三次和二次總成本函數的特性以及期望本利解的互換

毛克寧

(廣東理工學院經濟管理學院 廣東肇慶 526070)

在經濟管理中，成本和利潤是最為基本和重要的問題，兩者密切關聯(lián)，而成本問題往往更為基礎。關于成本的研究論題十分廣泛，有著豐富的研究結果，如結合計量回歸方法對涉及污染與治理的成本函數模型的研究[1]，從不同領域或視角對成本的理論和實際問題的研究等[2-3]。研究成本需要進行量化分析，如果企業(yè)能找出自身生產經營中成本的變動規(guī)律，統(tǒng)計歸納出成本函數，則可以更為合理地做出科學決策，如涉及二次成本函數的關于企業(yè)市場競爭的研究[4-5]。該文第一部分主要闡述經濟學中較為常見的三次總成本函數兩個應有的重要特性，其次闡述更為簡單的二次短期總成本函數的一個重要特性，這樣可以便捷地檢判一個三次總成本或二次短期總成本函數是否有誤。當企業(yè)面臨的需求量為隨機需變量時，理論上需要考慮期望利潤最大化或期望成本最小化問題，但這是兩類不同的問題。根據傳統(tǒng)經濟學理論，利潤最大化與成本最小化問題就一般意義而言兩者并不等價。對于需求量為隨機需變量的情況，一類典型問題就是報童問題。一些文獻指出報童問題期望損失或期望成本最小化與期望利潤最大化的求解可以互換，這無疑給兩類問題的求解帶來了一定的便利，但卻引發(fā)了這與傳統(tǒng)經濟學理論是否相符的思考。文獻[6-7]指出離散型需求量報童問題期望損失最小與期望利潤最大的進貨量是一致的，文獻[8]證明了前述期望總損失最小化的進貨量其實是與期望會計利潤最大化的進貨量相同，并指出其期望總損失既不是報童問題的期望顯性成本也不是期望經濟成本。文獻[9]闡述證明了連續(xù)型隨機需求量報童問題的期望成本最小化模型與期望利潤最大化模型具有等價性，在一定條件下它們有相同的最優(yōu)解。但根據文獻[8]可知文獻[9]所述的“期望成本”不是期望顯性成本和期望經濟成本，而是類似于文獻[6-7]的期望損失，其期望利潤是期望會計利潤。該文第二部分對報童問題的期望經濟成本最小化進貨量關系式和期望利潤最大化進貨量關系式及其互換性做了嚴格推導論證。

1 三次和二次總成本函數的特性

1.1 三次總成本函數

該文以企業(yè)短期總成本和長期總成本在各自的產量范圍內皆隨產量增大而嚴格單調增加為論述前提，且僅以企業(yè)的三次或二次總成本函數的導函數作為邊際成本函數，而非其他形式。

需指出，若函數h(x)在區(qū)間(ab)嚴格單調增加，對于x0(ab)，x0 且x0+x(ab)，必然有，當導數h′(x0)存在時，h′(x0)=，即有可能h′(x0)=0。對于可導的短期或長期總成本函數TC(Q)，對于其產量區(qū)間內部的特定產量Q0，由導數得出的MC(Q0)=TC′(Q0)也是非負的，這是由其經濟含義決定的。對于經濟中的其他邊際量另當別論。

已知微分學中的一個定理：“若函數f(x)在區(qū)間[ab]連續(xù)，在區(qū)間(ab)可導，則f(x)在[ab]單調增加的充分必要條件是f′(x)≥0，x(ab)”。不難得出后續(xù)結論：若函數f(x)在區(qū)間[0+)連續(xù)，在區(qū)間(0+)可導，則f(x)在[0+)單調增加的充分必要條件是f′(x)≥0，x(0+)。

命題1 三次函數在一個區(qū)間單調增加與其在該區(qū)間嚴格單調增加是等價的。特定的三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d（a>0，b<0）在區(qū)間[0+)單調增加的充分必要條件是b2≤3ac。

