借力使力 巧解難題

王桂華 李樹祥

同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的訓(xùn)練中時(shí)常會(huì)遇到一些感覺無從下手的題目，這些難題如何解決呢？這就需要善用科學(xué)思維，通過知識(shí)遷移，借用相關(guān)知識(shí)，從而達(dá)到借力使力，順利求解的目的?，F(xiàn)以幾道簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)題目為例分析如下。

一、借助列表法

在實(shí)驗(yàn)問題中，處理數(shù)據(jù)的一種重要方法就是列表法，即先根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列表，再根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出相應(yīng)的結(jié)論。若簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)題目中也給出了一部分?jǐn)?shù)據(jù)，但無法利用這些數(shù)據(jù)根據(jù)公式列方程求解時(shí)，則可以借助于列表法。

例1如圖1所示，某同學(xué)看到一只鳥落在樹枝上P處，樹枝在10s內(nèi)上下振動(dòng)了6次。鳥飛走后，他把50 g的砝碼掛在P處，發(fā)現(xiàn)樹枝在10s內(nèi)上下振動(dòng)了12次。他把50 g的礎(chǔ)碼換成500 g的砝碼后，發(fā)現(xiàn)樹枝在15s內(nèi)上下振動(dòng)了6次。根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計(jì)鳥的質(zhì)量最接近（）。

A.50 g B.200 g

C.500 g D.550 g

分析：本題中給出了一系列數(shù)據(jù)，絕大多數(shù)同學(xué)會(huì)試圖利用這些數(shù)據(jù)通過計(jì)算作答，但涉及的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期公式T=2屬于中學(xué)物理的學(xué)習(xí)范圍，導(dǎo)致很多同學(xué)無法正確求解。如果我們借用列表法來處理此題，那么就可以順利求解了。

解：根據(jù)題述數(shù)據(jù)列表如表1所示，猜想小鳥的質(zhì)量與樹枝的振動(dòng)情況有關(guān)，然后在相同時(shí)間內(nèi)去比較振動(dòng)次數(shù)與質(zhì)量的關(guān)系，或者在相同的振動(dòng)次數(shù)下去比較時(shí)間和質(zhì)量的關(guān)系。因?yàn)楸碇械?、2兩行的時(shí)間相同，所以可以將第3行的時(shí)間也轉(zhuǎn)換為“10”，即將15s振動(dòng)6次轉(zhuǎn)換為10s振動(dòng)4次。觀察在相同時(shí)間內(nèi)振動(dòng)次數(shù)與質(zhì)量的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)，振動(dòng)次數(shù)越多，相應(yīng)的質(zhì)量越小，而振動(dòng)次數(shù)“6”介于4與12之間，故其對(duì)應(yīng)的質(zhì)量“X”應(yīng)介于50與500之間。

答案：B

二、借助模型

“物理模型”是為了便于研究物理問題，而采取舍棄個(gè)別的非本質(zhì)因素突出主要的本質(zhì)因素，通過抽象思維或形象思維，運(yùn)用理想化、簡(jiǎn)單化和類比等方法，建立的描述某一物體本質(zhì)或某一物理過程的理想模型。在某些物理問題的求解過程中，若不能直接套用公式求解，則可以考慮先將具體問題抽象成理想模型，再運(yùn)用模型遵循的物理規(guī)律求解相關(guān)問題。

例2如圖2所示，AEC是一段半徑為2m的光滑圓弧，且和水平面AB相切于A點(diǎn)，圓弧AEC的弧長為8 cm。設(shè)一可視為質(zhì)點(diǎn)的物體從C點(diǎn)分別沿光滑斜面CDA和弧面CEA滑至A點(diǎn)所用的時(shí)間為tu、t2，從圓弧CEA中點(diǎn)E沿光滑斜面EA和圓弧面EA滑至A點(diǎn)所用的時(shí)間為t3、t。請(qǐng)比較t、tz、ts、t，的大小關(guān)系。

