一類隨機金融系統(tǒng)的隨機靈敏度控制

王雪歌，黃東衛(wèi)

(天津工業(yè)大學數(shù)學科學學院，天津 300387)

金融系統(tǒng)是一個復雜的非線性系統(tǒng)，對金融混沌系統(tǒng)的微小沖擊就可以顯著改變金融系統(tǒng)的動力學行為，從而破壞金融混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性．對隨機擾動下的金融混沌系統(tǒng)進行動力學分析，可以了解其演化規(guī)律，從而為經(jīng)濟部門提供政策建議．對于吸引子附近的概率分布，F(xiàn)PK（Fokker-Planck-Kolmogorov）方程給出了最詳細的概率描述．但求解FPK方程是非常困難的，為此，本文采用擬勢函數(shù)的小噪聲分布密度，根據(jù)其漸近分析[1]，利用隨機靈敏度函數(shù)（Stochastic Sensitivity Function, SSF）方法，構(gòu)造了金融系統(tǒng)的隨機吸引子的概率描述．

對于三維系統(tǒng)，隨機Lorenz系統(tǒng)和Rossler系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期分岔時，文獻[2-5]利用SSF技術(shù)分析了其附近的混沌現(xiàn)象，但對于金融混沌系統(tǒng)，很少應用這個方法對隨機吸引子進行概率描述．本文將SSF技術(shù)應用到改進的三維金融混沌系統(tǒng)中，在指數(shù)穩(wěn)定平衡點處設(shè)計控制器，對系統(tǒng)進行了理論分析與數(shù)值模擬．結(jié)果表明，該方法能降低隨機系統(tǒng)的靈敏度，并且可以達到抑制混沌隨機振蕩的目的．

1 確定性系統(tǒng)的動力學分析

1.1 金融系統(tǒng)

經(jīng)典的金融系統(tǒng)[6]如下：其中，x代表利率，y代表投資需求，z代表價格指數(shù)，a表示儲蓄量，b表示單位投資成本，c表示商品需求彈性，a,b,c均為正數(shù)．經(jīng)過研究及數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，當a=0.9,b=0.2,c=1.2時，金融系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)．文獻[7]考慮到利率變化因素與平均利潤率有關(guān)，對金融系統(tǒng)進行了改進，并對改進后的金融系統(tǒng)進行了混沌同步研究．

考慮到利率x與價格指數(shù)有可能會出現(xiàn)彈性正比關(guān)系，發(fā)現(xiàn)調(diào)整彈性系數(shù)，也可以使金融系統(tǒng)出現(xiàn)的混沌狀態(tài)消失，從而達到穩(wěn)定狀態(tài)，或周期狀態(tài)．所以本文參考文獻[8]對系統(tǒng)（1）中的第一個方程做了改進，即在利率x原始變化中，將價格指數(shù)z前的權(quán)值由1改為變系數(shù)k，于是得到如下改進的金融混沌模型：

接下來對改進的確定性金融混沌系統(tǒng)（2）進行動力學分析．

1.2 平衡點與穩(wěn)定性

求確定性系統(tǒng)（2）的平衡點．令系統(tǒng)右端為0，得到：

1.2.1 平衡點1E的穩(wěn)定性與分岔情況

1.2.2 平衡點E2,E3的穩(wěn)定性與分岔情況

1.2.3 不同參數(shù)下的相圖

取初值為(0.01,10.01,?0.01),(?0.01,10.01,0.01)，固定參數(shù)a=0.92,b=0.1，改變參數(shù)c,k，利用軟件Mathematica畫出確定性系統(tǒng)（2）取不同參數(shù)時的相圖，如圖1（a），圖1（b），圖1（c），圖1（d）是系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)下的相圖．

圖1 確定性不受控系統(tǒng)吸引子

由圖1可以得到：當參數(shù)a= 9.2,b= 0.1,c= 1.25,k= 2時，這時確定性系統(tǒng)有一個穩(wěn)定平衡點，如圖1（a）所示；當參數(shù)a= 9.2,b= 0.1,c= 1.25,k= 0.8時，確定性系統(tǒng)有兩個穩(wěn)定的平衡點，如圖1（b）所示；當參數(shù)a= 9.2,b= 0.1,c= 0.8,k= 1.1時，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔，系統(tǒng)呈現(xiàn)擬周期狀態(tài)，如圖1（c）所示；當a= 2,b= 0.2,c= 1.606 2,k= 1時，確定性系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)，如圖1（d）所示．繪制的相圖（見圖1）與以上對確定性系統(tǒng)的理論分析結(jié)果一致．

2 隨機金融系統(tǒng)平衡點的靈敏度分析

金融系統(tǒng)是一個極其復雜的系統(tǒng)，環(huán)境中即使發(fā)生很小的隨機擾動也會使確定性金融系統(tǒng)的動力學特性產(chǎn)生變化．我們在這里對系統(tǒng)（2）加入的小擾動是標準的維納過程，可以得到如下隨機系統(tǒng)：

其中，Wi(t)(i=1,2,3)是相互獨立的標準維納過程，ε是噪聲強度．

隨機金融系統(tǒng)在不同參數(shù)之下的隨機吸引子的軌跡見圖2．

圖2 隨機金融不受控系統(tǒng)的隨機吸引子（ε=0.002）

通過觀察圖2與圖1的區(qū)別，可以看出，在隨機擾動不是很大的情況下，隨機系統(tǒng)的軌跡離開吸引子，在其周圍形成隨機吸引子．在系統(tǒng)中加入隨機擾動，隨機擾動可能會引起系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換，系統(tǒng)可能會從周期狀態(tài)變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)．