證明 由于三次（實系數多項式）函數最多有3個實根，易知三次函數在一個區(qū)間單調增加與其在該區(qū)間嚴格單調增加等價。根據前述定理的后續(xù)結論知，f(x)=ax3+bx2+cx+d（a>0，b<0）在區(qū)間[0+)單調增加的充分必要條件是其導函數f′(x)=3ax2+2bx+c≥0，x(0+)，即4b2≤12ac，亦即b2≤3ac?！咀C畢】

三次長期總成本函數LTC(Q)=αQ3+βQ2+γQ的產量Q可在區(qū)間[0,+∞)變動，其三次項系數為正值，即α>0。因若α<0，必有，則與總成本隨產量增大而嚴格單調增加矛盾。三次短期總成本函數TC=aQ3+bQ2+cQ+FC（FC為固定成本）的產量Q變動不超出從零到短期最大產量的有限區(qū)間。當產量接近于短期最大產量時，短期總成本的增長率MC的增長率MC'(Q)不可能是嚴格單調下降的，故MC″(Q)=6a非負，于是a>0，因此三次短期總成本函數的三次項系數為正值。

命題2 對于三次短期總成本函數TC=aQ3+bQ2+cQ+FC（a>0），一般地，二次項系數b<0，一次項系數c>0[10-12]，且b2≤3ac。

對于三次長期總成本函數LTC=αQ3+βQ2+γQ（a>0），二次項系數β<0，一次項系數γ>0[10-12]，且β2≤3αγ。

證明 對于短期總成本函數TC=aQ3+bQ2+cQ+FC（a>0），根據平均可變成本AVC隨產量增大而先降后升的一般特性[10-12]，作為二次函數的AVC=aQ2+一般應有正的最小值點，故一般有b<0。由于MC=3aQ2+2bQ+c=，而，且有，于是b2≤3ac，c>0。

對于長期總成本函數LTC=αQ3+βQ2+γQ（α>0），根據長期平均成本LAC隨產量增大而先降后升的特性，LAC=αQ2+βQ+γ有正的最小值點，可得出β<0且γ>0，由命題1，有β2≤3αγ?！咀C畢】例如：若假設某企業(yè)的短期總成本函數為TC=Q3-3Q2+2Q+70，則(-3)2>3′1′2，與命題2不符。說明該短期總成本函數TC的假設有誤。

1.2 二次短期總成本函數

命題3 二次短期總成本函數TC=aQ2+bQ+FC的二次項系數為正，一次項系數非負[10-14]，即a>0，b≥0。

證明 假設所述企業(yè)的短期最大產量為QM，則當產量Q趨近于QM時，TC的單位增長幅度越來越大，其函數曲線向右上方的傾斜越來越陡峭（上凹），當產量Q接近于QM時，作為總成本TC變化率的邊際成本MC是單調增加的，MC的導函數MC'(Q)=(2aQ+b)'=2a非負，從而a>0。由于若b<0，則與產量Q=0 時總成本TC最小矛盾，故b≥0。【證畢】

