考慮役齡的預(yù)防性維修計(jì)劃與緩沖區(qū)庫(kù)存聯(lián)合優(yōu)化決策

沈 斌，李 芳，呂文元

(1.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

為保證生產(chǎn)線正常運(yùn)行，通常在上下游設(shè)備之間建立庫(kù)存緩沖區(qū)，并對(duì)設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修。因此，緩沖庫(kù)存和預(yù)防維修(preventive maintenance,PM)聯(lián)合優(yōu)化決策一直是研究的熱點(diǎn)。

Salameh等[1]考慮緩沖庫(kù)存持有成本和周期內(nèi)缺貨造成的損失成本，提出緩沖庫(kù)存優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。Chelbi等[2]考慮預(yù)防性維修，優(yōu)化緩沖區(qū)大小和預(yù)防性維修周期。陸志強(qiáng)等[3]提出一種可修復(fù)設(shè)備多目標(biāo)預(yù)防性維護(hù)決策模型。Nahas[4]為了確定串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)中最優(yōu)的預(yù)防性維修周期和緩沖區(qū)分配量，提出在給定系統(tǒng)吞吐量下的預(yù)防維修策略模型，并通過(guò)算例驗(yàn)證模型。Lopes[5]針對(duì)帶有緩沖區(qū)庫(kù)存的生產(chǎn)系統(tǒng)，提出考慮產(chǎn)品質(zhì)量的預(yù)防性維修模型。Khatab等[6]在復(fù)雜多部件系統(tǒng)維修模型中考慮人員分配的問(wèn)題。Sett等[7]聯(lián)合考慮緩沖區(qū)庫(kù)存優(yōu)化和保修策略建立模型，求解出不完美預(yù)防維修活動(dòng)中的最優(yōu)策略。Kang等[8]利用馬爾科夫決策模型得出帶有緩沖區(qū)的生產(chǎn)系統(tǒng)中設(shè)備的最優(yōu)維修策略。上述文獻(xiàn)考慮了設(shè)備之間的緩沖庫(kù)存，但模型中的故障率只是服從某一概率分布，沒有考慮設(shè)備故障率相對(duì)于役齡以及維修活動(dòng)的影響。

當(dāng)設(shè)備進(jìn)行維修之后，故障率會(huì)產(chǎn)生變化。為了更清晰地量化這種變化，Malik[9]引入役齡回退的概念，即每次維修后設(shè)備性能的改善，故障率的降低過(guò)程稱為役齡回退。在役齡回退的預(yù)防性維修模型基礎(chǔ)上，Zhou等[10]考慮故障率增加因子，即設(shè)備經(jīng)過(guò)多次維修后故障率增加的情況，提出混合風(fēng)險(xiǎn)維修模型。Aghezzaf等[11]應(yīng)用混合整數(shù)非線性規(guī)劃方法，優(yōu)化混合風(fēng)險(xiǎn)維修模型求解方法。潘光等[12]考慮系統(tǒng)預(yù)防維修周期隨維修次數(shù)的變化情況，建立系統(tǒng)預(yù)防性維修周期優(yōu)化模型。陳杏等[13]結(jié)合模糊役齡回退機(jī)制，構(gòu)建電力設(shè)備最佳運(yùn)行壽命評(píng)估模型。為了更準(zhǔn)確地表達(dá)役齡回退的過(guò)程，考慮役齡回退因子和故障率增加因子的共同影響。劉洋等[14]以多部件系統(tǒng)為研究對(duì)象，引入役齡回退因子描述部件不完全維修效果，提出非等檢測(cè)周期的建模方法。劉寧等[15]考慮役齡回退，提出一種失效概率模型，并采用實(shí)例數(shù)據(jù)驗(yàn)證該模型的有效性。王金賀等[16]將役齡回退模型應(yīng)用于風(fēng)電機(jī)組的維修問(wèn)題上，制定定周期的預(yù)防性維修策略。上述文獻(xiàn)考慮了設(shè)備役齡以及役齡回退的作用，但沒有考慮由于設(shè)備發(fā)生故障可能出現(xiàn)缺貨損失的情況。

