近地天體與空間目標(biāo)初軌確定的多解問(wèn)題

趙柯昕, 甘慶波,*, 楊志濤, 劉 靜

(1. 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái), 北京 100012; 2. 國(guó)家航天局空間碎片監(jiān)測(cè)與應(yīng)用中心, 北京 100012;3. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué), 北京 100049)

0 引 言

利用測(cè)角數(shù)據(jù)進(jìn)行初軌確定的問(wèn)題從提出至今,已經(jīng)有200多年的歷史。在此期間,提出了許多方法來(lái)解決該問(wèn)題。最早提出的方法是Laplace法和Gauss法。這兩種方法均使用三次測(cè)角數(shù)據(jù)，且至今仍有廣泛應(yīng)用。Laplace法通過(guò)對(duì)觀測(cè)幾何構(gòu)型進(jìn)行微分,構(gòu)建了關(guān)于中間觀測(cè)時(shí)刻目標(biāo)地心距離的八次方程。Gauss法通過(guò)假設(shè)三次觀測(cè)時(shí)刻的目標(biāo)地心位置矢量位于同一平面,同樣構(gòu)建了關(guān)于中間觀測(cè)時(shí)刻目標(biāo)地心距離的八次方程。雖然兩種方法的八次方程具有相同形式,但系數(shù)的具體定義不同。而在初軌確定的過(guò)程中,求解這兩種形式的八次方程都需要面對(duì)從多個(gè)根選擇出符合觀測(cè)數(shù)據(jù)的正確解的問(wèn)題,若無(wú)法解決該問(wèn)題，會(huì)導(dǎo)致后續(xù)軌道參數(shù)計(jì)算的失敗。由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,Escobal于1965年提出了雙R迭代法,但是該方法的魯棒性較差。Gooding于1993年提出了基于Lambert方程的初軌計(jì)算方法,在將其應(yīng)用于天基空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)時(shí)也相當(dāng)穩(wěn)健。Karimi于2011年提出了一種使用拉格朗日系數(shù)的迭代計(jì)算方法,該方法在共面情況下不存在奇異性。桑吉章等人將利用測(cè)角數(shù)據(jù)的初軌確定問(wèn)題轉(zhuǎn)換為基于兩個(gè)位置矢量的初軌確定問(wèn)題,使用仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)該方法的成功率和精度都優(yōu)于Gauss法和Gooding法,但該方法對(duì)于初值選擇較為苛刻。Wishnek等人于2021年提出了一種使用角度測(cè)量值的允許域的初軌確定新方法,發(fā)現(xiàn)該方法魯棒性較好。Gronchi等人推廣了Mossotti提出的利用多次觀測(cè)和線性方程進(jìn)行初軌確定的方法,將其應(yīng)用于地球衛(wèi)星的軌道確定中。隨著優(yōu)化算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的興起,Ansalone、李鑫冉、Hu等人將遺傳算法、粒子群算法、進(jìn)化算法等方法應(yīng)用于地基、天基空間目標(biāo)初軌確定問(wèn)題和小行星初軌確定問(wèn)題，對(duì)于近圓軌道獲得了較好的效果。Handley等人提出了一種基于自適應(yīng)Nelder-Mead最優(yōu)化方法的天基空間目標(biāo)確定方法,尤其在高軌對(duì)高軌目標(biāo)時(shí)有較強(qiáng)性能。

