導(dǎo)數(shù)法在函數(shù)求參數(shù)范圍問題中的應(yīng)用分析

李強(qiáng)強(qiáng)

(甘肅省甘谷縣第二中學(xué))

求參數(shù)的范圍是高中數(shù)學(xué)中常見的問題,主要分為以下三種類型:一是已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的范圍,二是已知具體的實(shí)數(shù)根求參數(shù)的范圍,三是已知函數(shù)的切線求參數(shù)的范圍.本文主要從這三類問題展開闡述,分別總結(jié)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法解答不同類型問題的思路和步驟,使問題的解答更加有條理,思路更加清晰.

1 已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的范圍

這一類問題常常會在已知條件中給出單調(diào)區(qū)間,以此求解參數(shù)的范圍.解題思路大致分為如下三步:

1)對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù);

2)分析函數(shù)的單調(diào)性,并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式或不等式組;

3)解不等式或不等式組.

例1函數(shù)f(x)＝x3－15x2－33x＋6在[2m－7,2m＋7]上有三個單調(diào)區(qū)間,求參數(shù)m的取值范圍.

分析解答該題,首先求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù),其次分析已知信息:函數(shù)在[2m－7,2m＋7]上有三個單調(diào)區(qū)間,不難發(fā)現(xiàn)區(qū)間[2m－7,2m＋7]包含導(dǎo)函數(shù)的兩個極值點(diǎn),求解得到的不等式組即可確定參數(shù)的具體范圍.

解由題意可得f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x＋1)(x－11),可知x1＝－1,x2＝11是f(x)的極值點(diǎn),解得2＜m＜3.

變式若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x＋1恰好有三個單調(diào)區(qū)間,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

分析已知函數(shù)f(x)有三個單調(diào)區(qū)間,可推斷f′(x)＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,即根據(jù)Δ＞0可求出參數(shù)a的取值范圍.

解由題意可得f′(x)＝3x2＋2ax＋3,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)恰好有三個單調(diào)區(qū)間,所以3x2＋2ax＋3＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,所以Δ＝4a2－36＞0,解得a＞3或a＜－3.

2 已知實(shí)數(shù)根求參數(shù)的范圍

已知實(shí)數(shù)根求參數(shù)的范圍問題也有相對應(yīng)的解題思路.解題過程大致分為如下四步:

1)對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得到其導(dǎo)函數(shù);

2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)推斷函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);

3)根據(jù)所給實(shí)數(shù)根分析函數(shù)極值點(diǎn)的位置,列出不等式組;

4)解不等式組得到參數(shù)的取值范圍.

例2如果函數(shù)y＝x3與函數(shù)y＝6x2－9x＋m有三個不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析分析題意可得兩函數(shù)相等時有三個解,即x3＝6x2－9x＋m有三個不相等的實(shí)數(shù)根,構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋9x－m,其次求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),令f′(x)＝0可求出極值點(diǎn)為x1＝1,x2＝3.只有當(dāng)f(x1)＞0,f(x2)＜0時,函數(shù)f(x)與x軸有三個不同的交點(diǎn),即不等式組為解該不等式組可得到參數(shù)的取值范圍.

解由題意可得x3＝6x2－9x＋m有三個不相等的實(shí)數(shù)根,令函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋9x－m,則f′(x)＝3x2－12x＋9,令f′(x)＝0,即3x2－12x＋9＝0,解得x1＝1,x2＝3,所以f(1),f(3)分別是f(x)的極大值和極小值,由f(1)＞0,f(3)＜0可得解得0＜m＜4,即m的取值范圍為(0,4).

變式已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)(a2－1)x,若方程f(x)＝0有三個不相等的實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.

分析該變式的解題思路與例2相似,首先對已知函數(shù)求導(dǎo),其次根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)的極值點(diǎn).由題意可知,極大值大于0,極小值小于0,據(jù)此列出不等式組并求解,即可得到參數(shù)a的取值范圍.

解對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝x2－2ax＋a2－1＝(x－a－1)(x－a＋1).

由題意可得,f(x)＝0有三個不相等的實(shí)數(shù)根,所以f(a－1)＞0,f(a＋1)＜0,即

解得－2＜a＜2 且a≠±1,所以a的取值范圍為(－2,－1)∪(－1,1)∪(1,2).

3 已知函數(shù)的切線求參數(shù)的范圍

與切線相關(guān)的求參數(shù)范圍問題也能用導(dǎo)數(shù)的方法求解.解題的大致思路如下:

1)厘清題意,找到切線對應(yīng)的具體函數(shù)解析式f(x);

2)求導(dǎo)得到對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),令f′(x)＝0,求出極值點(diǎn);

3)根據(jù)函數(shù)的極值列出對應(yīng)的不等式或不等式組并求解.

例3已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0處取得極小值－4,使其導(dǎo)數(shù)f′(x)＞0的x的取值范圍為(1,3),若過點(diǎn)P(－1,m)可作曲線y＝f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析首先根據(jù)題意求出具體的函數(shù)解析式.由于f(x)在P(－1,m)有三條切線,故求出切線方程并將點(diǎn)P代入,則所得方程式有三個不相等的實(shí)數(shù)根,根據(jù)該方程式建立新函數(shù)g(x),求導(dǎo)并列出不等式組,進(jìn)而求解不等式組,即可得到參數(shù)的取值范圍.

解f′(x)＝3ax2＋2bx＋c,由題意得f′(x)＞0的解集為(1,3),所以x＝1為f(x)的極小值點(diǎn),x＝3為f(x)的極大值點(diǎn),所以解得a＝－1,b＝6,c＝－9,則f(x)＝－x3＋6x2－9x.

設(shè)切點(diǎn)Q(t,f(t)),則y－f(t)＝f′(t)(x－t),即

因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P(－1,m),所以

令g(t)＝m＝2t3－3t2－12t＋9－m,則

令g′(t)＝0,解得t1＝－1,t2＝2,要使得方程g(t)＝0有三個不相等的實(shí)數(shù)根,則只需所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－11,16).

變式函數(shù)在x＝0處取得極值－1,若過點(diǎn)(0,0)可作曲線y＝f(x)的三條切線,求a的取值范圍.

分析求解思路與例3相似,首先根據(jù)已知條件推斷得到具體的函數(shù)解析式,其次求出f(x)在(0,0)對應(yīng)的切線方程,由于函數(shù)在該點(diǎn)上有三條切線,則將點(diǎn)(0,0)代入切線方程得到的方程有三個不相等的實(shí)數(shù)根.再建立函數(shù),求導(dǎo)并確定極值點(diǎn),根據(jù)極值點(diǎn)列出不等式即可求出參數(shù)的取值范圍.

解f′(x)＝x2＋2ax＋b(a＜0),由題意可得f′(0)＝0,f(0)＝－1,解得b＝0,c＝－1,所以

設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則切線方程為

當(dāng)x∈(－∞,0)時,g′(x)＞0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(0,－a)時,g′(x)＜0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(－a,＋∞)時,g′(x)＞0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;所以g(0)是極大值,g(－a)是極小值,方程有三個不相等的實(shí)數(shù)根,所以g(－a)＜0,解得a＜,即a的取值范圍為

以求參數(shù)的范圍為考點(diǎn)的問題還有許多,解題時需要挖掘問題中的條件,把不熟悉的問題轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ膯栴},進(jìn)而求出問題的答案.

(完)