綜上所述，學(xué)者們對(duì)考慮緩沖區(qū)庫(kù)存的維修模型以及基于役齡的維修模型做了很多有意義的研究。本文將緩沖區(qū)庫(kù)存和役齡回退兩個(gè)因素綜合考慮，進(jìn)一步優(yōu)化維修策略模型，既能構(gòu)建故障率更加準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，使模型更加貼合實(shí)際，又考慮緩沖區(qū)庫(kù)存，有效避免了缺貨問(wèn)題，為維修計(jì)劃和節(jié)省生產(chǎn)成本提供了理論依據(jù)。故本文在考慮緩沖區(qū)庫(kù)存和役齡回退的基礎(chǔ)上，進(jìn)行預(yù)防維修計(jì)劃和緩沖區(qū)庫(kù)存的聯(lián)合優(yōu)化策略研究。首先，引入役齡回退因子和故障率增加因子，給出故障率表達(dá)式。其次，考慮預(yù)防維修費(fèi)用、故障維修費(fèi)用、緩沖區(qū)庫(kù)存費(fèi)用和缺貨造成的損失費(fèi)用。以緩沖區(qū)庫(kù)存量和預(yù)防性維修周期為決策變量，以單位時(shí)間總費(fèi)用為目標(biāo)，建立考慮緩沖區(qū)庫(kù)存和役齡回退的預(yù)防維修決策模型。通過(guò)求解模型，計(jì)算出最優(yōu)的預(yù)防維修周期以及緩沖區(qū)庫(kù)存量大小，提出最優(yōu)的預(yù)防性維修策略，幫助企業(yè)節(jié)省成本。

1 問(wèn)題描述

本文研究的2M1B生產(chǎn)系統(tǒng)如圖1所示，M1為上游設(shè)備，M2為下游設(shè)備，兩個(gè)設(shè)備之間有一個(gè)庫(kù)存緩沖區(qū)，能有效避免生產(chǎn)系統(tǒng)因設(shè)備故障造成的缺貨損失。上游設(shè)備M1的最大產(chǎn)能為α+β。為了保障生產(chǎn)的穩(wěn)定，平時(shí)以速度β進(jìn)行生產(chǎn)，在每次預(yù)防維修前上游設(shè)備提高到最大生產(chǎn)速度α+β，以速度α積累緩沖區(qū)庫(kù)存，直到達(dá)到目標(biāo)緩沖區(qū)庫(kù)存量S，將預(yù)防性維修周期和預(yù)防性維修時(shí)間定為一個(gè)循環(huán)周期。

圖1 2M1B生產(chǎn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)Figure 1 Structure of 2M1B production system

圖2為緩沖區(qū)庫(kù)存在周期內(nèi)的變化軌跡，縱軸為緩沖區(qū)的庫(kù)存量，橫軸為時(shí)間。其中，Ni(t)指第i?1次預(yù)防維修后的故障次數(shù)；TF為設(shè)備在當(dāng)前周期的平均壽命；TR為設(shè)備故障維修的平均時(shí)間。開始時(shí)，緩沖區(qū)庫(kù)存從零水平開始累積，以α的累積速率達(dá)到目標(biāo)庫(kù)存量S后設(shè)備恢復(fù)正常生產(chǎn)速度，停止累積緩沖區(qū)。在預(yù)防性維修周期T內(nèi)設(shè)備可能會(huì)發(fā)生隨機(jī)故障，每當(dāng)發(fā)生故障時(shí)所累積的緩沖區(qū)庫(kù)存就發(fā)揮了作用，上游設(shè)備停止工作，緩沖區(qū)庫(kù)存持續(xù)為下游設(shè)備提供半成品以保證生產(chǎn)系統(tǒng)的連續(xù)，故緩沖區(qū)庫(kù)存量以β的速率減少，持續(xù)的時(shí)間為設(shè)備故障維修的平均時(shí)間TR。發(fā)生Ni(t)次隨機(jī)故障，庫(kù)存量消耗至S?TRβNi(t)后，時(shí)間來(lái)到預(yù)防性維修的時(shí)間點(diǎn)，則進(jìn)行預(yù)防性維修，預(yù)防維修時(shí)間為Tp，完成之后開始下一個(gè)循環(huán)周期。預(yù)防性維修時(shí)間與圖2中最后階段緩沖區(qū)庫(kù)存消耗完的時(shí)間相比較后可以判斷是否會(huì)出現(xiàn)缺貨的情況。圖中緩沖區(qū)庫(kù)存變化軌跡所包裹的面積與單位庫(kù)存維持費(fèi)用的乘積為一個(gè)循環(huán)周期內(nèi)庫(kù)存的維持總成本。

