WBK方程的分岔與行波解

韓青秀，劉紅霞，伍 蕓

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025)

1 研究背景和預(yù)備知識(shí)

考慮如下的WBK方程[1-2]：

(1)

這是一個(gè)淺水波方程，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)的許多分岔，在物理和數(shù)學(xué)中都有很大的作用，特別是它的解，可以幫助人們解釋一些物理現(xiàn)象.許多學(xué)者已用不同的方法經(jīng)研究了(1+1)維的WBK方程，例如擴(kuò)展的輔助方程方法[3]、其次平衡法[4]、最優(yōu)同倫漸近方法(OHAM)[5]、廣義統(tǒng)一方法(GUM)[6]求解變系數(shù)等，在這里主要運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)定性理論和分岔方法[7-13]研究.

為了研究式(1)的行波解，設(shè)c是波速且c>0，令u(x,t)=φ(ξ)，H(x,t)=ψ(ξ)，ξ=x-ct并代入式(1)可得：

(2)

對(duì)式(2)中的第1個(gè)方程積分，得：

(3)

積分常數(shù)為g.將式(3)代入式(2)中的第2個(gè)方程：

2(a+b2)φ?-3φ2φ′+6cφφ′-2(c2-g)φ′=0

積分上式，并令積分常數(shù)為零，得到：

(4)

令φ′=y，得到下面的平面系統(tǒng)：

(5)

很明顯，系統(tǒng)(5)的Hamiltonian函數(shù)為：

(6)

令：

f(φ)=φ3-3cφ2+2(c2-g)φ，Δ=c2+8g

顯然，有下面的結(jié)果:

(1)當(dāng)Δ>0時(shí)，f(φ)有3個(gè)零點(diǎn)φ0，φ1，φ2，它們的表達(dá)式為:

(2)當(dāng)Δ=0時(shí)，f(φ)有2個(gè)零點(diǎn)φ0，φ*，它們的表達(dá)式為:

(3)當(dāng)Δ<0時(shí)，f(φ)有1個(gè)零點(diǎn)φ0，它的表達(dá)式為：φ0=0.

其中θ=a+b2.根據(jù)動(dòng)力系統(tǒng)定性理論[6]，有如下結(jié)論：

在c-g參數(shù)平面，令l1、l2和l3分別表示下面的3條曲線：

令A(yù)i(i=1,2,3,4)表示被l1、l2和l3及坐標(biāo)軸包圍的區(qū)間，見圖1.

2 扭波的分岔

接下來(lái)，將展示扭波可以由其他3種波分岔得到.

2.1 來(lái)自于鐘形孤立波的分岔

命題1當(dāng)θ>0且g

(7)

(8)

θ>0 θ<0圖1 系統(tǒng)(5)的分岔相圖Fig.1 Bifurcation phase portraits of formula (5)

這些解有著如下的性質(zhì)：

(9)

(10)

它們分別表示1個(gè)扭波和反扭波.

(11)

在情形1中，當(dāng)(c,g)屬于A2區(qū)域且g→0+時(shí)，這2個(gè)鐘形孤立波相應(yīng)變成扭波式(9)和反扭波式(10)，對(duì)此變化過(guò)程，見圖2和圖3.

證明：在式(6)中，令H(φ,y)=H(0,0)，則有：

(12)

(13)

其中v是任意常數(shù).將式(13)完全積分并解出φ，則有：

(14)

(a)g=1/32 (b)g=10-3 (c)g=10-4 (d)g=10-6圖2 當(dāng)c=1，g→0+時(shí),的變化過(guò)程(鐘形孤立波分岔為扭波)Fig.2 When c=1 and g→0+, the change process(The kink wave is bifurcated from the bell-shaped solitary wave)

(a)g=1/32 (b)g=10-3 (c)g=10-4 (d)g=10-6圖3 當(dāng)c=1，g→0+時(shí)，的變化過(guò)程(鐘形孤立波分岔為反扭波)Fig.3 When c=1 and g→0+,the change process(The anti-kink wave is bifurcated from the bell-shaped solitary wave)

在式(7)和式(8)中，令g=0時(shí)，則可以得到式(9)和式(10).由此可證明命題1的(1).

因此，可證明命題1的(2)和(3).

