活性粒子在障礙物周圍的集聚行為

楊 艾，龔書楠，王向紅，何林李

(溫州大學(xué)數(shù)理學(xué)院，浙江溫州 325035)

活性粒子能夠從環(huán)境中獲取能量，使自身遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)[1]．活性粒子的行為只能在非平衡物理的框架內(nèi)解釋和理解，它們?yōu)榉瞧胶鈶B(tài)體系提供了理想的模型系統(tǒng)．近年來，活性粒子作為一種通用的模型系統(tǒng)得到了廣泛研究，主要集中在聚類[2]、群聚[3]以及復(fù)雜的渦旋或湍流[4]方面．研究已經(jīng)證明靜態(tài)約束可以穩(wěn)定這些結(jié)構(gòu)，并且積累和引導(dǎo)活性顆粒[5]．Kaiser等[6]通過將楔形障礙物固定在活性粒子溶液中，改變障礙物張角大小，發(fā)現(xiàn)障礙物對活性粒子的捕獲呈現(xiàn)出部分捕獲、完全捕獲和沒有捕獲三種狀態(tài)，并且障礙物需要具備一個尖銳的頂角，才能快速地捕獲活性粒子．基于之前的結(jié)果，Kaiser等[7]用移動的陷阱捕獲活性粒子，通過改變陷阱的拖拽速度來選擇性捕獲活性粒子．除此之外，Deblais等[8]提出一種新的系統(tǒng)，即能夠自我振動和移動的桿狀機(jī)器人被限制在圓形的活動場所，由于機(jī)器人與圓形場所之間的相互作用導(dǎo)致團(tuán)簇的形成，通過使用可以變形并且可以自由移動的活動場所，誘導(dǎo)團(tuán)簇定向移動．Galajda等[9]在實驗中通過將熒光標(biāo)記的細(xì)菌暴露在“漏斗形”開口的微型墻壁附近，發(fā)現(xiàn)微型墻壁充當(dāng)著一個“泵”的作用，可以聚集細(xì)菌．盡管現(xiàn)在對活性粒子研究已經(jīng)取得一些顯著的成果，但是在未來的幾十年中活性物質(zhì)領(lǐng)域還是面臨著各種開放性挑戰(zhàn)．

本研究專注于障礙物對活性粒子的捕獲．一個V形障礙物被固定在二維平面內(nèi)，活性粒子在低雷諾數(shù)溶液中運動．有限邊界的存在可以誘導(dǎo)活性顆粒的集聚行為，這些活性顆粒表現(xiàn)出形成群體的強(qiáng)烈傾向，從而誘發(fā)集體的自我捕獲．它們的自我捕獲是一種集體的非平衡效應(yīng)，這與由于外力作用而形成捕獲是不同的．通過改變障礙物的角度、活性粒子的密度以及對比不同形狀的障礙物下活性粒子的集聚行為，來研究障礙物的捕獲狀態(tài)．

1 模型和方法

模型由N個隨機(jī)分布的桿狀粒子和一個硬質(zhì)的V形障礙物組成[10-11]，模擬計算時采用了約化單位σ．每個桿狀粒子的長度l =1σ，寬度d =0.5σ，由三個沿粒子的軸向等距離s=0.25σ分布的珠子組成[12]．障礙物由89個珠子組成，每個珠子質(zhì)心的距離S=0.25σ，兩邊的邊長L=10σ，寬度D=0.5σ，V形障礙物的位置在模擬過程中保持不變．如圖1所示，黑色箭頭表示自推進(jìn)粒子的運動方向，黃色粒子表示棒狀活性粒子，其中頭部被標(biāo)記成紅色．障礙物頂角θ的變化范圍為0°―180°．活性粒子被隨機(jī)放置在大小為80σ×80σ具有周期性邊界條件的盒子中，活性粒子密度ρ=(N×Sp)/Ssys，其中N表示系統(tǒng)中活性粒子的總數(shù)，Sp=d2(1+π/4)表示每個活性粒子的面積，Ssys表示模擬盒子的總面積．可以通過改變活性粒子數(shù)量來控制體系的密度．

圖1 活性粒子與障礙物的簡單模型

為避免不同粒子之間的相互重疊，采用了純排斥的截斷位移Lennard-Jones勢能[13]：

其中R表示兩類粒子之間（活性粒子與活性粒子，活性粒子與障礙物）的距離，REV表示粒子的直徑，RC表示粒子之間的截斷半徑，ε=1kBT，其中kB為玻爾茲曼常數(shù)，T為體系的溫度．