圖2 緩沖區(qū)庫(kù)存變化分析圖Figure 2 Buffer stock change analysis diagram

設(shè)備的隨機(jī)故障次數(shù)和維修后的平均壽命與設(shè)備的故障率密切相關(guān)，因此需要準(zhǔn)確把握故障率在預(yù)防維修前后的動(dòng)態(tài)變化。在非完美維修[17]后，設(shè)備的剩余壽命發(fā)生變化，性能會(huì)恢復(fù)一定的程度，但不會(huì)恢復(fù)到全新的狀態(tài)。為了表示設(shè)備故障率的變化，引入役齡回退因子和故障率增加因子，通過(guò)役齡回退描述設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修后所恢復(fù)的程度，推算故障率函數(shù)的演化過(guò)程。

通過(guò)上述問(wèn)題描述，本文的研究目的是在把握設(shè)備故障率變化情況前提下建立考慮緩沖區(qū)庫(kù)存的預(yù)防性維修策略模型，通過(guò)求解，計(jì)算出最佳預(yù)防性維修策略，使周期內(nèi)的單位時(shí)間總費(fèi)用達(dá)到最低。為了使模型更加清晰，結(jié)合實(shí)際作以下假設(shè)。

1) 在開始預(yù)防性維修之前，緩沖區(qū)庫(kù)存都會(huì)及時(shí)地補(bǔ)充至S；

2) 設(shè)備初始時(shí)刻的故障率服從威布爾分布，位置參數(shù)δ 為1，尺度參數(shù)m為 2，形狀參數(shù)η 為2；

3) 在正常的生產(chǎn)過(guò)程中，生產(chǎn)系統(tǒng)的補(bǔ)貨率大于生產(chǎn)率；

4) 每次預(yù)防性維修后都會(huì)有足夠的產(chǎn)能進(jìn)行緩沖區(qū)庫(kù)存的積累，且緩沖區(qū)補(bǔ)充從零水平開始；

5) 當(dāng)設(shè)備發(fā)生隨機(jī)故障則進(jìn)行故障維修，故障維修后設(shè)備的故障率不發(fā)生改變；

6) 每次預(yù)防性維修不能使設(shè)備修復(fù)如新，故障率在預(yù)防維修后降到維修前某一程度，并以更快的速度增長(zhǎng)，預(yù)防維修次數(shù)為i，第i?1次預(yù)防性維修后的故障率為λi(t)。

本文模型的符號(hào)描述如表1所示。

表1 符號(hào)描述Table 1 Symbol description

2 模型建立

2.1 目標(biāo)函數(shù)

周期內(nèi)總費(fèi)用由預(yù)防性維修費(fèi)用、故障費(fèi)用、緩沖區(qū)庫(kù)存維持費(fèi)用和下游設(shè)備庫(kù)存缺貨費(fèi)用構(gòu)成。故維修模型所產(chǎn)生的總費(fèi)用為