2.2 來(lái)自于爆破波的分岔

特別地，在情形1中，當(dāng)(c,g)屬于A3區(qū)域且g→0-時(shí)，這2個(gè)爆破波相應(yīng)變成扭波式(9)和反扭波式(10)，對(duì)此變化過(guò)程，見圖4和圖5.

類似于命題1的證明，可以得到命題2的結(jié)果.

2.3 來(lái)自于峽谷形孤立波的分岔

(15)

(16)

特別地，當(dāng)g→0-時(shí)，這2個(gè)峽谷形孤立波相應(yīng)變成扭波式(9)和反扭波式(10)，對(duì)此變化過(guò)程，見圖6和圖7.

(a)g=-1/9 (b)g=-10-3 (c)g=-10-4 (d)g=-10-6圖4 當(dāng)c=1，g→0-時(shí)，的變化過(guò)程(爆破波分岔為扭波)Fig.4 When c=1 and g→0-,the change process(The kink wave is bifurcated from the blow-up wave)

(a)g=-1/9 (b)g=-10-3 (c)g=-10-4 (d)g=-10-6圖5 當(dāng)c=1，g→0-時(shí)，的變化過(guò)程(爆破波分岔為反扭波)Fig.5 When c=1 and g→0-,the change process(The anti-kink wave is bifurcated from the blow-up wave)

(a)g=-10-2 (b)g=-10-3 (c)g=-10-4 (d)g=-10-6圖6 當(dāng)c=1，g→0-時(shí)，的變化過(guò)程(峽谷形孤立波分岔為扭波)Fig.6 When c=1 and g→0-,the change process(The kink wave is bifurcated from the valley-shape solitary wave)

(a)g=-10-2 (b)g=-10-3 (c)g=-10-4 (d)g=-10-6圖7 當(dāng)c=1，g→0-時(shí),的變化過(guò)程(峽谷形孤立波分岔為反扭波)Fig.7 When c=1 and g→0-, the change process(The anti-kink wave is bifurcated from the valley-shape solitary wave)

證明：當(dāng)(c,g)屬于A3時(shí)，(φ2,0)在它的左邊有1條軌線Γ和它相連，見圖8.

圖8 Γ的軌線相圖Fig.8 The orbital diagram of Γ

在式(6)中，令H(φ,y)=H(φ2,0)=h2，則有:

(17)

(18)

將式(18)完全積分并解出φ，則有:

(19)

其中η=η(v)是任意常數(shù).從式(19)中可以得到形如式(15)和式(16)的解.

令g→0-，則有：

當(dāng)g→0-時(shí)，積分以后可以得到扭波式(9)和反扭波式(10).

因此，證明了命題3.

3 光滑周期波的分岔

命題4當(dāng)θ<0且g

(20)

(1)如果(c,g)屬于l1，那么uc表示周期爆破波解；(2)如果(c,g)屬于A2，那么uc表示周期波解.

特別地，當(dāng)g→c2-時(shí)，周期波就分岔成了周期爆破波.對(duì)此分岔過(guò)程，見圖9.當(dāng)g→0+時(shí)，周期波變成了線波u=2c,對(duì)此分岔過(guò)程，見圖10.

令g→c2-，則有：

有：

至此，證明了命題4.

(a)g=c2-10-1 (b)g=c2-10-2 (c)g=c2-10-3 (d)g=c2-10-5圖9 當(dāng)c=1，g→c2-時(shí),uc的變化過(guò)程(周期波分岔為周期爆破波)Fig.9 When c=1 and g→c2-, the uc change process(The periodic blow-up wave is bifurcated from the periodic wave)

(a)g=10-1 (b)g=10-2 (c)g=10-3 (d)g=10-5圖10 當(dāng)c=1，g→0+時(shí),uc的變化過(guò)程(周期波分岔為線波)Fig.10 When c=1 and g→0+, the uc change process(The periodic wave becomes the trivial wave)

4 結(jié) 論

該文主要研究了WBK方程的分支現(xiàn)象和一些精確行波解，通過(guò)Maple得出系統(tǒng)的圖形的變換，利用動(dòng)力系統(tǒng)的定性理論判斷系統(tǒng)奇點(diǎn)的類型，利用積分公式求解出行波解，并且揭示了2種分岔現(xiàn)象.