考慮到活性粒子是在低雷諾系數(shù)的溶液中運動，其平移速度vi和加速度ωi（i=1,2,…,N）的運動方程如下所示[14]：

在我們的模擬中，翻滾概率λ= 0.1，并且σ=m∥=f0=kBT= 1．活性粒子的翻滾概率從模擬開始就存在，所有的結(jié)果都是通過足夠的樣本取平均得到．整個體系的模擬中時長超過了3.5×107步長，一個時間步長Δt= 10-4τ，時間單位τ=(ε / mσ2)0.5．

2 結(jié)果討論

2.1 障礙物頂角對活性粒子行為的影響

由于障礙物邊界的約束，活性粒子表現(xiàn)出集體行為，聚集在障礙物尖端并形成團(tuán)簇．定義障礙物對活性粒子的捕獲率P=n / N，其中n是被捕獲活性粒子的數(shù)量，N是體系中所有的活性粒子的數(shù)量．對體系中所有活性粒子的速度進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)其速度主要分布在被捕速度vcaptured=0.055τ/σ和自由速度vfree= 1.0τ/σ附近，如圖2所示．臨界速度v*= (vcaptured+ vfree)/2，當(dāng)活性粒子的實際速度v小于臨界速度v*，并且至少持續(xù)t*=2.5×105個時間步長，這些粒子我們就定義它被障礙物所捕獲．

圖2 活性粒子速度的概率分布圖（θ = 90°，ρ = 0.02）

如圖3所示，我們畫出了捕獲率P隨障礙物頂角θ變化的曲線，定義V形障礙物內(nèi)面積Sin=1/2(L2×sinθ)，其中L為V形障礙物對應(yīng)的邊長，此時活性粒子密度ρ= 0.02，V形障礙物三角形內(nèi)面積Sin= 48.75σ2．從圖3可以發(fā)現(xiàn)，捕獲率隨著障礙物頂角增加先增大后減小，在臨界頂角θ*=80°達(dá)到最大值．頂角可以促進(jìn)活性粒子被快速捕獲，隨著θ增加，更多的粒子聚集在障礙物的內(nèi)部．當(dāng)θ> 80°時頂角逐漸變鈍，對于較大的θ，由于頂角太寬以至于無法捕獲大部分粒子．隨著角度增大，出現(xiàn)三種非平衡態(tài)：部分捕獲、完全捕獲和沒有捕獲，如圖4所示．我們得到的三個狀態(tài)快照與Kaiser等人的結(jié)論一致[6]．

圖3 捕獲率P隨頂角θ大小的變化

被捕獲的活性粒子與障礙物內(nèi)部時刻發(fā)生相互碰撞，為詳細(xì)了解這一情況，統(tǒng)計了體系中在障礙物截斷范圍0.5σ內(nèi)的所有活性粒子對障礙物的有效作用力F，以水平向左為正方向，如圖5．隨著頂角θ增加，作用力F先增加后減?。瑯樱?dāng)頂角θ*= 80°時作用力F達(dá)到最大值，意味著障礙物對活性粒子的捕獲達(dá)到了當(dāng)前情況下的上限．此時，粒子因彼此的對齊相互作用活性粒子被障礙物捕獲，并誘導(dǎo)形成團(tuán)簇，團(tuán)簇充當(dāng)捕獲活性粒子的核，直到障礙物不能再捕獲粒子達(dá)到飽和為止．

圖5 活性粒子對障礙物有效作用力F與頂角θ的關(guān)系

2.2 活性粒子密度對活性粒子行為的影響

除了研究障礙物頂角對其捕獲率的影響外，我們還探究了障礙物在不同活性粒子密度ρ的情況下其捕獲率的變化，圖6為障礙物的捕獲率P和有效作用力F隨著體系密度ρ變化的關(guān)系圖．從圖6可以看出，有效作用力F隨著密度改變先增加后減小，在臨界密度ρ*= 0.05附近F達(dá)到了最大值，此時障礙物對活性粒子的捕獲達(dá)到飽和狀態(tài)，再增加密度將增加未被捕獲的自由粒子，并且這些自由的活性粒子會與最外層不穩(wěn)定的被捕粒子發(fā)生相互碰撞，導(dǎo)致被捕粒子獲得速度逃離障礙物的捕獲，如圖7所示．

