Banach空間中分數(shù)階微分方程Robin邊值問題解的存在性

李小龍

( 隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 甘肅 慶陽 745000 )

分數(shù)階微分方程在流體力學(xué)、分數(shù)控制系統(tǒng)與分數(shù)控制器、電分析化學(xué)、神經(jīng)的分數(shù)模型以及分數(shù)回歸模型等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.近年來,許多學(xué)者應(yīng)用錐拉伸與錐壓縮不動點定理、Lexar - Schauder不動點定理及上下解的單調(diào)迭代技巧等研究了分數(shù)階邊值問題解的存在性[1-7],但在一般的無窮維Banach空間中對該類問題的研究還比較少[8].與普通微分方程相比,研究Banach空間微分方程的最大難點是把微分方程轉(zhuǎn)換為與之等價的積分方程后，相應(yīng)的積分算子不再具有緊性.2011年,文獻[5]的作者在實數(shù)空間中運用錐拉伸與錐壓縮不動點定理討論了非線性分數(shù)階微分方程邊值問題(式(1))解的存在性.

(1)

(2)

1 預(yù)備知識

定義2[1]設(shè)β>0, 函數(shù)f:(0,+∞)→R的β階Riemann - Liouville導(dǎo)數(shù)為

其中Γ(·)為Gamma函數(shù),n=[β]+1.

引理2[2]假設(shè)u∈C(0,1)∩L(0,1)有β>0階導(dǎo)數(shù)屬于C(0,1)∩L(0,1), 則

其中ci∈R,i=1,2,…,N(N是大于或等于β的最小正整數(shù)).

引理3[8]設(shè)1<β≤2, 則對?h∈C(J,E), Banach空間E中的線性分數(shù)階邊值問題

存在唯一解：

(3)

本文中，E與C(J,E)中的有界集的Kuratiwski非緊性測度均由α(·)表示.對B?C(J,E), 記B(t)={u(t)|u∈B}?E,t∈J.

引理6[9](凝聚映射的Leray - Schauder不動點定理) 設(shè)E是Banach空間,Q:E→E凝聚,若集合{x∈E|x=λQx,0<λ<1}有界,則Q在E中必有不動點.

引理7[9](Sadovskii不動點定理) 設(shè)E是Banach空間，D?E為有界凸閉集,若Q:D→D凝聚,則Q在E中必有不動點.

引理9[11]設(shè)D?E有界,則存在D的可列子集D0， 使得α(D)≤2α(D0).

定義算子Q:C(J,E)→C(J,E)為：

(4)

則Q:C(J,E)→C(J,E)連續(xù),且邊值問題(2)的解等價于積分算子Q的不動點.

2 主要結(jié)果及其證明

定理1設(shè)E為Banach空間,f:J×E→E連續(xù).邊值問題(2)至少存在一個解,若f滿足以下條件:

證明由式(4)可知Q:C(J,E)→C(J,E)連續(xù).下證由式(5)定義的算子Q:C(J,E)→C(J,E)為凝聚映射.由條件(H1)知,Q將C(J,E)中的有界集映為有界的等度連續(xù)集.為證明α(Q(B))<α(B), 任取C(J,E)中非相對緊的有界集B.對于C(J,E)中的有界集B, 由引理9知其存在可列集B1={un}?B, 使得α(Q(B))≤2α(Q(B1)).故對任意t∈J, 由引理8及條件(H2)可得：

下證Ω={u∈C(J,E)|u=λQu,0<λ<1}是C(J,E)中的有界集.事實上,對?u∈Ω， 根據(jù)算子Q的定義有：

(5)

對式(5)兩邊取范數(shù)并結(jié)合條件(H1)可得：

(6)

定理2設(shè)E為Banach空間,f:J×E→E連續(xù).邊值問題(2)至少存在一個解,若f滿足定理1中的條件(H1)及如下條件(H3):

證明由條件(H1)知,Q把C(J,E)中的有界集映為有界的等度連續(xù)集.為證明α(Q(B))<α(B), 任取C(J,E)中非相對緊的有界集B.對C(J,E)中的有界集B, 記D=B(J), 則可得D?E有界.再由引理9知，α(D)≤2α(B).對?t∈J,u∈B, 由引理10中的條件可得：

即Q:C(J,E)→C(J,E)為凝聚映射.類似于定理1的證明，用凝聚映射的Leray - Schauder不動點定理即可證明邊值問題(2)解的存在性.

定理3設(shè)E為Banach空間,f:J×E→E連續(xù).邊值問題(2)至少存在一個解，若f滿足定理1中的條件(H1)及如下條件(H4):

(H4) ?0

下證Q:Ω0→Ω0為凝聚映射.任取Ω0中非相對緊的有界集B, 則B和Q(B)均是等度連續(xù)的.對于?t∈J,u∈B, 由引理10及條件(H4)有：