構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性比較大小例析

李 晶 張國坤

(云南省曲靖市第一中學(xué))

比較大小問題,每年高考幾乎必考.比較兩個(gè)“復(fù)雜”數(shù)的大小,方法較多,構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小是一種常用的路徑,這種路徑在求解高考試題的比較大小問題中經(jīng)常發(fā)揮有效的作用.構(gòu)造函數(shù)比較a,b兩個(gè)數(shù)的大小,典型的有三種方法.

1 構(gòu)造函數(shù)比較大小的三種典型方法

1.1 單調(diào)比較法

若研究發(fā)現(xiàn)a,b存在相同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),或者通過變形處理,能將a,b配湊出相同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),則可根據(jù)兩個(gè)數(shù)共同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),從特殊到一般,構(gòu)造函數(shù)f(x),使得a＝f(x1),b＝f(x2),選擇區(qū)間D,說明x1,x2∈D且x1＜x2,只要證明f(x)在區(qū)間D上單調(diào),即可比較f(x1)與f(x2)即a與b的大小.

1.2 作差比較法

要比較a,b的大小,只需比較a－b與0的大小,則根據(jù)a－b的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),構(gòu)造函數(shù)f(x),使得存在x0,t0有f(x0)＝0,f(t0)＝a－b,只要說明或證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0,t0]或[t0,x0]上的單調(diào)性,即可比較a－b與0的大小關(guān)系,進(jìn)而比較a,b的大小.

1.3 作商比較法

要比較兩個(gè)正數(shù)a,b的大小,只需比較與1的大小,則根據(jù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),構(gòu)造函數(shù)f(x),使得存在x0,使,只要說明或證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0,t0]或[t0,x0]上的單調(diào)性,即可比較與1的大小,進(jìn)而知道a,b的大小關(guān)系.

2 三種典型方法的應(yīng)用舉例

例1(2022年全國甲卷文12)已知9m＝10,a＝10m－11,b＝8m－9,則( ).

解析9m＝10的本質(zhì)就是給出m的值,即m＝log910.a＝10m－11與b＝8m－9之間有什么聯(lián)系呢?

a＝10m－10－1,b＝8m－8－1,兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是一致的(稱作同構(gòu)).構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xm－x－1,則f(9)＝9m－9－1＝0,f′(x)＝mxm－1－1.

m＝log910＞1,當(dāng)x＞1 時(shí),xm－1＞x0＝1,則f′(x)＞m－1＞0,函數(shù)f(x)在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,進(jìn)而f(10)＞f(9)＞f(8),即a＞0＞b,故選A.

例4(2021年全國乙卷理12)設(shè)a＝2ln1.01,b＝ln1.02,,則( ).

例5(2021年八省聯(lián)考卷8)已知a＜5且5ea＝ae5,b＜4且4eb＝be4,c＜3且3ec＝ce3,則( ).

解析將關(guān)于a,b,c的條件等價(jià)轉(zhuǎn)化:

根據(jù)三個(gè)等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(同構(gòu)),構(gòu)造函數(shù)f(x)＝,f′(1)＝0,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,且知0＜a＜1,0＜b＜1,0＜c＜1,f(5)＞f(4)＞f(3),所以f(a)＞f(b)＞f(c),0＜a＜b＜c＜1,故選D.

例6已知a＝log20212022,b＝log20222023,c＝log20232024,則( ).

A.a＞b＞cB.b＞a＞c

C.b＞c＞aD.c＞a＞b

a,b,c的結(jié)構(gòu)有一個(gè)共同特點(diǎn)就是:每個(gè)數(shù)都是一個(gè)冪,冪中的指數(shù)恰好等于底數(shù)的倒數(shù),a,b,c中的底數(shù)逐漸增加1,構(gòu)造函數(shù)f(x)＝當(dāng)x＞e時(shí),g′(x)＜0,函數(shù)g(x)在(e,＋∞)上單調(diào)遞減,則f(x)在(e,＋∞)上單調(diào)遞減,f(2021)＞f(2022)＞f(2023),即a＞b＞c,故選D.

例8已知a＝20212022,b＝20222021,c＝2021.52021.5,則( ).

由f(2021)＞f(2021.5),可得a＞c.

綜上,a＞c＞b,故選D.

例9已知f(x)是定義在R 上的可導(dǎo)函數(shù),且f(0)＝1,f(x)＜f′(x),則( ).

綜上,故選B.

(完)