分析：物體沿圓弧運(yùn)動(dòng)時(shí)，做的并不是勻速圓周運(yùn)動(dòng);物體沿斜面運(yùn)動(dòng)時(shí)，斜面傾角未知，則加速度無法求解。如果將圓弧AEC所在的整個(gè)圓畫出來，其示意圖如圖3所示，那么就構(gòu)成了等時(shí)圓模型。根據(jù)等時(shí)圓模型規(guī)律可知，物體從C點(diǎn)沿斜面CDA滑至A點(diǎn)和從E點(diǎn)沿斜面EA滑至A點(diǎn)所用的時(shí)間相等。當(dāng)物體沿弧面運(yùn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)閳A的半徑遠(yuǎn)大于圓弧長度（此圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角約為2.3°<5°），所以物體沿圓弧面的運(yùn)動(dòng)和單擺類似，都是由重力的分力提供回復(fù)力，也就可以把這種運(yùn)動(dòng)看成一個(gè)類單擺模型，擺長相當(dāng)于物體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，物體運(yùn)動(dòng)的周期與振幅無關(guān)

解：設(shè)斜面CDA的傾角為0，當(dāng)物體沿斜面CDA運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得2Rsin θ=gt，sin θ（R為圓弧半徑），解得s=0.894 s。根據(jù)等時(shí)圓模型規(guī)律得t=t，。當(dāng)物體沿圓弧面CEA和EA運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)單擺周期公式得。因此ti、tz、ts、t的大小關(guān)系為t=ts>t2=to

三、借助圖像

根據(jù)題意把抽象復(fù)雜的物理過程有針對(duì)性地表示成物理圖像，將物理量間的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀侮P(guān)系，運(yùn)用圖像直觀、形象、簡(jiǎn)明的特點(diǎn)，分析求解物理問題的方法稱為圖像法。當(dāng)遇到一些難于利用物理公式列方程求解的物理問題時(shí)，就可以考慮運(yùn)用圖像法求解。在運(yùn)用圖像法解題的過程中，需要明確圖像所表達(dá)的物理意義，抓住圖像的斜率、截距、交點(diǎn)、面積等關(guān)鍵信息。

例3如圖4所示，甲、乙兩物體同時(shí)經(jīng)過空中同一水平面上的O，、02兩點(diǎn)時(shí)的速度相同，甲物體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，乙物體是沿豎直方向振動(dòng)的彈簧振子，O2是其平衡位置，兩物體從O，、O，兩點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的高度相同，則兩物體誰先到達(dá)最高點(diǎn)？

分析：在高中物理教材中沒有彈簧振子的周期公式，且題給已知量也很少，如何求解時(shí)間呢？因?yàn)榧住⒁覂晌矬w上升的高度相同，初速度相同，所以可以借助u—t圖像處理

解：甲物體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，加速度不變，乙物體從平衡位置開始向上做加速度增加的減速運(yùn)動(dòng)，兩物體運(yùn)動(dòng)的u—t圖像如圖5所示，觀察圖像可以發(fā)現(xiàn)，乙物體先到達(dá)最高點(diǎn)。

四、借助隔離與整體法

選擇研究對(duì)象是解決物理問題的首要環(huán)節(jié)。研究對(duì)象選擇的合理可以使問題得以簡(jiǎn)化，反之，會(huì)使問題復(fù)雜化，甚至無法得以解決。隔離法是指將研究對(duì)象從其周圍的環(huán)境中隔離出來單獨(dú)進(jìn)行研究，這個(gè)被隔離的研究對(duì)象可以是一個(gè)物體，也可以是物體的一個(gè)部分，廣義的隔離法還包括將一個(gè)物理過程從其全過程中隔離出來;整體法是指將幾個(gè)物體看成一個(gè)整體，或?qū)⒖瓷先ゾ哂忻黠@不同性質(zhì)和特點(diǎn)的幾個(gè)物理過程看成一個(gè)整體過程來處理。隔離法和整體法看上去是相互對(duì)立的，實(shí)則在本質(zhì)上是統(tǒng)一的。隔離與整體法廣泛地應(yīng)用在受力分析、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律等問題中。

例4如圖6所示，一個(gè)質(zhì)量為m的木塊放在質(zhì)量為M的平板小車上，它們之間的最大靜摩擦力是fmax，在勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧作用下，二者沿光滑水平面做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，為使小車能隨木塊一起振動(dòng)，二者不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅不能大于（）。

A.? B.? C.? D.