對于二次短期總成本函數TC=aQ2+bQ+FC（a>0，b≥0），平均可變成本AVC=aQ+b隨產量的增大而嚴格單調增加，并非先降后升。

1.3 回歸方法與三次和二次總成本函數

企業(yè)的短期總成本函數往往不是現成的，也不是一成不變的，可以根據實際數據利用統(tǒng)計學方法估計得出。

例1 通過表1的產量和短期總成本具體數值[11]，運用回歸方法得出估計的三次或二次短期總成本函數[15]。

表1 短期總成本表

解析：（1）利用Excel軟件，由表1通過回歸方法求得估計的三次短期總成本函數

與命題2相符。

（2）利用Excel 軟件，由表1 通過回歸方法求得估計的二次短期總成本函數

與命題3相符。

根據已知樣本將得出的三次和二次短期總成本函數的估計值進行對比，其數據具體見表2。

表2 三次和二次短期總成本函數估計值對照表

從表2對照表來看，關于短期總成本的估計，所求出的三次總成本函數優(yōu)于二次總成本函數。

2 期望成本與期望利潤解的互換性

期望成本與期望利潤解的互換性有3 點需要說明，具體敘述如下。

一是該文中所述“經濟成本”[16]與文獻[8]中所述“總成本”[10]都是指“顯性成本+隱性成本”，只是稱謂不同，但稱為經濟成本更加規(guī)范，以免和經濟學中常用的短期總成本概念混淆。二是該文中的隱性成本涉及兩種情形，一種是將供不應求導致賣者的收益損失作為隱性成本，另一種是將供不應求導致賣者的利潤損失作為隱性成本[8]。兩者的含義有所不同，后者扣除了由于進貨量不足而節(jié)省的購進價，而前者沒有將其扣除。在計算經濟利潤時按后者考慮隱性成本更為合理，但前者更符合一些經濟學教科書中的定義，尤其是基于存儲的經濟成本模型和經濟利潤模型及其求解會相對簡單。三是可以看出在參考文獻[8]中所有關于報童問題期望利潤的闡述對于隨機需求量可能的取值個數n≥2 仍然成立，故該文取n≥2，這不影響對文獻[8]的有關結論引用。

2.1 報童問題描述和已知結果

為闡述便利，該文再次給出文獻[8]的報童問題描述以及符號表示。報童問題描述[6-7]：賣者每天購進貨品后零售，買者一天對該賣者商品的需求量r（單位數）為離散型隨機變量。賣者以每單位c元購進貨品，并以每單位p元出售（p>c>0）；對未售出的商品進行處理，每單位虧損u元（0

假設：（1）需求量r可能的取值為rj（j=12…n;0 ≤r1

（2）賣者每天一次性購進貨品單位數為Q，決策變量Q不是隨機變量，但其可取值也為rj（j=12…n）[6-7]。

（3）賣者每天的初始存貨量為零。Q為多少時賣者一天的期望利潤最大？

根據問題描述得出，賣者進貨量為Q的（期望）顯性成本為cQ；

由文獻[8]知，W(Q)最大化的進貨量rm可由下面式（1）得出

根據Q的取值假設，使得期望顯性成本cQ最小化的進貨量為Q=r1，而式（1）中的rm不一定是r1。故就一般意義而言，期望顯性成本最小化進貨量關系式與期望會計利潤最大化進貨量關系式不同，兩者不可互換。

2.2 期望經濟成本最小化與期望經濟利潤最大化

若賣者進貨量不足，則供不應求導致收益損失的期望為

將式（2）作為進貨量為Q的期望隱性成本（與文獻[8]中關于期望隱性成本的定義有所不同），這里是將供不應求導致賣者的收益損失作為隱性成本。在期望隱性本定義為式（2）的情況下，賣者進貨量為Q的期望經濟成本為

在期望隱性成本定義為式（2）情況下，賣者進貨量為Q的期望經濟利潤為

綜合式（3）和式（4）可知，在期望隱性成本定義為式（2）情況下，報童問題的期望經濟成本最小化進貨量關系式與期望經濟利潤最大化進貨量關系式不同，兩者不可互換。需要指出的是，上述顯然不是進貨量為Q的期望顯性成本，并且也不是進貨量為Q的期望經濟成本。這是因為中含有v=c-u，即實際上含有外生變量u，而期望經濟成本G(Q)表達式中是不含u的。

若賣者進貨量不足，則供不應求導致利潤損失的期望為

現將式（5）作為進貨量為Q的期望隱性成本（與文獻[8]中的定義相同）。與前面式（2）不同，這里式（5）是將供不應求導致賣者的利潤損失作為隱性成本。在期望隱性成本定義為式（5）的情況下，賣者進貨量為Q的期望經濟成本為

根據G1(Q)與G(Q)形式上的異同，在p>2c的情況下將式（3）推導過程中的p換成(p-c)，可完全類似地得出G1(Q)最小化的進貨量rm可由下面式（6）得出。

