導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的創(chuàng)新型試題賞析

田長江

(青島西海岸新區(qū)第一高級中學(xué))

創(chuàng)新是引領(lǐng)發(fā)展的第一動力,因此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識非常重要.本文通過梳理總結(jié)列舉出了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用試題中的幾類創(chuàng)新型問題,并結(jié)合例題進(jìn)行分析,供讀者借鑒賞析.

1 新定義型

例1丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人,特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.

設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),f′(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f″(x),若在(a,b)上f″(x)＞0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在(a,b)上為“凹函數(shù)”.

已知f(x)＝ex－1＋xlnx－tx2在(1,2)上為“凹函數(shù)”,則實數(shù)t的取值范圍是( ).

點評二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)凹凸性的關(guān)系來自于高等數(shù)學(xué)內(nèi)容,對于新定義問題有著“起點高,落點低”的特點,在解決這類問題時,關(guān)鍵在于抓住所給函數(shù)的新定義,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的方法求解參數(shù)的取值范圍.新定義題型的問題,別致新穎,有利于檢測學(xué)生的創(chuàng)新能力.

2 開放型

例2寫出一個同時滿足下列要求的連續(xù)函數(shù)f(x)＝_________.

①f(x)的表達(dá)式中至少含有ex,xn(n∈N*),lnx中的兩個;

②存在一個極值點x＝3.

所以當(dāng)x＞3時,f′(x)＞0,當(dāng)0＜x＜3或x＜0時,f′(x)＜0,所以f(x)在(－∞,0)(0,3)上單調(diào)遞減,在(3,＋∞)上單調(diào)遞增,所以x＝3是f(x)的一個極值點,所以符合題意(答案不唯一).

點評求解開放型問題的關(guān)鍵在于弄清楚題目所給的條件,緊抓條件的具體內(nèi)容構(gòu)造滿足條件的函數(shù).

3 問題研究型

例3函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.

(1)求f(x)的極大值和極小值;

(2)已知f(x)在區(qū)間D上的最大值為20,以下3個區(qū)間D的備選區(qū)間中,哪些是符合已知條件的? 哪些不符合? 說明理由.

①[－3,2];②[－2,2];③[－3,1].

解析(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)·(x－3),令f′(x)＝0,解得x＝－1或3.

當(dāng)x∈(－∞,－1)時,f′(x)＜0;

當(dāng)x∈(－1,3)時,f′(x)＞0;

當(dāng)x∈(3,＋∞)時,f′(x)＜0.

所以f(x)在(－∞,－1)和(3,＋∞)上單調(diào)遞減,在(－1,3)上單調(diào)遞增,所以f(x)的極大值為f(x)的極小值為

(2)當(dāng)區(qū)間D為①時,f(x)在[－3,－1]上單調(diào)遞減,在(－1,2]上單調(diào)遞增,且

所以fmax(x)＝25,不符合已知條件.

當(dāng)區(qū)間D為②時,f(x)在[－2,－1]上單調(diào)遞減,在(－1,2]上單調(diào)遞增,且

所以fmax(x)＝20,符合已知條件.

當(dāng)區(qū)間為③時,f(x)在[－3,－1]上單調(diào)遞減,在(－1,1]上單調(diào)遞增,有

所以fmax(x)＝25,不符合已知條件.

綜上,區(qū)間①、區(qū)間③不符合已知條件,區(qū)間②符合已知條件.

點評本題需要研究符合條件的區(qū)間,給出三個區(qū)間進(jìn)行選擇,使得問題呈現(xiàn)形式新穎獨特,能夠較好地考查學(xué)生的思維能力.本題的求解要根據(jù)f(x)在所給區(qū)間上的單調(diào)性和極值,分析得到f(x)的最大值,由此判斷所給區(qū)間是否符合條件.

4 知識交會型

例4已知函數(shù),下列對于函數(shù)f(x)性質(zhì)的描述,錯誤的是( ).

由f′(x)＞0,可得

綜上,故選C.

點評以三角函數(shù)為背景考查導(dǎo)數(shù)知識和基本初等函數(shù)的性質(zhì),是這類問題的常見命題形式,在解決此類問題時,要能夠正確求出所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的基本性質(zhì).

(完)