針對(duì)Gauss法和Laplace法在初軌確定過(guò)程中求解八次方程時(shí)遇到的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，已經(jīng)有了較為詳細(xì)的研究,但是對(duì)于根的選擇問(wèn)題研究較少。Charlier針對(duì)近地天體定軌問(wèn)題,對(duì)觀測(cè)目標(biāo)與太陽(yáng)的距離量和觀測(cè)目標(biāo)與地球之間的斜距量進(jìn)行歸一化，重構(gòu)了八次方程,發(fā)現(xiàn)八次方程共有8個(gè)根,其中包含3個(gè)正實(shí)根,1個(gè)負(fù)實(shí)根和4個(gè)虛根。他將非偽解定義為使得斜距量具有意義的正實(shí)根。同時(shí)給出了判別非偽解個(gè)數(shù)的幾何條件,認(rèn)為非偽解的個(gè)數(shù)只取決于中心天體、觀測(cè)平臺(tái)和空間目標(biāo)三者在某一時(shí)刻平面上的相對(duì)位置。1962年,Danby等人使用正弦定理重新表示了觀測(cè)幾何構(gòu)型,將求解八次方程根的過(guò)程轉(zhuǎn)化為求解兩個(gè)正弦曲線交點(diǎn)的過(guò)程,但是該方法仍面臨多個(gè)非偽解無(wú)法選擇的問(wèn)題。2009年,Gronchi將Charlier的理論進(jìn)行了推廣,提出了Charlier極限概念,但沒(méi)有考慮多解問(wèn)題。2012年,Der將可見(jiàn)的空間目標(biāo)應(yīng)用于觀測(cè)平臺(tái)所處的地平面之上,作為判別條件。若計(jì)算得到的根對(duì)應(yīng)的觀測(cè)視線穿過(guò)地球,則該根為錯(cuò)解予以舍棄,但對(duì)于有些觀測(cè)數(shù)據(jù)，仍需要其他信息才能進(jìn)行非偽解的選擇。2016年,Wie將八次方程分為兩種情況進(jìn)行簡(jiǎn)單近似,認(rèn)為可以利用近似形式對(duì)非偽解進(jìn)行選擇,顯然這是一個(gè)不準(zhǔn)確的情況。

本文以Laplace法八次方程為例,討論了非偽解個(gè)數(shù)與觀測(cè)幾何構(gòu)型之間的關(guān)系,并提出了一種有效的對(duì)非偽解的判別方法。首先,本文構(gòu)建了Laplace法的八次方程,討論了方程系數(shù)與根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。利用觀測(cè)平臺(tái)地心距對(duì)經(jīng)典八次方程進(jìn)行歸一化,解決了平凡解的問(wèn)題,并分析了非偽解的個(gè)數(shù)與地心、觀測(cè)平臺(tái)和空間目標(biāo)三者相對(duì)位置的關(guān)系。隨后從計(jì)算半通徑的問(wèn)題入手,引入了Shefer提出的通用方程,推導(dǎo)出了空間目標(biāo)斜距量應(yīng)滿(mǎn)足的約束條件,給出了空間目標(biāo)斜距變化量與觀測(cè)時(shí)間間隔之間應(yīng)滿(mǎn)足的非線性方程組的解析形式。利用該方程組作為判別方程,對(duì)多個(gè)非偽解進(jìn)行選擇。最后，使用近地天體和天基衛(wèi)星光學(xué)仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本文提出的非偽解個(gè)數(shù)的確定方法與判別方法的正確性。

1 光學(xué)資料初軌確定問(wèn)題

利用三次測(cè)角數(shù)據(jù)進(jìn)行初軌確定是天體力學(xué)中的基本問(wèn)題。本節(jié)使用3次角度觀測(cè)值分析了Laplace法中八次方程面臨的非偽解的個(gè)數(shù)與性質(zhì)。首先定義3次觀測(cè)時(shí)刻與對(duì)應(yīng)的赤經(jīng)、赤緯測(cè)量值分別為,,,=1,2,3,觀測(cè)時(shí)刻的觀測(cè)平臺(tái)地心位置矢量為(=1,2,3),需要求解出空間目標(biāo)的地心位置矢量(=1,2,3)。

1.1 光學(xué)觀測(cè)幾何構(gòu)型

使用天基和地基光學(xué)觀測(cè)平臺(tái)對(duì)空間目標(biāo)和近地天體進(jìn)行初軌確定,單次觀測(cè)幾何構(gòu)型如圖1所示。觀測(cè)近地天體時(shí),可認(rèn)為觀測(cè)平臺(tái)位于地心,同時(shí)觀測(cè)近地天體和天基空間目標(biāo)觀測(cè)的動(dòng)力學(xué)是類(lèi)似的,后續(xù)僅考慮利用地基和天基光學(xué)觀測(cè)平臺(tái)對(duì)空間目標(biāo)進(jìn)行初軌確定的情況。

圖1 觀測(cè)空間目標(biāo)和近地天體的幾何構(gòu)型Fig.1 Geometrical configuration of observation of space object and near-Earth object

由圖1可知,空間目標(biāo)的地心位置矢量可以表示為

=·+,=1,2,3

(1)