在期望隱性成本定義為式（5）情況下，賣者進貨量為Q的期望經濟利潤為

由文獻[8]知，WE(Q)最大化進貨量rm的關系式（無需假定p>2c）可由下面式（7）得出。

綜合式（6）和式（7）可知，在期望隱性成本定義為式（5）情況下，報童問題的期望經濟成本最小化進貨量關系式與期望經濟利潤最大化進貨量關系式總體上（包括p>2c的情形）看是不同的，兩者不可互換。事實上，由于期望經濟成本G1(Q)表達式中不含模型外生變量u，G1(Q)最小化進貨量關系式也是不會出現u的，故在期望隱性成本定義為式（5）情況下，不論是否滿足p>2c，G1(Q)最小化進貨量關系式都不會與式（7）一致，兩者不可互換。

2.3 期望成本與期望利潤解的互換性進一步討論

現在再進一步分析報童問題的期望經濟成本最小化進貨量關系式與期望經濟利潤最大化進貨量關系式是否一致。由于報童問題的期望總收益表達式中含有單位殘余收益，而這是一種“非正常”的銷售收益，那么若不存在殘余收益，即u=c，或v=0，情況會怎樣？

第一，當u=c時，期望會計利潤最大化進貨量關系式（1）變?yōu)?/p>

因為期望顯性成本cQ最小化進貨量Q=r1，而式（8）中的rm不一定是r1。故當u=c時，一般而言期望顯性成本最小化進貨量與期望會計利潤最大化進貨量關系式仍然不同，兩者不可互換。

第二，當u=c時，在期望隱性成本定義為式（2）情況下，期望經濟利潤最大化進貨量關系式（4）變?yōu)?/p>

還是與期望經濟成本最小化進貨量關系式（3）不同，兩者不可互換。

第三，當u=c時，在期望隱性成本定義為式（5）情況下，期望經濟利潤最大化進貨量關系式（7）變?yōu)?/p>

仍與期望經濟成本最小化進貨量關系式（6）在p>2c情況下不同，兩者不可互換。

第四，注意到式（3）與式（8）相同，這就是說在期望隱性成本定義為式（2）情況下當u=c時，期望經濟成本最小化進貨量關系式與期望會計利潤最大化進貨量關系式相同，兩者可以互換。

此外，文獻[7]中“模型七”推導出了期望贏利與期望損失的最優(yōu)解可以互換，而實際上這里“期望贏利”是期望會計利潤，而“期望損失”相當于在期望隱性成本定義為式（2）情況下的期望經濟成本，故對該模型，期望經濟成本最小化進貨量關系式與期望會計利潤最大化進貨量關系式相同，兩者可以互換。要注意的是與該文所描述的報童模型有所不同，文獻[7]中“模型七”有存儲費用，但沒有供不應求時的單位虧損u，并且該模型的隨機需求量是連續(xù)型的。

3 結論

該文第一部分主要證明了特定的三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d（a>0，b<0）當自變量非負時嚴格單調增加的充分必要條件，即命題1，以及三次總成本函數幾個通常應具備的重要特性，即命題2；得出了二次短期總成本函數所具備的必要特性，即命題3。這對檢判一個三次總成本函數或二次短期總成本函數是否有誤起到了便捷的作用。該文第二部分經過嚴格的論證得出結論：對于報童問題就一般意義而言，期望顯性成本最小化進貨量關系式與期望會計利潤最大化進貨量關系式不同，兩者不可互換；在期望隱性成本定義為式（2）情況下，期望經濟成本最小化進貨量關系式與期望經濟利潤最大化進貨量關系式不同，兩者不可互換；在期望隱性成本定義為式（5）情況下，期望經濟成本最小化進貨量關系式與期望經濟利潤最大化進貨量關系式不同，兩者不可互換。當u=c時，在期望隱性成本定義為式（2）情況下，期望經濟成本最小化進貨量關系式與期望會計利潤最大化進貨量關系式相同，兩者可以互換，即“期望隱性成本定義為式（2）并且u=c”是該文所述報童問題期望經濟成本最小化進貨量關系式與期望會計利潤最大化進貨量關系式相同，兩者可以互換的一個充分條件。以上結論與傳統(tǒng)經濟學中關于成本和利潤關系的結論不相悖，這對于報童問題的求解與經濟學基本原理相融合具有正向價值。