圖6 捕獲率P和有效作用力F與粒子密度的關(guān)系（θ = 90°，Sin = 48.75σ2）

圖7 自由粒子和被捕獲粒子間的碰撞示意圖

除此之外，多余的活性粒子會與障礙物外部發(fā)生相互作用，障礙物外部受到的作用力（方向向右）會削弱其內(nèi)部受到的有效作用力F，所以密度超過臨界值后有效作用力會減?。c此同時，捕獲率P隨密度增大而減小，而在ρ*= 0.05時捕獲率曲線斜率發(fā)生了突變，當(dāng)ρ < ρ*時，活性粒子總數(shù)N和被捕粒子數(shù)n隨著體系粒子數(shù)密度增大而增大，但并非所有增加的活性粒子都會被捕獲．當(dāng)密度達(dá)到臨界密度ρ*= 0.05時，障礙物對活性粒子的捕獲達(dá)到了飽和狀態(tài)．當(dāng)ρ > ρ*時，隨著體系粒子數(shù)密度增大，活性粒子總數(shù)N增大而被捕粒子數(shù)n基本保持不變，從而導(dǎo)致捕獲率隨密度ρ的增大而直接下降．

為了更直觀地表現(xiàn)出密度ρ、頂角θ和捕獲率P三者之間的關(guān)系，我們繪制了它們的三維關(guān)系圖，如圖8所示．從圖8可以看出，隨著頂角增加捕獲率先增加后減?。谖覀兊难芯繑?shù)據(jù)可以得出，密度在0.02至0.08的范圍內(nèi)，V形障礙物的最佳捕獲角在80°至110°的范圍內(nèi)，并且密度越低，捕獲率越高．

圖8 粒子密度ρ、V形障礙物頂角θ和捕獲率P的三維相圖

2.3 不同形狀障礙物對活性粒子行為的影響

考慮了三種不同形狀的障礙物，分別為半圓弧形（Semi-arc）障礙物、未封閉的矩形（Unclosedrectangle）障礙物和V形（V-shaped）障礙物，它們的內(nèi)面積分別為半圓（Sin= 0.5πL2，這里的L為半圓弧形障礙物對應(yīng)的半徑）、矩形（Sin=a×b，a和b分別為矩形障礙物的長和寬）和三角形（Sin= 1/2(L2×sinθ)，L為V形障礙物對應(yīng)的邊長）．在內(nèi)面積Sin= 75σ2時，每個障礙物的捕獲率P與密度ρ之間的關(guān)系如圖9所示．從圖9可以看出，對于V形和矩形障礙物，其捕獲率P隨密度ρ的增加而降低．相較于V形障礙物，矩形障礙物的捕獲率更高，原因是矩形障礙物內(nèi)部有兩個頂角，可以更有效地捕獲活性粒子，因此它可以比V形障礙物（ρ*= 0.06）更容易達(dá)到飽和狀態(tài)（ρ*= 0.05）．

圖9 三個不同形狀障礙物的捕獲率P與密度ρ之間的關(guān)系圖

圖10給出了三種不同形狀的障礙物在不同密度下的快照．從圖10可以看出，矩形障礙物和V形障礙物在密度分別等于0.05和0.06時被捕獲的活性粒子填滿．隨著密度進(jìn)一步增加，被捕活性顆粒數(shù)量不再變化，自由活性顆粒占體系總活性粒子比例增加，從而降低了障礙物的捕獲率．對于半圓弧形障礙物，其捕獲率隨密度ρ的增加發(fā)生小幅度波動，活性粒子可以從其開口進(jìn)入內(nèi)部，但是半圓弧形障礙物內(nèi)部不存在頂角，粒子無法在其內(nèi)部形成核從而誘導(dǎo)其他活性粒子形成團(tuán)簇．進(jìn)入半圓弧形障礙物內(nèi)部的活性粒子由于具有速度與障礙物內(nèi)壁發(fā)生碰撞并附著在壁上，直到受到其他活性粒子的相互作用后才離開[8]．

圖10 三種不同形狀障礙物的捕捉狀態(tài)（Sin = 75σ2）

3 結(jié) 論

本文通過二維的布朗動力學(xué)模擬研究了具有不同形狀的障礙物對活性粒子的捕獲情況．對于V形障礙物，存在最佳頂角θ*和最佳活性粒子密度ρ*，使障礙物的捕獲率最大化．根據(jù)活性粒子密度ρ、障礙物頂角θ及其捕獲率P構(gòu)建的三維關(guān)系圖顯示，當(dāng)粒子密度在0.02到0.08之間時，V形障礙物的最佳捕獲角度處于80°和110°范圍內(nèi)．對于半圓弧形障礙物，其捕獲率隨密度的增加發(fā)生小幅度波動，這表明它無法捕獲活性粒子，因為它沒有頂角，無法集聚活性粒子．對于矩形障礙物，其捕獲率大于V形障礙物的捕獲率．比較三種不同形狀的障礙物可以發(fā)現(xiàn)，頂角的存在可以聚集活性粒子，并且擁有兩個頂角的障礙物更容易聚集．