式中:·為觀測(cè)平臺(tái)到空間目標(biāo)的距離矢量,是觀測(cè)平臺(tái)到空間目標(biāo)視線的單位矢量,是斜距;下標(biāo)代表3次不同的觀測(cè)時(shí)刻。平臺(tái)到空間目標(biāo)視線的單位向量可以表示為

(2)

1.2 Laplace法八次方程

將式(1)點(diǎn)乘自身,可以得到關(guān)于空間目標(biāo)地心距離的表達(dá)式:

(3)

對(duì)式(1)進(jìn)行一階、二階微分,可以得到每個(gè)觀測(cè)時(shí)刻的空間目標(biāo)的速度和加速度:

(4)

(5)

時(shí)間間隔較短時(shí),可以假設(shè)空間目標(biāo)為二體運(yùn)動(dòng)。聯(lián)立式(1)～式(5),并經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換,可得到Laplace形式的八次方程:

()=+++=0

(6)

式中:

各符號(hào)定義如下:

針對(duì)方程,可以總結(jié)系數(shù)的性質(zhì)如下:

(1) 系數(shù)和是恒負(fù)的;

(2) 系數(shù)可能為負(fù),也可能為正;

(3) 當(dāng)系數(shù)<0時(shí),總會(huì)有1個(gè)正實(shí)根,1個(gè)負(fù)實(shí)根和6個(gè)復(fù)根;

(4) 當(dāng)系數(shù)>0時(shí),存在至多3個(gè)正實(shí)根,1個(gè)負(fù)實(shí)根和復(fù)根。

初軌確定過(guò)程中所需要的真解是方程的1個(gè)正實(shí)根。Vallado指出,該方程可能存在多個(gè)使得斜距量有意義的根,真解的選擇較為困難。需將每個(gè)根與先驗(yàn)信息進(jìn)行比較或者利用多次觀測(cè)值分離出正確的根,但該過(guò)程是繁瑣且效率低下的。

1.3 平凡解與非偽解的性質(zhì)

方程中的系數(shù)取決于地心、觀測(cè)平臺(tái)和空間目標(biāo)的相對(duì)位置。使用觀測(cè)平臺(tái)的地心距對(duì)空間目標(biāo)地心距和斜距進(jìn)行歸一化,式(6)的系數(shù)變?yōu)?/p>

(7)

可得,=1是方程的一個(gè)平凡解。當(dāng)利用天基平臺(tái)觀測(cè)空間目標(biāo)時(shí),該根代表了觀測(cè)平臺(tái)的地心距;當(dāng)觀測(cè)近地天體時(shí),該根代表了地球的日心距。=1會(huì)導(dǎo)致()=0,所以該根是方程的平凡解,應(yīng)該被舍棄。

求解經(jīng)過(guò)降階的七次方程時(shí),會(huì)出現(xiàn)至多2個(gè)使得斜距有意義的根,即至多存在2個(gè)非偽解。由Charlier提出的非偽解個(gè)數(shù)的條件,進(jìn)一步可以得到存在兩個(gè)非偽解的判別方程:

(8)

如圖2所示,當(dāng)空間目標(biāo)位于陰影區(qū)域和時(shí),會(huì)存在2個(gè)非偽解,而當(dāng)空間目標(biāo)位于區(qū)域和時(shí),只存在一個(gè)非偽解。這4個(gè)區(qū)域的分界線為=和=+23-53。

圖2 非偽解個(gè)數(shù)與地心、觀測(cè)平臺(tái)和空間目標(biāo)三者相對(duì)位置的關(guān)系Fig.2 Relationship between the number of non-pseudo solutions and the geometrical configuration of Geocenter, observation platform and space target

初軌確定的典型問(wèn)題是近地空間目標(biāo)和近地天體的觀測(cè)定軌。其中,通常的典型場(chǎng)景有以下3種:

(1) 地基近地空間目標(biāo)(如衛(wèi)星、碎片等)觀測(cè),幾何構(gòu)型如圖1(a)所示?？梢宰C明在初軌確定過(guò)程中不存在平凡解情況,本文研究暫不涉及此觀測(cè)場(chǎng)景。

(2) 天基近地空間目標(biāo)觀測(cè),幾何構(gòu)型如圖1(b)所示。觀測(cè)平臺(tái)繞地球作軌道運(yùn)動(dòng),分界線=代表以觀測(cè)時(shí)刻觀測(cè)平臺(tái)所在地心距為半徑、以地心為原點(diǎn)的圓,可觀測(cè)到位于區(qū)域和中的物體,此時(shí)需要考慮多個(gè)非偽解判別的問(wèn)題。