下面將用隨機靈敏度函數(shù)技術(shù)討論隨機金融系統(tǒng)的隨機靈敏度．將系統(tǒng)（3）表示成如下形式：

其中，x是一個3維向量，W(t)是一個3維維納過程，σ(x)是3×3矩陣值函數(shù)，ε是噪聲強度．在這里取

當ε=0時，隨機系統(tǒng)（4）就變?yōu)榇_定性系統(tǒng)（3），這時系統(tǒng)有指數(shù)穩(wěn)定的平衡點

隨機系統(tǒng)（4）的隨機軌跡離開平衡點，在平衡點處形成一些概率分布，它的平穩(wěn)密度函數(shù)為ρ(x,)ε．FPK方程詳細描述了平穩(wěn)密度函數(shù)，但這個方程很難獲得解析解，故本文使用基于擬勢函數(shù)的漸近與近似方法來對其進行討論．

對于小噪聲，函數(shù)ρ(x,)ε在平衡點的小鄰域內(nèi)有如下高斯?jié)u近近似ρ?(x,)ε：

矩陣W的跡：d(k)=trW(k)=W11(k)+W22(k)+W33(k)，我們將d(k)的大小作為衡量隨機靈敏度的指標．在參數(shù)a= 9.2,b= 0.1,c= 1.25,k= 0.8的條件下，有：d(0.18)=153.6959．可以看到，這個值很大，這也表明系統(tǒng)對加入的隨機擾動的反應很靈敏，所以加入隨機擾動之后的系統(tǒng)變得紊亂．為了平衡隨機系統(tǒng)中的紊亂軌跡并抑制混沌狀態(tài)，下面設(shè)計反饋控制器來控制隨機金融系統(tǒng)．

3 隨機系統(tǒng)靈敏度的控制

3.1 隨機受控系統(tǒng)靈敏度的預備知識

考慮隨機受控系統(tǒng)：

σ(x,u)是足夠光滑的矩陣值函數(shù)，它描述了隨機擾動對狀態(tài)和控制的依賴關(guān)系．W(t)是n維維納過程，ε是噪聲強度，u是控制參數(shù)．反饋控制器取為常規(guī)反饋控制器：

完全隨機可控定義：如果?W∈M，?K∈K，KW=W，就說系統(tǒng)（6）的平衡點是完全隨機可控的，簡單地說，系統(tǒng)（6）是完全隨機可控的．

考慮rank(B)<0的情況，這時系統(tǒng)不是完全隨機可控的，此時描述系統(tǒng)（6）的可達性條件．介紹所需要的幾個矩陣和方程．

其中，C是任意l×n矩陣，滿足BCW+WCTBT=0．

基于以上介紹，給出以下定理：

定理1[2]當rank(B)

3.2 隨機金融受控系統(tǒng)靈敏度分析

加了控制的隨機金融系統(tǒng)如下：

計算可得，加入控制之后的d(k)=trW(k)=1.8096?0.0096k，可以看到，受控之后的隨機系統(tǒng)（11）的隨機靈敏度矩陣的元素小于未受控的隨機系統(tǒng)的靈敏度矩陣的元素，隨機靈敏度降低．

當a= 9.2,b= 0.1,c= 1.25,k∈[0.5,2]時，不受控金融系統(tǒng)隨機靈敏度矩陣W的跡d(k)隨參數(shù)k變化的圖象如圖3所示，受控系統(tǒng)隨機靈敏度矩陣W的跡d(k)隨著參數(shù)k變化的圖象如圖4所示．從圖4可以看出，受控系統(tǒng)的靈敏度矩陣W的跡d(k)在區(qū)間k∈[0.5,2]上保持在1.800附近．以上分析表明，減小控制系統(tǒng)的隨機靈敏度會抑制混沌．

圖3 不受控金融系統(tǒng)在平衡點E2處的隨機靈敏度

圖4 受控金融系統(tǒng)在平衡點E2處的隨機靈敏度

當參數(shù)取a= 9.2,b= 0.1,c= 1.25,k= 0.8時，結(jié)合（9）式、（10）式和定理1，可以得到控制器（7）的系數(shù)k1,k2,k3，計算得到：

由此可以得到控制器的表達式，在系統(tǒng)中加入該控制調(diào)節(jié)器．該控制調(diào)節(jié)器對于所考慮的控制問題的解決的可能性在圖5中得到了證明．

圖5給出了當ε=0.002,k=0.8時系統(tǒng)隨機振蕩軌跡的x坐標，可以看到，系統(tǒng)在t=50時打開了控制，之后x坐標穩(wěn)定在0.136附近，即加入控制之后隨機靈敏度減小，達到了控制隨機振蕩和抑制混沌的目的．

圖5 隨機振蕩軌跡的x坐標（ε=0.002,k=0.8）

4 結(jié) 論

本文將SSF技術(shù)應用到金融混沌系統(tǒng)中，在指數(shù)穩(wěn)定平衡點處設(shè)計控制器，達到將控制隨機吸引子穩(wěn)定在平衡點小鄰域內(nèi)的目的．通過對未受控的隨機靈敏度矩陣和受控之后的隨機靈敏度矩陣的跡的對比可知，加入控制之后的隨機靈敏度比未受控的隨機靈敏度降低了許多，控制之后的系統(tǒng)對外界干擾的靈敏度下降，加入控制能抑制系統(tǒng)混沌，在一定程度上能使經(jīng)濟系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，即達到了實施控制的目的．