基于Weil和的一類線性碼的研究

盧虹楊淑娣張同慧

(曲阜師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 濟寧 273165)

線性碼是一類重要的糾錯碼,在密碼學(xué)上有廣泛的應(yīng)用,尤其是較小重量的線性碼.由于線性碼的重量分布不僅可以確定其最小距離,反映其檢錯和糾錯能力,而且包含了碼的檢錯和糾錯失誤率的重要信息,因此研究較少重量線性碼的重量分布具有重要的意義.

丁存生等[1]提出了線性碼的一般構(gòu)造方法,其表示如下:定義Fq是具有q個元素的有限域,其中q=pm,p是一個奇素數(shù),m為正整數(shù),Tr為Fq到Fp的跡函數(shù).設(shè)集合D={d1,d2,…,dn}?Fq,構(gòu)造線性碼CD={c(a)=(Tr(ad1),Tr(ad2),…,Tr(ad1)):a∈Fq},集合D稱為碼CD的定義集.此后,國內(nèi)外學(xué)者利用此方法構(gòu)造了許多類較少重量的線性碼[2-5].

簡高鵬等[2]選擇定義集D={(x,y)∈Fq2{(0,0)}:Tr(x+ypu+1)=0},其中u為正整數(shù),定義了p元線性碼

對于α,β∈Fq,擴展定義集

1 預(yù)備知識

1.1 Gauss和

1.2 Weil和

1.3 Pless 冪恒等式

2 主要結(jié)果

主要給出線性碼的參數(shù)和重量分布,其證明將在第3部分給出.

定理1 若α≠0,β=0,由式(1)和式(2)定義的碼CD是參數(shù)為[p2m-1,2m,(p-1)p2m-2]的二重線性碼,其重量分布如表1所示.

表1 定理1中碼C D 的重量分布Tab.1 Weight distribution of the linear code in theorem 1

定理2 若α≠0,β≠0,當(dāng)m/d為奇數(shù)且d為奇數(shù)時,碼CD是參數(shù)為[p2m-1,2m,(p-1)p2m-2-p(3m-3)/2]的三重線性碼,其重量分布如表2所示.

表2 定理2中碼C D 的重量分布Tab.2 Weight distribution of the linear code in theorem 2

表3 定理3中碼C D 的重量分布Tab.3 Weight distribution of the linear code defined in theorem 3

表4 定理4中碼C D 的重量分布Tab.4 Weight distribution of the linear code in theorem 4

表5 定理5中碼C D 的重量分布Tab.5 Weight distribution of the linear code in theorem 5

定理6 若α=0,β≠0,當(dāng)m/d為奇數(shù)且d為奇數(shù)時,碼CD是參數(shù)為[p2m-1+pm-1G(η)G(ηp)η(-β),2m]的三重線性碼,其重量分布如表6所示.

表6 定理6中碼CD 的重量分布Tab.6 Weight distribution of the linear code in theorem 6

定理7 若α=0,β≠0,當(dāng)m/d為奇數(shù)且d為偶數(shù)時,碼CD是參數(shù)為[p2m-1-pm-1G(η)η(β),2m]的三重線性碼,其重量分布如表7所示.

表7 定理7中碼C D 的重量分布Tab.7 Weight distribution of the linear code in theorem 7

表8 定理8中碼C D 的重量分布Tab.8 Weight distribution of the linear code in theorem 8

定理9 若α=0,β≠0,當(dāng)m/d為偶數(shù)且β(q-1)/(pd+1)=(-1)s/d時,碼CD是參數(shù)為[p2m-1+(-1)s/dpm+s+d-1,2m]的三重線性碼,其重量分布如表9所示.

表9 定理9中碼C D 的重量分布Tab.9 Weight distribution of the linear code in theorem 9

通過一些實例驗證了結(jié)果的正確性,根據(jù)Griesmer界知,定理1中存在最優(yōu)碼,參數(shù)見表10.

表10 定理1中的最優(yōu)碼Tab.10 Optimal codes in theorem 1

3 主要結(jié)果的證明

4 結(jié)論

本文通過選取適當(dāng)?shù)亩x集,構(gòu)造了一類新的二重或三重線性碼,是對文獻[2]結(jié)果的進一步擴展,根據(jù)Griesmer界驗證了其中一些碼是最優(yōu)碼.