周期內(nèi)的單位時(shí)間總費(fèi)用為

故維修策略目標(biāo)函數(shù)為

2.2 故障率的計(jì)算

設(shè)備的故障率與設(shè)備役齡息息相關(guān)，故引入設(shè)備的實(shí)際役齡和有效役齡。實(shí)際役齡為設(shè)備真實(shí)運(yùn)行役齡，即設(shè)備從投入使用開始計(jì)時(shí)，將所有運(yùn)行時(shí)間相加所得的數(shù)值。設(shè)備經(jīng)過(guò)預(yù)防維修后性能得到改善，狀態(tài)會(huì)恢復(fù)到更“年輕”的狀態(tài)。將設(shè)備性能得到改善后的役齡稱作設(shè)備的有效役齡，有效役齡小于實(shí)際役齡。每次維修后設(shè)備的改善程度不同，故有效役齡也不同。兩者之間的關(guān)系為

經(jīng)過(guò)預(yù)防維修設(shè)備會(huì)恢復(fù)一定的性能狀態(tài)，設(shè)備的故障率降低。但是，預(yù)防維修不會(huì)使設(shè)備性能提高到全新狀態(tài)，設(shè)備在經(jīng)過(guò)周期性的預(yù)防性維修后性能得到相應(yīng)的改善，但是其運(yùn)行時(shí)間不斷累積，隨著維修次數(shù)的增加，設(shè)備的性能衰退速度也會(huì)增加，故障率函數(shù)呈遞增趨勢(shì)，所以引入故障率增加因子來(lái)描述設(shè)備性能衰退速度的變化。

設(shè)備的故障率在每次預(yù)防性維修后狀態(tài)發(fā)生改變。在役齡回退因子和故障率增加因子的影響下設(shè)備的故障率函數(shù)產(chǎn)生的變化如圖3所示。

圖3 故障率函數(shù)的變化Figure 3 Change of failure rate function

設(shè)備在第i個(gè)預(yù)防性維修周期內(nèi)的故障率函數(shù)受到故障率增加因子b的影響，關(guān)系如下。

結(jié)合式(6)和式(7)，綜合考慮役齡、運(yùn)行時(shí)間、役齡回退因子a和故障率增加因子b，得出故障率函數(shù)的變化關(guān)系，為

根據(jù)可靠性理論[18]，在初始時(shí)刻，設(shè)備的故障率服從威布爾分布，初始故障率函數(shù)為

其中，δ為位置參數(shù)，η為尺度參數(shù)，m為形狀參數(shù)。

當(dāng)系統(tǒng)第i次預(yù)防維修時(shí)刻到來(lái)時(shí)，經(jīng)過(guò)預(yù)防性維修，故障率下降到本次預(yù)防維修時(shí)有效役齡所對(duì)應(yīng)的故障率，即經(jīng)過(guò)預(yù)防維修后，系統(tǒng)中的設(shè)備產(chǎn)生了役齡回退，故障率在一定規(guī)律下發(fā)生變化。所以，在第i個(gè)預(yù)防性維修周期內(nèi)，故障率λi(t)的表達(dá)式可以由以下遞推關(guān)系得出。

2.3 CT(T, S )的計(jì)算

預(yù)防性維修周期內(nèi)設(shè)備可能發(fā)生故障而產(chǎn)生的費(fèi)用為

不同的預(yù)防性維修周期內(nèi)，設(shè)備故障率會(huì)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)變化，通過(guò)推算故障率的演化過(guò)程，得到役齡回退下的故障率表達(dá)式，故第i個(gè)預(yù)防性維修周期內(nèi)的故障次數(shù)期望值為

