一種新型可變增益高階滑模跟蹤微分器

趙左平， 于靖東， 金山海

( 延邊大學 工學院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

在反饋控制系統(tǒng)中，反饋回路通常由輸入信號及其導數(shù)構(gòu)成.但由于受環(huán)境干擾和傳感器精度等的影響，反饋回路中的輸入信號易含有噪聲，進而會降低系統(tǒng)的控制性能；因此,濾除輸入信號中的噪聲并正確估計其導數(shù)對系統(tǒng)控制具有重要意義.目前，數(shù)字濾波技術(shù)已被廣泛應(yīng)用于數(shù)字控制系統(tǒng)中，其中線性濾波器因具有結(jié)構(gòu)簡單的優(yōu)點受到學者們的關(guān)注；但線性濾波器在強降噪的情況下會產(chǎn)生較大的相位滯后，進而會降低控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.針對線性濾波器所存在的缺陷，一些學者對非線性濾波器進行了研究.1994年，韓京清等[1]提出了一類具有拋物線滑模面的2階滑模跟蹤微分器(TD- [1])，由于該濾波器的濾波效果顯著優(yōu)于線性濾波器，因此目前被廣泛應(yīng)用于各類控制系統(tǒng)中[2-4].但TD- [1]存在易產(chǎn)生超調(diào)的缺陷，對此Jin等[5]對TD- [1]進行了改進并提出了TD- [5]，該方法可有效對超調(diào)進行抑制.Lü等[6]在TD- [5]的基礎(chǔ)上提出了一種快速收斂的2階滑模跟蹤微分器(TD- [6])，TD- [6]可在不影響濾波效果的前提下提高系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度.由于上述微分器都只能估計輸入信號及其1階導數(shù)，而無法估計輸入信號的高階導數(shù)，因此Levant[7]研究了另一類能估計輸入信號高階導數(shù)的高階滑模跟蹤微分器(TD- [7]).TD- [7]雖具有高魯棒性、高精確性等優(yōu)點[8-10]，但其在響應(yīng)階段會產(chǎn)生較大超調(diào)，且在強噪聲情況下無法平衡濾波效果和跟蹤速度之間的權(quán)衡.為此，本文對TD- [7]進行改進，提出一種新型可變增益高階滑模跟蹤微分器，并對其性能進行了研究.

1 高階滑模跟蹤微分器

TD- [7]的連續(xù)時間表達式為：

(1a)

…

(1b)

(1c)

(1d)

…

(1e)

(1f)

其中:nf=1,2,3,…;nd=0,1,2,3,…;k=1,2,3,…;nf+nd=k;u(t)為輸入信號;z0(t),z1(t),…,znd(t)為輸入信號u(t)的nd階導數(shù)估計；w1(t),w2(t),…,wnf(t)為輔助變量；λ0,λ1,λ2,…,λk>0是一組遞歸數(shù)列；L>0為系統(tǒng)增益；符號函數(shù)sgn()的表達式為：

(2)

圖1為1階TD - [7]在含噪聲階躍輸入信號時的響應(yīng)結(jié)果.由圖1可以看出，系統(tǒng)增益L取任何值時都會產(chǎn)生超調(diào).另外，增大L值雖然可加快系統(tǒng)的收斂速度，但同時會降低濾波效果，因此需要平衡系統(tǒng)的響應(yīng)速度與濾波效果.

2 新型高階滑模跟蹤微分器

2.1 改進型高階滑模跟蹤微分器

本文提出的改進型高階滑模跟蹤微分器(TD - M)的連續(xù)時間表達式為：

(3a)

…

(3b)

(3c)

(3d)

…

(3e)

(3f)

其中0 <β≤1.

圖2為1階TD- [7](L=100)和1階TD -M(L=375,β=0.5)在無噪聲階躍輸入信號時的響應(yīng)結(jié)果.圖2中，為了使TD- [7]和TD - M的收斂速度相同，本文增加了TD - M的增益取值.由圖2可以看出，在t1時刻之前，z0(t)-u(t)的符號未發(fā)生改變，因此w1(t)始終朝一個方向進行累積；在t1時刻之后，z0(t)-u(t)的符號發(fā)生改變，且此時w1(t)已經(jīng)累積了一定數(shù)值，因此w1(t)的符號在t2時刻才能發(fā)生改變并需要一定的時間才能收斂到0.由以上可知，TD - [7]和TD - M都會產(chǎn)生超調(diào)，但由于TD - M的各階系統(tǒng)狀態(tài)都增加了β項，因此w1(t)的改變點相比TD - [7]出現(xiàn)得更早,且收斂到0的速度更快，即TD - M在系統(tǒng)響應(yīng)階段所產(chǎn)生的超調(diào)小于TD- [7].

(a) 輸入信號u(t)和輸出信號z0(t) (b) 圖(a)的局部放大 圖1 TD - [7]在含噪聲階躍輸入信號時的響應(yīng)結(jié)果

(a) TD- [7]的z0(t)-u(t)和10w1(t) (b) TD - M的z0(t)-u(t)和10w1(t)圖2 1階TD - [7]和1階TD - M在無噪聲階躍輸入信號時的響應(yīng)結(jié)果

圖3 1階TD - M在無噪聲階躍輸入信號下β取不同值時的響應(yīng)結(jié)果

圖3為1階TD - M在無噪聲階躍輸入信號下取不同β值的響應(yīng)結(jié)果.由圖3可以看出，增益L值不變時系統(tǒng)的收斂速度和超調(diào)均隨β值的減小而減小.