(3) 太陽(yáng)系近地小天體觀測(cè),幾何構(gòu)型如圖1(c)所示。引力中心為太陽(yáng),觀測(cè)平臺(tái)位于地球表面,地球自轉(zhuǎn)可忽略,分界線=代表地球公轉(zhuǎn)軌道。其動(dòng)力學(xué)本質(zhì)和天基近地空間目標(biāo)觀測(cè)近似,同樣可以觀測(cè)到位于區(qū)域和中的物體,也需要考慮多個(gè)非偽解判別的問(wèn)題。

2 非偽解的判別方法

本節(jié)從求解軌道半通徑的問(wèn)題出發(fā),引入Shefer的改進(jìn)通用方程,推導(dǎo)出了空間目標(biāo)斜距量應(yīng)滿(mǎn)足的約束條件,給出了空間目標(biāo)斜距變化量與觀測(cè)時(shí)間間隔之間應(yīng)滿(mǎn)足的解析形式的非線性方程組。利用該方程組作為非偽解的判別方程,對(duì)多個(gè)非偽解進(jìn)行選擇。

2.1 半通徑計(jì)算方程

當(dāng)觀測(cè)時(shí)間間隔較小時(shí),可以認(rèn)為空間目標(biāo)三次地心位置矢量位于同一平面:

·(×)=

(9)

給定3個(gè)觀測(cè)時(shí)刻的空間目標(biāo)相對(duì)于觀測(cè)平臺(tái)的斜距量,由此可以利用觀測(cè)幾何構(gòu)型計(jì)算出觀測(cè)時(shí)刻的空間目標(biāo)地心位置矢量(,,),從而可以計(jì)算軌道的半通徑:

(10)

式中:符號(hào)±和?對(duì)應(yīng)于叉乘中兩個(gè)位置向量夾角正弦值的正負(fù)號(hào);符號(hào)×表示向量叉乘。本文考慮的是觀測(cè)時(shí)間間隔較小的情況,和,和,和之間的夾角都小于π,因此式(10)可以化簡(jiǎn)為

(11)

現(xiàn)在考慮由第1、第3個(gè)觀測(cè)時(shí)刻的空間目標(biāo)地心位置矢量(,;,)求解半通徑的問(wèn)題。由Kepler定律,兩個(gè)位置矢量可以構(gòu)成一個(gè)三角形和一個(gè)扇形,如圖3所示。圖中第一、第三觀測(cè)時(shí)刻的空間目標(biāo)所在位置分別為點(diǎn)與點(diǎn)，真近點(diǎn)角分別為與。兩時(shí)刻的目標(biāo)位置矢量和線段可以組成一個(gè)扇形面積為，而與線段可以組成一個(gè)三角形面積為。

圖3 地心位置矢量組成的三角形和扇形Fig.3 Triangle and sector composed of geocentric position vectors

引入輔助變量表示扇形面積和三角形面積的比值:

(12)

當(dāng)計(jì)算出面積比后,可以較為方便地求出半通徑。為了求解引入下式:

(13)

-=

(14)

式中:

將式(13)代入式(14):

=1+(+)

(15)

針對(duì)橢圓軌道,函數(shù)表示為

(16)

(17)

式中:d=-,和為第1、第3觀測(cè)時(shí)刻目標(biāo)的偏近點(diǎn)角。

式(13)和式(14)需要迭代求解,Escobal于1976年提出了一種計(jì)算方法。當(dāng)?shù)匦奈恢檬噶?，)已知時(shí),可計(jì)算得到參數(shù)和。首次循環(huán)中,令=1,依次求出參數(shù)和函數(shù)的值,由此更新的值。重復(fù)上述過(guò)程直到達(dá)到預(yù)定精度。對(duì)于較短弧段,即兩時(shí)刻地心位置矢量(,)的夾角較小時(shí),具有很快的收斂速度。但當(dāng)夾角較大或夾角等于π時(shí),則無(wú)法計(jì)算面積比。

2.2 Shefer方程

為了避免計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)奇點(diǎn),Shefer將式(13)改寫(xiě)為

(18)

式中:

位置矢量和重合會(huì)導(dǎo)致參數(shù)等于0,但該情況在實(shí)際觀測(cè)時(shí)是幾乎不會(huì)發(fā)生的。因此,忽略=0的情況,聯(lián)立式(13)和式(14),新方程被稱(chēng)為Shefer方程:

()()=

(19)

式中:

()=+()()

(20)

(21)

針對(duì)橢圓軌道,函數(shù)可表示為

(22)

2.3 斜距約束與非偽解判別方法

定義3個(gè)觀測(cè)時(shí)間間隔=-和=-,考慮時(shí)間間隔內(nèi)空間目標(biāo)位置矢量的變化與時(shí)間間隔之間的關(guān)系。將斜距(,)代入式(19),可得斜距量需要滿(mǎn)足的約束條件:

(23)

式中:

由式(1)和式(11)可得函數(shù)和分別為

(24)

針對(duì)橢圓軌道,函數(shù)()可以使用Lerch方程形式表示:

(25)

式中:

式(23)是空間目標(biāo)斜距需要滿(mǎn)足的約束方程。初軌確定過(guò)程中,若得到了多個(gè)非偽解,需進(jìn)一步計(jì)算得到每個(gè)非偽解對(duì)應(yīng)的第1、第3觀測(cè)時(shí)刻的斜距(,),并代入約束方程式(23)中。若使得約束方程和接近于0,即約束方程在(,)附近存在交點(diǎn),則該解為真解。否則，該解可當(dāng)作錯(cuò)解舍棄。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 近地天體光學(xué)仿真觀測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

使用阿波菲斯小行星的三次光學(xué)觀測(cè)的仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證,仿真弧段長(zhǎng)度為20天。觀測(cè)時(shí)刻使用簡(jiǎn)約儒略日(modified julian date, MJD)表示。地球在J2000日心天球坐標(biāo)系中的位置矢量由DE421星歷得到。地球的日心位置矢量單位為天文單位AU(1AU=1.496×10km)。角度測(cè)量值位于J2000地心天球坐標(biāo)系下。日心、地球和小行星三者的相對(duì)位置幾何構(gòu)型如圖4所示。地球位置矢量和光學(xué)仿真觀測(cè)數(shù)據(jù)如表1所示。

圖4 太陽(yáng)、地球與阿波菲斯小行星的相對(duì)幾何構(gòu)型Fig.4 Geometrical configuration of Sun, Earth and Apophis

表1 阿波菲斯小行星光學(xué)仿真觀測(cè)數(shù)據(jù)Table 1 Apophis optical simulation observation data

使用表1的數(shù)據(jù)構(gòu)建Laplace形式的八次方程:

()=-2007 872 21+1241 891 36-0249 875 22

利用Aberth法求解該方程,此時(shí)得到的8個(gè)根分別為1112 631 01、0956 244 08、0705 489 55、-1538 699 52、-0198 278 99+0672 112 24i、-0.198 278 99-0.672 112 24i、-0.419 553 57+0.514 357 67i、-0.419 553 57-0.514 357 67i。

從系數(shù)和根的個(gè)數(shù)來(lái)看,系數(shù)和是負(fù)數(shù),系數(shù)為正數(shù),而此時(shí)具有3個(gè)正實(shí)根,1個(gè)負(fù)實(shí)根和4個(gè)虛根,該情況符合第12節(jié)中對(duì)解的性質(zhì)的描述。

為了去除平凡解,使用第2個(gè)觀測(cè)時(shí)刻地球的日心距進(jìn)行歸一化,得到七次方程:

求解方程,得到7個(gè)根分別為0696 823 31、1092 238 11、-1539 539 33、-0416 905 71+0515 330 21i、-0.416 905 71-0.515 330 21i、-0.201 046 69+0.672 035 89i、-0.201 046 69-0.672 035 89i。

可以得到兩個(gè)正實(shí)根,這兩個(gè)根對(duì)應(yīng)的3個(gè)觀測(cè)時(shí)刻斜距如表2所示。

表2 正實(shí)根對(duì)應(yīng)的斜距Table 2 Slant-ranges corresponding to the positive real roots AU