從圖2的緩沖區(qū)庫(kù)存變化分析圖中可以得出緩沖區(qū)庫(kù)存維持費(fèi)用為

其中，TRβNi(t)為發(fā)生隨機(jī)故障后緩沖區(qū)庫(kù)存在維修時(shí)間內(nèi)的平均消耗量。

第i?1次預(yù)防性維修后設(shè)備的平均壽命為

每個(gè)周期的預(yù)防性維修時(shí)間為

預(yù)防性維修周期內(nèi)設(shè)備故障維修的平均時(shí)間為

通過(guò)圖2的緩沖區(qū)庫(kù)存軌跡圖可以得出，進(jìn)行預(yù)防性維修時(shí)會(huì)產(chǎn)生兩種情形。1) 預(yù)防性維修時(shí)間小于緩沖區(qū)庫(kù)存消耗時(shí)間，不會(huì)發(fā)生缺貨，故缺貨費(fèi)用為0。2) 預(yù)防維修時(shí)間大于緩沖區(qū)庫(kù)存消耗時(shí)間，會(huì)產(chǎn)生缺貨費(fèi)用，周期內(nèi)產(chǎn)生缺貨的單位數(shù)量為ω (t)。

故缺貨費(fèi)用為

2.4 E(T )的計(jì)算

本文模型中每個(gè)運(yùn)行周期的期望為

2.5 模型求解

該模型目標(biāo)為尋找最優(yōu)維修策略(T*,S*)，使周期內(nèi)總費(fèi)用最低。在求解過(guò)程中可以利用歷史數(shù)據(jù)記錄進(jìn)行設(shè)備維修決策的優(yōu)化[19]。本文通過(guò)歷史數(shù)據(jù)得出預(yù)防性維修和故障維修的固定費(fèi)用、緩沖區(qū)累積與消耗的速率、單位維持費(fèi)用和單位缺貨費(fèi)用、役齡回退因子和故障率增加因子等參數(shù)。然后確定初始故障率函數(shù)，初始故障率滿足威布爾分布，結(jié)合實(shí)際選取合適的位置參數(shù)、尺度參數(shù)及形狀參數(shù)。

由于該決策模型函數(shù)為非線性優(yōu)化問(wèn)題，直接求解最優(yōu)目標(biāo)較為困難，故本文通過(guò)離散迭代算法對(duì)模型進(jìn)行求解，該算法的核心為降維[20]。對(duì)預(yù)防性維修周期T和緩沖區(qū)庫(kù)存量按一定的步長(zhǎng)賦值，通過(guò)Matlab計(jì)算取值范圍內(nèi)的所有解，以單位時(shí)間總費(fèi)用最低為最優(yōu)解，求解流程如圖4所示。

圖4 算法流程圖Figure 4 Algorithm flow chart

求解最優(yōu)決策集(T*,S*)的步驟如下。

步驟1賦值每次故障維修的固定費(fèi)用c1、每次預(yù) 防 維 修 的 固定費(fèi)用cpm以 及 α、β 、ρ、h等參數(shù)，確定自變量預(yù)防維修周期T和緩沖區(qū)庫(kù)存量S的步長(zhǎng)、初始值和取值范圍。

步驟2求解CT(T,S)，賦值CT(T,S*)=CT(T,S)。

步驟3令S=S+ΔS，求解CT(T,S)。

步驟4判 斷CT(T,S*)＞CT(T,S)，若 判 斷 成立，則賦值CT(T,S*)=CT(T,S)，S*=S。

步驟5輸入步驟4的結(jié)果，賦值CT(T*,S*)=CT(T,S*)，令T=T+ΔT，返回步驟2，求解CT(T,S*)并 判 斷CT(T*,S*)＞CT(T,S*)，若 成 立，則 賦 值CT(T*,S*)=CT(T,S*)，T*=T。

步驟6判斷T是否小于設(shè)置范圍，若成立，返回步驟2，否則結(jié)束程序。依次迭代求解，記錄所有結(jié)果并比較，得到最小值CT(T*,S*)和最優(yōu)決策集(T*,S*)。