分析：高中物理教材中的彈簧振子是彈簧和一個(gè)小球相連，本題中是彈簧連接質(zhì)量為m的木塊，木塊又放置在小車上，因此需要借助隔離與整體法進(jìn)行分析。

解：以小車為研究對(duì)象，在水平方向上只受摩擦力作用，故其加速度aM。小車與木塊不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，由小車和木塊組成的整體的加速度a=aM。以由小車和木塊組成的整體為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律得，解得。

答案： A

五、借助題目所給課本外的知識(shí)

當(dāng)遇到一些新材料、新情景和新設(shè)問的物理問題時(shí)，必須尋找到設(shè)問與題目所給材料中的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，利用材料中所給知識(shí)結(jié)合所學(xué)關(guān)聯(lián)知識(shí)進(jìn)行分析與求解。

例5簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有如下特點(diǎn)：

①做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體受到回復(fù)力的作用，回復(fù)力Fa的大小與物體偏離平衡位置的位移x成正比，回復(fù)力的方向與物體偏離平衡位置的位移方向相反，即F=—kx，其中k為振動(dòng)系數(shù)，其值由振動(dòng)系統(tǒng)決定。

②簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種周期性運(yùn)動(dòng)，其周期與振動(dòng)物體的質(zhì)量的平方根成正比，與振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)系數(shù)的平方根成反比，而與振幅無關(guān)，即T=2m

（1）如圖7所示，擺長為L，擺球質(zhì)量為m的單擺在A、B兩點(diǎn)之間做小角度的自由擺動(dòng)，當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間。

a.當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，擺角為0，寫出此時(shí)擺球受到的回復(fù)力F的大小。

b.請(qǐng)結(jié)合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，證明單擺在做小角度擺動(dòng)時(shí)周期。

（提示：用弧度制表示角度，當(dāng)0角很小時(shí)，sin θ=0，0角對(duì)應(yīng)的弧長與它所對(duì)的弦長也近似相等）

（2）類比法、等效法等都是研究和學(xué)習(xí)物理過程中常用的重要方法。長度為L的輕質(zhì)絕緣細(xì)線下端系著一個(gè)帶電荷量為十q，質(zhì)量為m的小球。將該裝置放在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E中，如圖8所示;將細(xì)線上端懸點(diǎn)處固定另一個(gè)帶正電的小球，如圖9所示。帶電小球在8、9兩圖中均做小角度的簡(jiǎn)諧運(yùn)。動(dòng)。請(qǐng)分析求出帶電小球在8、9兩圖中振動(dòng)的周期。

分析：題目給出了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式，這是高中物理教材中沒有的，要想順利求解本題就需要借助這個(gè)公式分析研究。

解：（1）a.因?yàn)閱螖[擺球所受重力指向平衡位置方向的分力提供回復(fù)力，所以F=mgsin 9。

b.根據(jù)F=mgsin θ，當(dāng)0很小時(shí)，sin θ=0，0等于0角對(duì)應(yīng)的弧長與半徑的比值，0角對(duì)應(yīng)的弧長近似等于它所對(duì)的弦長（擺球偏離平衡位置的位移x），得F回mg，即振動(dòng)系數(shù)k=T，將k代入簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期公式T=2m，得單擺在做小角度擺動(dòng)時(shí)的周期T=2m

（2）圖8中，擺球受到重力G、靜電力F電和擺線拉力F作用，與重力場(chǎng)中的單擺類比，等效重力G'=G+F電，等效重力加速度g'=g+，將g'代入單擺周期公式T=

圖9中，擺球受到重力G、庫侖力F庫和擺線拉力F作用，與重力場(chǎng)中的單擺類比，兩帶電小球之間的庫侖力始終沿?cái)[線方向，不產(chǎn)生回復(fù)力的效果，則單擺周期與重力場(chǎng)中的相同，即T=2m

六、借助簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)分析非簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)問題

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是指物體在與位移大小成正比，與位移方向相反的回復(fù)力作用下的振動(dòng)?；貜?fù)力F跟位移x的關(guān)系可以表示為F=—kx。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中各個(gè)物理量都是在不斷變化的，在遠(yuǎn)離平衡位置的過程中，因?yàn)镕=-kx =ma，x增大，F(xiàn)增大，a增大，而a與0反向，所以速率v減小，動(dòng)量和動(dòng)能也減小;在靠近平衡位置的過程中，因?yàn)镕=—kx=ma，x減小，F(xiàn)減小，a減小，但a與v同向，所以v增大，動(dòng)量和動(dòng)能也增大。