由此可知,雖然通過(guò)求解七次方程可獲得2個(gè)正實(shí)根,但是其中1個(gè)根所對(duì)應(yīng)的斜距量為負(fù)值,因此只存在1個(gè)非偽解,不需要進(jìn)行判別。而此時(shí)小行星位于區(qū)域,由相對(duì)位置關(guān)系可以判斷出僅存在1個(gè)非偽解,二者的判斷是一致的?？梢灾苯佑?jì)算出阿波菲斯小行星的Kepler軌道根數(shù)分別為=0923 022 94,=0190 446 69,=3321 212 1°,=204214 89°,=126611 01°,=172473 75°。其中,、、、、、分別為軌道半長(zhǎng)軸、偏心率、軌道傾角、近地點(diǎn)俯角、升交點(diǎn)赤經(jīng)和平近點(diǎn)角。

3.2 天基光學(xué)仿真觀測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

假設(shè)MJD=59 410166 667時(shí)刻下觀測(cè)平臺(tái)的軌道根數(shù)分別為=6 73814 km、=0001 48、=185°、=0°、=340°、=20°,空間目標(biāo)的軌道根數(shù)分別為=7 17314 km、=0000 74、=943°、=340°、=630°、=10°。此時(shí),地心、觀測(cè)平臺(tái)和空間目標(biāo)歸一化后的相對(duì)幾何構(gòu)型如圖5所示。得到的3個(gè)觀測(cè)時(shí)刻的角度測(cè)量值和觀測(cè)平臺(tái)的地心位置矢量如表3所示。角度測(cè)量值和地心位置矢量都位于J2000地心天球坐標(biāo)系中。

圖5 地心、觀測(cè)平臺(tái)與空間目標(biāo)的相對(duì)幾何構(gòu)型Fig.5 Geometrical configuration of Geocentric, observation platform and space object

表3 低軌天基目標(biāo)光學(xué)仿真觀測(cè)數(shù)據(jù)Table 3 Low Earthorbit object space-based optical simulation observation data

使用表3中的角度測(cè)量值與觀測(cè)平臺(tái)地心位置矢量(觀測(cè)平臺(tái)位置矢量轉(zhuǎn)化為以地球半徑=6 378.14 km為單位),按照式(6)構(gòu)建Laplace形式的八次方程:

()=-13887 443+32004 384-20001 826=0

求解該方程,得到8個(gè)根為1058 812 10、1122 895 25、3637 456 07、-3804 624 64、-0599 388 75+0829 975 73i、-0.599 388 75-0.829 975 73i、-0.407 880 64+0.996 718 08i、-0.407 880 64-0.996 718 08i。

從系數(shù)和解的個(gè)數(shù)來(lái)看,系數(shù)和是負(fù)數(shù),系數(shù)為正數(shù),而此時(shí)具有3個(gè)正實(shí)根,1個(gè)負(fù)實(shí)根和4個(gè)虛根,該情況同樣符合第12節(jié)中對(duì)解的性質(zhì)的描述。為了去除平凡解,使用測(cè)站平臺(tái)的地心距離=6 74812 km對(duì)表1中觀測(cè)平臺(tái)的位置矢量進(jìn)行歸一化,構(gòu)建七次方程:

求解該方程,得到7個(gè)根分別為1190 192 67、3634 720 84、-3806 610 26、-0574 040 97+0836 886 67i、-0.574 040 97-0.836 886 67i、-0.435 110 65+0.995 007 52i、-0.435 110 65-0.995 007 52i。

可以發(fā)現(xiàn)得到了2個(gè)正實(shí)根,這2個(gè)根都是使得斜距有意義的非偽解,需要進(jìn)行判別。而此時(shí)空間目標(biāo)位于區(qū)域，也可以判斷出存在2個(gè)非偽解需要判別,二者對(duì)非偽解個(gè)數(shù)的判斷是一致的。分別求解出2個(gè)非偽解對(duì)應(yīng)3個(gè)觀測(cè)時(shí)刻的目標(biāo)斜距,如表4所示,表中斜距單位是。

表4 非偽解對(duì)應(yīng)的斜距Table 4 Slant-ranges corresponding to the non-pseudo solutions

將非偽解對(duì)應(yīng)的第1和第3個(gè)觀測(cè)時(shí)刻斜距代入約束方程，可以發(fā)現(xiàn)非偽解1得到的方程與的值分別為0007 445 23和0005 868 73。而非偽解2得到的方程與的值分別為1634 331 25和1653 806 37。相比之下,解2對(duì)應(yīng)的斜距附近不存在方程=0與=0的交點(diǎn),而解1對(duì)應(yīng)的斜距更接近方程的交點(diǎn),因此可以判定解1為八次方程的真解。