3 算例分析

3.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備及求解結(jié)果

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)以及實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)，假設(shè)威布爾分布的位置參數(shù)為1，尺度參數(shù)和形狀參數(shù)均為2。為了便于求解，實(shí)際役齡ta設(shè)為5 a，預(yù)防維修次數(shù)設(shè)為10。f1(t)服從均值為0.004個(gè)月的指數(shù)分布，f2(t)服從均值為0.02個(gè)月的指數(shù)分布，求解步長(zhǎng)設(shè)為ΔT＝0.1。其他參數(shù)如表2所示。

表2 參數(shù)數(shù)據(jù)Table 2 Parameter data

通過(guò)上述算法求解，計(jì)算結(jié)果如表3所示，在取值范圍內(nèi)所有解的模型圖如圖5所示。對(duì)于本文提出的預(yù)防性維修策略模型，最優(yōu)策略為預(yù)防性維修周期T=3.9 d，最佳緩沖區(qū)庫(kù)存量S=1 520.3 件，此時(shí)單位時(shí)間總費(fèi)用最低，CT*=2 360.1 元。

表3 算例結(jié)果Table 3 Example results

圖5 可視化模型求解結(jié)果Figure 5 Visualization model solution results

當(dāng)維修策略模型不考慮緩沖區(qū)庫(kù)存時(shí)，周期內(nèi)的總費(fèi)用包括維修費(fèi)用和缺貨損失費(fèi)用。將考慮緩沖區(qū)庫(kù)存，不考慮緩沖區(qū)庫(kù)存以及同時(shí)考慮緩沖區(qū)庫(kù)存和役齡回退3種情況進(jìn)行對(duì)比分析，分析結(jié)果如圖6所示。從圖6可以看出考慮緩沖區(qū)庫(kù)存的單位時(shí)間總費(fèi)用明顯低于不考慮緩沖區(qū)庫(kù)存的維修策略模型。比較最優(yōu)的預(yù)防維修周期所對(duì)應(yīng)的單位時(shí)間總費(fèi)用，綜合考慮緩沖區(qū)庫(kù)存和役齡回退的維修策略模型總費(fèi)用最低，說(shuō)明本文提出的預(yù)防性維修策略模型是有效且可行的。

圖6 算例對(duì)比分析Figure 6 Comparison and analysis of examples

3.2 靈敏度分析

本文模型中的緩沖區(qū)庫(kù)存補(bǔ)貨率和消耗率等參數(shù)的取值是通過(guò)歷史數(shù)據(jù)得出的，相對(duì)固定。故本文首先對(duì)以下參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，包括單位庫(kù)存維持費(fèi)用h、單位庫(kù)存缺貨費(fèi)用ρ，以及役齡回退因子a、故障率增加因子b。改變其中一個(gè)參數(shù)時(shí)，其他參數(shù)保持不變，計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 參數(shù)靈敏度分析Table 4 Parameter sensitivity analysis

首先分析單位庫(kù)存維持費(fèi)用h和單位庫(kù)存缺貨費(fèi)用ρ對(duì)最優(yōu)預(yù)防維修策略費(fèi)用的影響。h和ρ以相同的速率增加，變化關(guān)系如圖7所示。從圖7可以看出，當(dāng)單位維持費(fèi)用增大時(shí)，周期內(nèi)總費(fèi)用也隨著增大。即庫(kù)存維持費(fèi)用增大時(shí)，可以適當(dāng)減小緩沖區(qū)庫(kù)存量。當(dāng)單位缺貨費(fèi)用增加時(shí)，周期內(nèi)總費(fèi)用也與之保持正相關(guān)，規(guī)律與考慮緩沖區(qū)的預(yù)防維修模型的假定相符合。最優(yōu)的周期總費(fèi)用關(guān)于單位維持費(fèi)用h的增長(zhǎng)幅度大于關(guān)于單位缺貨費(fèi)用ρ的增長(zhǎng)，維持費(fèi)用在緩沖區(qū)模型中影響更大。從圖8可以得出，最優(yōu)緩沖區(qū)庫(kù)存量S*隨單位維持費(fèi)用h的增大而減小，即維持緩沖區(qū)庫(kù)存的成本增加，預(yù)防維修周期增大，則要適當(dāng)減少緩沖庫(kù)存量。最優(yōu)緩沖區(qū)庫(kù)存量S*隨著單位缺貨費(fèi)用ρ的增大而增大，當(dāng)缺貨費(fèi)用增加時(shí)應(yīng)該增加緩沖區(qū)庫(kù)存，避免缺貨帶來(lái)的虧損，與實(shí)際情況相符合。

