復(fù)雜時(shí)間序列的多尺度分析1)

高劍波

(北京師范大學(xué)地理科學(xué)學(xué)部地理數(shù)據(jù)與應(yīng)用分析中心,北京 100875)

引言

20 世紀(jì)科學(xué)巨匠馮·諾伊曼臨謝世時(shí),對(duì)死亡后的人不再有思維,感到迷惑和恐懼.自2021 年8 月25 日吾師鄭哲敏先生逝世至今,我有時(shí)也有這樣的感覺(jué),因不能與先生電話或面談而得到先生對(duì)某件事的看法.但有時(shí)又覺(jué)得好像不全如此,因?yàn)橄壬乃季S方式至少部分傳下來(lái)了.在這篇紀(jì)念先生的文章里,我想在談學(xué)術(shù)研究前,先提一下先生對(duì)我個(gè)人的影響.這些影響基本決定了我在非線性領(lǐng)域和其他領(lǐng)域研究問(wèn)題的偏好.本文主要介紹先生和我在非線性領(lǐng)域的一些工作,及后來(lái)這些工作如何被拓展并演變成一些通用的非線性問(wèn)題的分析方法.這些方法已被廣泛用于自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)的諸多領(lǐng)域.它們特別適用于各領(lǐng)域(包括運(yùn)維)的故障診斷,生物醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)的分析,及不確定性的度量.大家要是覺(jué)得有些方法對(duì)研究有用,請(qǐng)隨時(shí)聯(lián)系我,索要相關(guān)程序和使用說(shuō)明.

1 教誨

1988 年,我從浙江大學(xué)工業(yè)自動(dòng)化專業(yè)畢業(yè).在浙大時(shí),跟數(shù)學(xué)老師周先意先生,學(xué)了不少數(shù)學(xué).周老師是陳建功和蘇步青先生的學(xué)生,是數(shù)學(xué)家王元的同班同學(xué).周老師在1958 年被發(fā)配到江西農(nóng)村.空余時(shí)間都在思考教數(shù)學(xué)時(shí)如何把分析、代數(shù)和幾何融合起來(lái).1978 年蘇步青先生將其調(diào)回浙大.由周老師教我們數(shù)學(xué),是我們的幸運(yùn).周老師對(duì)學(xué)生極好,跟我們聊天時(shí)經(jīng)常提到4 個(gè)他最得意的學(xué)生,曹銀和博士便是其中之一,其時(shí)他已在北京力學(xué)所,師從白以龍?jiān)菏?跟鄭先生也熟.來(lái)京前,我沒(méi)見過(guò)曹師兄,但經(jīng)常與其通信交流.

1987 年大三時(shí),在浙大電機(jī)系,我聽了一個(gè)外校教授關(guān)于混沌動(dòng)力學(xué)的報(bào)告,覺(jué)得這個(gè)領(lǐng)域太迷人了,因此跟曹師兄提及,并表示以后很想做這方面的研究.其時(shí)力學(xué)所正籌劃于次年6 月建立非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)開放實(shí)驗(yàn)室(LNM),并由鄭先生掛帥,所以曹師兄問(wèn)我是否愿意去力學(xué)所跟鄭先生讀研.我自然很激動(dòng).之后曹師兄又帶來(lái)一個(gè)好消息,說(shuō)鄭先生會(huì)幫我辦理保送手續(xù),這樣就不用擔(dān)心因沒(méi)學(xué)過(guò)力學(xué)而考不上(不像現(xiàn)在考研,當(dāng)時(shí)只考專業(yè)課),這些溝通發(fā)生在1987 年10 月.至11 月下旬,出了些問(wèn)題,曹師兄跟我說(shuō),鄭先生因太忙,忘了去給我申請(qǐng)免試讀研,而申請(qǐng)的截止期是11 月1 號(hào).所以師兄問(wèn)我,是否等一年再說(shuō).我想了想,說(shuō)還是考吧.考試在2 月初.我花了2 個(gè)月,學(xué)了4 門力學(xué)課,考上了力學(xué)所.

我在力學(xué)所待了6 年.第一年在玉泉路的研究生院,與先生幾乎沒(méi)有接觸.后5 年,幾乎隨時(shí)可以找先生聊.在LNM 剛開始時(shí),真正做非線性的年輕人就兩三位,包括何國(guó)威院士、趙力師兄和我.可惜,我因資質(zhì)有限,當(dāng)時(shí)學(xué)得很有限.下面我講五個(gè)方面.