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有周期性和對(duì)稱性。周期性是指振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過周期的整數(shù)倍時(shí)間時(shí)，其位移、速度、加速度等物理量將恢復(fù)到初始值;對(duì)稱性是指振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在關(guān)于平衡位置對(duì)稱的兩位置具有相等的速率，等大反向的位移、加速度和回復(fù)力，振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)往返經(jīng)過同一位置時(shí)的速率相等，通過振動(dòng)過程中任意兩點(diǎn)A、B的時(shí)間與逆向通過B、A兩點(diǎn)的時(shí)間相等，通過關(guān)于平衡位置對(duì)稱的兩段位移所用的時(shí)間相等。

利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的上述特點(diǎn)有時(shí)可以解決些整體過程并不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的問題。

例6如圖10所示，—輕質(zhì)彈簧左端固定，右端系一小物塊，物塊與水平面之間的最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力都為f，彈簧無形變時(shí)，物塊位于O點(diǎn)。每次把物塊拉到0點(diǎn)右側(cè)不同位置由靜止釋放，釋放時(shí)彈簧彈力F大于f，物塊沿水平面滑動(dòng)一段路程直到停止，下列說法中正確的是（）。

A.釋放物塊時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能等于物塊在整個(gè)滑動(dòng)過程中克服摩擦力做的功

B.從不同位置釋放物塊，物塊速度達(dá)到最大的位置保持不變

C.物塊能夠返回到0點(diǎn)右側(cè)的臨界條件為F>3f

D.物塊能夠返回到0點(diǎn)右側(cè)的臨界條件為F>4f

分析：彈簧振子在不受摩擦力作用時(shí)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，這是同學(xué)們熟悉的。然而，當(dāng)振子做阻尼振動(dòng)時(shí)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)就不再呈現(xiàn)完美的對(duì)稱性，在整個(gè)過程中機(jī)械能不斷減少，振幅會(huì)越來越小，最終停止，這樣全過程中振子不再做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。遇到這樣的問題多數(shù)同學(xué)們會(huì)因?yàn)闊o法在腦海中形成正確的運(yùn)動(dòng)圖景而找不到切入點(diǎn)。實(shí)際上，當(dāng)彈簧振子沿單方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，即使受到彈簧彈力之外的恒力作用，仍然可將它的運(yùn)動(dòng)視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，依舊可以利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性求解相關(guān)問題

解：因?yàn)橛心Σ磷枇Φ拇嬖?，物塊最終停下來的位置不一定在平衡位置O，所以最終彈簧可能依然存在彈性勢(shì)能，這樣釋放物塊時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能就可能只有部分用來克服摩擦力做功，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。彈簧彈力與摩擦力平衡的位置為物塊速度最大的位置，根據(jù)f=—F=kx可知，摩擦力f不變，物塊速度達(dá)到最大的位置也保持不變，選項(xiàng)B正確。設(shè)物塊在最左端受到的彈簧彈力為F'，物塊向左運(yùn)動(dòng)的過程可視為一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，物塊向右運(yùn)動(dòng)的過程同樣也可視為另一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，在最大位移處物塊受到的回復(fù)力大小相等，物塊第一次從最右端運(yùn)動(dòng)到最左端的過程中有F—f=F'+f，再恰好向右運(yùn)動(dòng)到0點(diǎn)時(shí)有F'-f=f， 解得F=4f。因此物塊能返回到0點(diǎn)右側(cè)的臨界條件為F>4f，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。

答案： BD

總結(jié)：借力使力時(shí)必須要牢牢掌握問題本身涉及的知識(shí)點(diǎn)，例如，求解涉及簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的問題時(shí)，要熟練掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、位移、周期、頻率等物理量的含義和單擺的周期公式，以及運(yùn)動(dòng)過程中各量的變化情況，要正確理解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性、周期性和適用條件等。當(dāng)然，求解物理問題可以借用的方法還有很多，上述方法只是拋磚引玉，同學(xué)們需要在平時(shí)的訓(xùn)練中總結(jié)出適合自己的更多方法。

（責(zé)任編輯張巧）