圖7 最優(yōu)策略費(fèi)用隨h和ρ的變化分析Figure 7 Analysis of the optimal strategy cost with h and ρ

圖8 最佳緩沖區(qū)庫(kù)存量隨h和ρ的變化分析Figure 8 Analysis of the optimal buffer stock with h and ρ

圖9為最優(yōu)策略費(fèi)用隨役齡回退因子a的不同而產(chǎn)生的變化趨勢(shì)。在役齡回退因子的影響作用下，每次預(yù)防維修之后故障率會(huì)恢復(fù)到之前水平。當(dāng)a增加時(shí)，CT*隨之減小。a增大，代表設(shè)備經(jīng)過(guò)預(yù)防性維修之后役齡回退的程度更大，會(huì)導(dǎo)致故障率降低，減小庫(kù)存持有量，故單位時(shí)間總費(fèi)用會(huì)減小。

圖9 最優(yōu)策略費(fèi)用隨役齡回退因子a的變化分析Figure 9 Analysis of the change of optimal strategy cost with service age regression factor a

圖10中最優(yōu)維修策略費(fèi)用CT*隨著故障率增加因子的增大而增大，由于故障率增加程度加大，周期內(nèi)進(jìn)行故障維修的次數(shù)增加，維修費(fèi)用增加，緩沖庫(kù)存量增大，維持費(fèi)用也增大，所以最優(yōu)策略費(fèi)用提高，符合維修模型的規(guī)律。

圖10 最優(yōu)策略費(fèi)用故障率增加因子b的變化分析Figure 10 Change analysis of the cost failure rate increase factor b of the optimal strategy

設(shè)備的初始故障率服從威布爾分布，故針對(duì)威布爾分布的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，分別分析這兩個(gè)參數(shù)的改變對(duì)單位時(shí)間總費(fèi)用產(chǎn)生的影響以及對(duì)維修策略產(chǎn)生的變化，結(jié)果如表5、表6所示。由表5可知，當(dāng)威布爾分布的尺度參數(shù)保持一定時(shí)，隨著形狀參數(shù)的增加，該模型最優(yōu)的預(yù)防性維修周期減小，所需的最優(yōu)緩沖區(qū)庫(kù)存量增大，單位時(shí)間總費(fèi)用增大。

表5 形狀參數(shù)靈敏度分析 ( η=2)Table 5 Shape parameter sensitivity analysis ( η=2)

表6 尺度參數(shù)靈敏度分析 ( m=2)Table 6 Sensitivity analysis of scale parameters ( m=2)

表6體現(xiàn)了尺度參數(shù)對(duì)模型的敏感程度。分析表6可知，當(dāng)威布爾分布的形狀參數(shù)保持一定時(shí)，隨著尺度參數(shù)數(shù)值的增大，設(shè)備的最優(yōu)預(yù)防性維修周期也隨之增大，最優(yōu)庫(kù)存量和單位時(shí)間總成本隨之減小。最優(yōu)策略下的單位時(shí)間總費(fèi)用變化相對(duì)于尺度參數(shù)的變化比相對(duì)于形狀參數(shù)的變化的敏感程度要差，形狀參數(shù)的改變對(duì)于最優(yōu)維修策略費(fèi)用有著較大的影響。

