向理論EBSD花樣的方法與(001)[110]取向的完全相同。假定參考球心到EBSD花樣中心PC的距離z*是50 mm，計(jì)算相關(guān)晶面或晶帶軸間的夾角見表1。晶向[4011]，其中u=4、v=0、w=11，與晶向[001]的夾角為19.98°。取晶向[4011]與熒光屏的交點(diǎn)為PC點(diǎn)，則常見晶帶軸與[4011]晶帶軸的夾角、與熒光屏的交點(diǎn)到PC點(diǎn)的距離如表3所示。根據(jù)對(duì)稱性及表3的數(shù)據(jù)，面心立方晶體(001)[100]取向的理論EBSD菊池花樣如圖8所示。其他任意取向的理論菊池花樣都可以用相同的方法繪制。

表3 常見晶帶軸與[4011]晶帶軸的夾角(A)和距離(D)Table 3 Angle (A) and distance (D) between the common zone axis and the [4011] zone axis

2 結(jié)果與討論

利用面心立方晶體[111]、[101]和[001]晶帶軸投影于圖案中心的理論菊池花樣，及圖7和圖8中各晶帶軸的花樣特征，對(duì)實(shí)測面心立方晶體菊池花樣指數(shù)標(biāo)定非常有幫助。圖9是鎳的2個(gè)實(shí)測EBSD花樣，對(duì)照面心立方晶體基本晶帶軸的理論EBSD花樣，很容易標(biāo)定與菊池線交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的晶帶軸指數(shù)，已添加在圖9中。測量時(shí)PC點(diǎn)的坐標(biāo)是已知的，基本晶帶軸對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)可以在實(shí)測圖中獲得，基本晶帶軸指數(shù)可以對(duì)照基本晶帶軸的理論菊池花樣特征獲得，利用心射切面投影的數(shù)學(xué)原理，就可以計(jì)算獲得晶體的取向信息。將圖4的理論花樣傾斜20°投影就可得到ND分別是[111]、[101]和[001]的理論菊池花樣，在實(shí)際檢測中，精確統(tǒng)計(jì)這3個(gè)方向的晶粒取向信息，就可以獲得主要晶粒取向的演變規(guī)律。

孿晶有具體的定義，孿晶的理論EBSD花樣可以通過計(jì)算獲得，并經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證孿晶的EBSD菊池花樣與普通取向的花樣是有區(qū)別的。因此，EBSD方法可以檢測孿晶。

由于電子束可以會(huì)聚至微米以下，甚至達(dá)到納米級(jí)，通常在電子束作用范圍內(nèi)的晶體是單晶體，電子在樣品上隨機(jī)掃描時(shí)，很容易獲得單晶取向的菊池花樣。如果一個(gè)小區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的菊池花樣完全相同，則該區(qū)域就是一個(gè)特定取向的單晶，對(duì)樣品進(jìn)行區(qū)域掃描，獲得該區(qū)域內(nèi)各晶體的大小、取向及晶界的信息，可以根據(jù)統(tǒng)計(jì)相同取向晶粒面積的百分含量來評(píng)估織構(gòu)的含量。從圖7和圖8可知，一張實(shí)測的EBSD菊池花樣與一個(gè)具體的晶體取向即織構(gòu)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。因此可以用實(shí)測的EBSD菊池花樣直接表示織構(gòu)的信息，不需通過數(shù)學(xué)變換計(jì)算成多個(gè)極圖或晶粒取向分布函數(shù)截面圖即ODFs圖[14-18]。

EBSD與電子透射衍射雖然都滿足衍射方程，但有顯著的區(qū)別。EBSD的光源是符合心射切面投影規(guī)律[10]，在某一取向下可以觀察到多個(gè)晶帶軸的花樣，如圖9(b)所示，菊池花樣中的不同交點(diǎn)，都是代表了不同的晶帶軸(當(dāng)然有等效的晶帶軸)，僅憑一個(gè)取向的EBSD花樣就可以解析出與之對(duì)應(yīng)的晶體結(jié)構(gòu)與物相。電子透射衍射的光源是平行光源，在某一取向下只能觀察到一個(gè)晶帶軸的斑點(diǎn)花樣，因此至少需要3個(gè)不同方向的晶帶軸透射衍射花樣信息，才能確定其晶體結(jié)構(gòu)與物相[19-20]。

利用EBSD方法可以檢驗(yàn)出單晶芯片材料原子級(jí)別的晶體結(jié)構(gòu)缺陷、如原子排序的錯(cuò)誤或原子缺失等晶體結(jié)構(gòu)缺陷。利用電子背散衍射現(xiàn)象可以從約0.5 nm大小的晶胞中獲得直徑約35 mm大小的菊池花樣，即通過觀察分析直徑約35 mm大小的菊池花樣，就可以獲得約0.5 nm大小的晶胞內(nèi)的原子排列信息。這構(gòu)建了從微觀到宏觀的橋梁。理論上對(duì)電子背散衍射樣品的大小沒有特殊要求，僅受樣品觀察室大小的限制。通常樣品厚度可達(dá)3 mm至5 mm，邊長可達(dá)20 mm至30 mm,這相當(dāng)于一個(gè)實(shí)際單晶芯片產(chǎn)品的尺寸。對(duì)電子背散衍射樣品的唯一要求是樣品觀察表面的光潔度要優(yōu)于100 nm。與透射電鏡樣品的制備(樣品厚度小于100 nm，樣品的直徑約為3 mm)相比,電子背散衍射樣品的制備非常簡單。另外，對(duì)單晶芯片材料而言，成分是已知的，晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)是已知的，電子背散衍射花樣與芯片材料取向(原子排列)的數(shù)理關(guān)系是已知的，檢驗(yàn)儀器設(shè)備與檢驗(yàn)圖像分析處理軟件都可以被設(shè)計(jì)出來，從而實(shí)現(xiàn)國產(chǎn)化。

3 結(jié) 論

利用心射切面投影的數(shù)學(xué)原理建立了晶體結(jié)構(gòu)、取向與EBSD菊池花樣之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。每個(gè)晶系每種點(diǎn)陣的基本晶帶軸在PC點(diǎn)的EBSD菊池線花樣都有固定的特征。按每種晶體3個(gè)基本晶帶軸，14種布拉維點(diǎn)陣計(jì)算，最多只有42種EBSD菊池花樣特征，這些花樣的數(shù)值特征完全可以做成標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)，利用圖像識(shí)別技術(shù)，簡化EBSD分析。

(1)金屬材料通常只有面心立方、體心立方和簡單六方晶體等3種結(jié)構(gòu)，基本晶帶軸的EBSD花樣數(shù)學(xué)特征只有9種，金屬材料的EBSD花樣分析相對(duì)更簡單。

(2)晶體取向與EBSD菊池花樣有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，已知晶體的點(diǎn)陣和取向信息，就可以計(jì)算出理論的EBSD菊池花樣特征。

(3)把實(shí)測的EBSD菊池花樣與基本晶帶軸在PC點(diǎn)的菊池花樣特征對(duì)照，很容易識(shí)別出與實(shí)測的菊池線交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的基本晶帶軸[uvw]，從儀器參數(shù)可知與基本晶帶軸對(duì)應(yīng)的菊池線交點(diǎn)坐標(biāo)和PC點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可計(jì)算出晶體的取向和主要晶面在樣品中的空間分布。

(4)利用EBSD可以檢驗(yàn)單晶芯片的結(jié)晶質(zhì)量。