對一道二元方程條件下最值試題的探究

張志剛

(山東省寧陽縣復圣中學 271400)

1 試題呈現(xiàn)

本題是二元方程約束條件下的二元函數(shù)最值問題，試題設(shè)計簡潔清新，構(gòu)思別具匠心，解法靈動多變，飽含數(shù)學思想，凝聚命題專家的智慧.同時，試題涉及知識點較多，綜合性較強，呈現(xiàn)出一定的綜合性與選拔性，需要較高的邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).

2 初等解法

在高中階段，解決此類問題可從方程有解、函數(shù)最值(三角代換或?qū)?shù))、不等式(如基本不等式、柯西不等式等)等視角解答.其中，消參減元轉(zhuǎn)化是解題的基本原則，即把雙變量問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或方程問題，再輔以轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論、換元法、配方法等典型數(shù)學思想和方法，妙趣橫生.

2.1 利用基本不等式

解法1因為a>0,b>0，ab=1，

2.2 借助消參減元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問題

解法2因為a>0,b>0,所以a+b>0.

令f′(t)=0，得t=4.

當0

當t>4時，f′(t)>0，f(t)單調(diào)遞增，

所以當t=4時,f(t)取得極小值f(4)=4.

2.3 利用二次方程有實數(shù)解，判別式大于等于零

解法5因為a>0,b>0,所以a+b>0.

3 命制背景

本題命制的背景是拉格朗日乘數(shù)法求極值問題.其基本原理是：設(shè)給定二元函數(shù)z=f(x,y)和附加條件φ(x，y)=0，為尋找z=f(x,y)在附加條件下的極值點，先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，其中λ為參數(shù)，求L(x,y)對x，y的一階偏導數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即

由上述方程組解出x，y及λ，如此求得的點(x,y)即是函數(shù)z=f(x,y)在附加條件φ(x，y)=0下的可能極值點.若這樣的點只有一個，可確定此點即為所求的點.

其幾何意義是：設(shè)給定目標函數(shù)為f(x,y)，約束條件是φ(x，y)=0.如圖1示，曲線L為約束條件φ(x，y)=0，f(x,y)=C為目標函數(shù)的等值線族.在f(x,y)，φ(x,y)偏導數(shù)都連續(xù)的條件下，目標函數(shù)f(x,y)在約束條件φ(x，y)=0下的可能極值點M(x0,y0)必是目標函數(shù)等值線族中與約束條件曲線的切點.

圖1

拉格朗日乘數(shù)法的優(yōu)點有二：一是把目標函數(shù)和等式約束統(tǒng)一到一個拉格朗日函數(shù)中；二是將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題，即通過引入拉格朗日乘數(shù)將含有n個變量和k個約束條件的約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為含有n+k個變量的無約束優(yōu)化問題.另外，L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，其中φ(x，y)=0，求z=f(x,y)的極值點就是求L(x,y)的極值點，兩者的極值是等價的，且與λ無關(guān).

應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法本題解答如下：

由于a>0,b>0，且ab=1，令

4 變式研究

4.1 置換結(jié)論

解析利用基本不等式易求得變式1-4的答案分別是：5,5,17,17.

4.2 變更條件

4.3 交換條件結(jié)論

所以ab的最小值為1.

5 推廣探究

證明由于a1>0，a2>0，…，an>0，且a1a2a3·…·an=1，則

由已知條件及基本不等式,得

顯然，當n=2時，推廣3即特殊化為2020年高考天津卷第14題；當n=3時，推廣3即特殊化為推廣2.與上述推廣中的代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征類似，我們聯(lián)想到以下的不等式：

推廣3已知a>0，b>0，c>0，且abc=1，則

證明留給讀者完成.