綜上所述，根據(jù)算例求解得出的最優(yōu)策略為：當(dāng)預(yù)防性維修周期為3.9 d，緩沖區(qū)庫(kù)存量為1 520.3件時(shí)總費(fèi)用達(dá)到最低，單位時(shí)間總費(fèi)用為2 360.1元。對(duì)比分析3種模型的維修費(fèi)用，本文綜合考慮緩沖區(qū)庫(kù)存和役齡回退的決策模型的單位時(shí)間總費(fèi)用最低。靈敏度分析得出如下結(jié)果。1) 當(dāng)緩沖區(qū)庫(kù)存維持成本h增大時(shí)，最優(yōu)緩沖區(qū)庫(kù)存量減小，即需要降低緩沖區(qū)庫(kù)存量來(lái)節(jié)省成本。2) 當(dāng)缺貨費(fèi)用ρ增大時(shí)，最優(yōu)緩沖區(qū)庫(kù)存量和最優(yōu)策略費(fèi)用都增大，此時(shí)需要增加庫(kù)存量減少發(fā)生缺貨的概率。3) 隨著役齡回退因子a增加，故障率減小，系統(tǒng)故障次數(shù)也隨之減小，需要的維修活動(dòng)減少，所以單位時(shí)間總費(fèi)用降低，故障率增加因子b與單位時(shí)間總費(fèi)用的關(guān)系則與之相反。4) 威布爾分布的形狀參數(shù)與最優(yōu)預(yù)防維修策略下的緩沖區(qū)庫(kù)存量與單位時(shí)間總費(fèi)用正相關(guān)，與最優(yōu)預(yù)防性維修周期負(fù)相關(guān)；尺度參數(shù)則與最優(yōu)策略下的維修周期正相關(guān)，與庫(kù)存量及費(fèi)用負(fù)相關(guān)，且形狀參數(shù)的敏感程度更大。因此，本文的維修決策模型對(duì)于確定預(yù)防維修周期和緩沖區(qū)庫(kù)存量有一定的指導(dǎo)意義。

4 結(jié)論

本文主要研究了生產(chǎn)系統(tǒng)中的預(yù)防性維修問(wèn)題。綜合考慮設(shè)備的役齡回退和緩沖區(qū)庫(kù)存，建立了預(yù)防性維修計(jì)劃和緩沖區(qū)庫(kù)存聯(lián)合優(yōu)化決策模型，提出了該模型的求解思路，計(jì)算出模型的最優(yōu)解，得出了最優(yōu)的預(yù)防性維修周期和緩沖區(qū)庫(kù)存量，使成本達(dá)到最低。通過(guò)算例對(duì)比分析，以及對(duì)相關(guān)參數(shù)的靈敏度分析(包括單位維持費(fèi)用、單位缺貨費(fèi)用、役齡回退因子、故障率增加因子及威布爾分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù))，得到參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)策略下的緩沖區(qū)庫(kù)存量及單位時(shí)間總費(fèi)用的影響。

算例分析結(jié)果表明，同時(shí)考慮緩沖區(qū)庫(kù)存和役齡回退的維修模型能夠獲得成本最優(yōu)的預(yù)防性維修策略。本文所提出的維修決策模型相對(duì)于未考慮緩沖區(qū)庫(kù)存的維修模型，單位時(shí)間總費(fèi)用更低。從靈敏度分析可以看出最優(yōu)維修策略與各參數(shù)之間的關(guān)系。結(jié)果表明，在參數(shù)改變時(shí)，合適的緩沖區(qū)庫(kù)存量和維修周期能夠有效減小維修費(fèi)用、維持費(fèi)用以及缺貨費(fèi)用，同時(shí)能夠有效地降低生產(chǎn)成本。企業(yè)決策者可以依據(jù)實(shí)際情況改變模型的相關(guān)參數(shù)，調(diào)整預(yù)防性維修策略。因此，本文所建立的決策模型具有一定的有效性和靈活性，對(duì)于降低維修計(jì)劃總費(fèi)用具有一定的指導(dǎo)意義，適用于不考慮下游設(shè)備故障帶來(lái)影響的情況。如何在考慮上下游設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的情況下建立維修模型是進(jìn)一步研究的內(nèi)容。