圖4為1階TD - [7](L=100)和1階TD - M (L=375,β=0.5)在含噪聲階躍輸入信號時的響應(yīng)結(jié)果.由圖4可見，二者在響應(yīng)速度相近時TD - M產(chǎn)生的超調(diào)小于TD - [7]，但在穩(wěn)態(tài)階段下二者的濾波效果相似.

(a) TD - [7]的z0(t)和TD -M的z0(t) (b) 圖(a)的局部放大 圖4 1階TD - [7]和1階TD - M在含噪聲階躍輸入信號時的響應(yīng)結(jié)果

2.2 可變增益高階滑模跟蹤微分器

為了進一步提升TD- M的噪聲抑制能力，本文提出了一種可變增益高階滑模跟蹤微分器(TD- N)，即用Sigmoid變增益函數(shù)代替常數(shù)增益L對系統(tǒng)的跟蹤性能進行調(diào)整.利用該方法可使系統(tǒng)在跟蹤誤差較大時，能夠通過增大增益來提高收斂速度，而在跟蹤誤差較小時能夠通過減小增益來提高濾波效果.TD- N的連續(xù)時間表達式為：

(4a)

…

(4b)

(4c)

(4d)

…

(4e)

(4f)

圖5為參數(shù)a和b取不同值時Sigmoid變增益函數(shù)的變化曲線.由圖5可以看出，通過調(diào)節(jié)參數(shù)a可改變Sigmoid變增益函數(shù)的斜率，通過調(diào)節(jié)參數(shù)b可改變Sigmoid變增益函數(shù)的下限.

圖5 參數(shù)a和b取不同值時Sigmoid變增益函數(shù)的曲線變化

圖6 TD - N在無噪聲階躍輸入信號時的響應(yīng)結(jié)果

圖6為TD - N在無噪聲階躍輸入信號時的響應(yīng)結(jié)果.從圖可以看出，當跟蹤誤差較大時，系統(tǒng)處于響應(yīng)階段.此時函數(shù)G(t)的值無限趨近于上限，從而可加快系統(tǒng)的狀態(tài)收斂.而當系統(tǒng)趨于穩(wěn)態(tài)和跟蹤誤差較小時，函數(shù)G(t)的值趨于下限，從而可提高濾波效果.

3 仿真驗證

本文采用如下三角波、方波及變頻正弦波輸入信號對TD - N的有效性進行驗證：

(5)

(6)

(7)

其中：δ(t)～N(0,1)是均值為零的單位高斯白噪聲.TD - [7]和TD - N的參數(shù)取值見表1，仿真采樣周期取T=0.001 s.此外，由于TD - [7]的連續(xù)時間表達式(1)和TD - N的連續(xù)時間表達式(4)無法在數(shù)字處理器中直接運行，因此采用前進歐拉離散法對其進行離散化后再在數(shù)字處理器中進行運行[12].

表1 TD - [7]和TD - N的參數(shù)取值

使用以下兩個評估函數(shù)定量評估系統(tǒng)的濾波效果和超調(diào)量：

式中:AE是平均誤差，us(t)為輸入信號的無噪聲分量，MO是最大超調(diào)量.

圖7—圖15分別為TD- [7]、TD- N在輸入信號為式(5)—(7)時的性能. 由圖可以看出，在該3種輸入信號下，TD- N和TD- [7]的收斂速度雖然接近，但TD- N的最大超調(diào)量明顯小于TD- [7].此外，在穩(wěn)態(tài)階段TD- N的濾波性能也顯著優(yōu)于TD- [7].由此可知，在不影響收斂速度的前提下 TD- N的超調(diào)抑制能力和噪聲濾除能力均優(yōu)于TD- [7].

圖7 輸入信號為式(5)時TD- [7]和TD- N的響應(yīng)結(jié)果

圖9 輸入信號為式(7)時TD- [7]和TD- N的響應(yīng)結(jié)果

圖10輸入信號為式(5)時TD- [7]和TD- N的平均誤差

圖11輸入信號為式(6)時TD- [7]和TD- N的平均誤差

圖12輸入信號為式(7)時TD- [7]和TD- N的平均誤差

圖14輸入信號為式(6)時TD- [7]和TD- N的最大超調(diào)量

圖13輸入信號為式(5)時TD- [7]和TD- N的最大超調(diào)量

圖15輸入信號為式(7)時TD- [7]和TD- N的最大超調(diào)量

4 結(jié)論

研究表明，本文提出的新型可變增益高階滑模跟蹤微分器(TD- N)產(chǎn)生的超調(diào)不僅小于TD- [7]，而且在不影響收斂速度的前提下可有效提高濾波效果；因此，TD- N的性能顯著優(yōu)于TD- [7]， 并有望在強噪聲和寬輸入信號頻率的環(huán)境下得到應(yīng)用.本文在研究中僅對TD- N的部分參數(shù)進行了分析，因此在今后的工作中我們將進一步研究其他參數(shù)對TD- N的性能的影響，以得到更好的TD- N.