為了更直觀地分析非偽解的選擇問(wèn)題,將表3中的測(cè)量數(shù)據(jù)代入判別方程中,繪制出(,)=0和(,)=0隨和的變化曲線,如圖6和圖7所示。虛線表示(,)=0的曲線,實(shí)線表示(,)=0的曲線。圖6為斜距范圍在5倍地球半徑范圍內(nèi)(,)∈[0,5]約束方程交點(diǎn)和Laplace形式非偽解對(duì)應(yīng)點(diǎn)。圖7為圖6在斜距范圍在1倍地球半徑范圍內(nèi)(,)∈[0,1]的放大情況。圖中點(diǎn)1和點(diǎn)2分別為非偽解1、非偽解2對(duì)應(yīng)的斜距值的點(diǎn)。交點(diǎn)3,4,5為判別方程中兩個(gè)方程的交點(diǎn)。

圖6 5倍地球半徑范圍內(nèi)約束方程的交點(diǎn)與Laplace形式非偽解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Fig.6 Intersection points of constraint equations under five times Earth radius and the non-spurious solutions of Laplace form

圖7 1倍地球半徑范圍內(nèi)約束方程的交點(diǎn)與Laplace形式非偽解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Fig.7 Intersection points of constraint equations under Earth radius and the non-spurious solutions of Laplace form

由圖6與圖7可知,在5倍地球半徑范圍內(nèi),約束方程共有3個(gè)交點(diǎn)。Laplace形式的非偽解2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)2附近不存在交點(diǎn),而非偽解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)1位于約束方程的交點(diǎn)3附近,由此可以認(rèn)為非偽解1滿(mǎn)足本文提出的約束方程。通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算,得到非偽解1對(duì)應(yīng)的目標(biāo)Kepler軌道根數(shù)分別為=7 172698 km,=0000 795,=94299 305°,=62999 681°,=32456 546°,=154469 389°。

定軌結(jié)果與所選空間目標(biāo)的標(biāo)稱(chēng)軌道根數(shù)較為符合,表明本文提出的多個(gè)非偽解判別方法的正確性。

4 結(jié)束語(yǔ)

八次方程的求解是近地天體和空間目標(biāo)初軌確定的一個(gè)基本問(wèn)題,本文從方程的性質(zhì)、解和觀測(cè)構(gòu)型的關(guān)系進(jìn)行了解析,從數(shù)學(xué)上解釋了真解、非偽解、平凡解存在的本因,同時(shí)提出了真解的選擇方法。其中,非偽解選擇問(wèn)題是利用Laplace法和Gauss法進(jìn)行初軌確定需要解決的一大問(wèn)題。

首先分析了初軌確定過(guò)程中,八次方程的系數(shù)和根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。利用觀測(cè)平臺(tái)的地心距離進(jìn)行歸一化,解決了平凡解問(wèn)題。分析了非偽解的個(gè)數(shù)問(wèn)題,證明了非偽解的個(gè)數(shù)只取決于地心、觀測(cè)平臺(tái)和空間目標(biāo)的相對(duì)位置。隨后從求解軌道半通徑的方程出發(fā),引入了Shefer改進(jìn)方程,推導(dǎo)出了觀測(cè)時(shí)刻斜距應(yīng)滿(mǎn)足的約束條件,得到了觀測(cè)時(shí)間間隔和斜距之間應(yīng)滿(mǎn)足的非線性方程組的解析形式。利用該方程組,給出了非偽解的判別方法。最后分別利用近地天體和天基光學(xué)的短弧段觀測(cè)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證,驗(yàn)證了本文提出的非偽解個(gè)數(shù)的確定方法與非偽解的判別方法是正確的和有效的。

本文提出的非偽解判別方法以及建立的初軌確定方法與觀測(cè)數(shù)據(jù)組數(shù)無(wú)關(guān),同樣適用于多資料的光學(xué)初軌確定情況。下一步工作中,將針對(duì)多組觀測(cè)資料的情況,考慮更豐富的觀測(cè)資料統(tǒng)計(jì)信息,形成工程實(shí)用的初軌確定方法。