第一點(diǎn)與情懷有關(guān).在追思先生時(shí),很多人提到先生說(shuō)過(guò)的一句話,“不要做錦上添花的事,要做雪中送炭的事”.這個(gè)情懷的精髓是堅(jiān)持不懈地努力,做出最好的工作.這包含兩個(gè)方面.一是對(duì)自己的要求.聽說(shuō)先生90 歲高齡時(shí)還自己推導(dǎo)公式.二是幫助學(xué)生和年輕人,做出最好的工作.記得2007 年,我寄給先生我的英文著作[1]后,先生很喜歡,隨即建議我寄一本給馮元禎先生.馮先生是生物醫(yī)學(xué)工程奠基人之一,生物力學(xué)之父,是鄭先生最好的朋友.馮先生當(dāng)時(shí)已是88 歲高齡.開會(huì)時(shí)經(jīng)常碰到加州大學(xué)的教授說(shuō),馮先生如此高齡,每年還會(huì)在PNAS 上發(fā)表高質(zhì)量的文章,太令人敬佩.在書寄給馮先生后,近一個(gè)月,沒(méi)收到任何回音,我忐忑不安,心里默念是不是自己書寫得不好或馮先生的專業(yè)與我相差較多.此時(shí),馮先生的親筆書信到了,信中特別強(qiáng)調(diào),他在每一頁(yè)都學(xué)到了一些新東西.我特別激動(dòng),告知了鄭先生信的內(nèi)容,先生也很高興.馮先生的鼓勵(lì)對(duì)我影響很大.馮先生在信中還建議我看看他的好友,美國(guó)工程院院士黃鍔(Norden Huang)關(guān)于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition,EMD)的工作[2].馮先生太有洞見了！他看出了我們數(shù)據(jù)分析的體系還缺類似于EMD 的一塊.所幸,當(dāng)時(shí)我們已經(jīng)發(fā)展了一個(gè)新方法.這在第4 節(jié)會(huì)講到.總的來(lái)說(shuō),馮先生的提醒,很大地促進(jìn)了我們發(fā)展自適應(yīng)去趨勢(shì)、去噪、多尺度分解和分形分析.

另一件事,好像是2010 年初秋,先生還在美國(guó)探訪兒子.我回國(guó)探親,回美時(shí),路過(guò)北京.遠(yuǎn)在美國(guó)的先生安排我去拜訪林家翹先生.因郭永懷先生和李佩先生是林先生的好友,鄭先生托李佩先生帶我去清華拜訪林先生.當(dāng)時(shí)林先生已是95 歲的高齡了.到了林先生的別墅,聊了一個(gè)多小時(shí),只聊一個(gè)主題,如何理解蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu).林先生最出名的工作是流體力學(xué)的流動(dòng)穩(wěn)定性和星系螺旋結(jié)構(gòu)的密度波理論,但關(guān)于此卻一字未提.不囿于自己熟悉的領(lǐng)域,隨著時(shí)代發(fā)展不斷拓展新的領(lǐng)域,這就是大師們的情懷.身處百年未遇之大變局時(shí)期,我們必須發(fā)揚(yáng)光大大師們的這種求真務(wù)實(shí)和開拓創(chuàng)新的精神.

第二點(diǎn)與心態(tài)有關(guān).2002 年8 月,我在佛羅里達(dá)大學(xué)當(dāng)助理教授,其時(shí)離開力學(xué)所和鄭先生已有8 年,自己首次帶研究生,我想,怎么教能好些呢？腦袋里突然冒出來(lái)一句先生跟我講過(guò)的話:100%的相信,同時(shí)又要120%的懷疑.先生的高明之處在于,不用另外解釋,我自然覺(jué)得這句話很有道理.在我指導(dǎo)學(xué)生時(shí),還展開解釋了,所以落了下乘:前半句,100%的相信,表示對(duì)所選的領(lǐng)域和問(wèn)題的重要性和前瞻性沒(méi)有任何懷疑,因此會(huì)全身心、充滿激情地投入到學(xué)習(xí)和研究中,只有這樣,才能將天賦真正變成才能,并發(fā)揮出來(lái).后半句,表示在所選的領(lǐng)域中,一些最基本的東西都可能有錯(cuò).說(shuō)的俗一些,就是不要被權(quán)威所束縛.其實(shí),樸實(shí)的心態(tài)應(yīng)該是,充分欣賞領(lǐng)域里那些漂亮的工作,但不該有誰(shuí)是權(quán)威、能否超越等想法,而應(yīng)該努力找到所選問(wèn)題的最佳解,并成為最好的專家之一.雖然我不如先生高明,但這個(gè)教學(xué)方法還是有效的,如我在佛羅里達(dá)大學(xué)的博士生胡靜,深得此法的精髓,對(duì)后面第3，4 節(jié)描述的方法,有很大的貢獻(xiàn).

第三點(diǎn)與思考有關(guān).先生與我聊天時(shí),強(qiáng)調(diào)最多的是,要自由思考.剛到力學(xué)所時(shí),有朋友勸我一定要多讀鄭先生出名的那些文章.但因我缺乏基礎(chǔ),同時(shí)當(dāng)時(shí)看不到那些工作與非線性科學(xué)的關(guān)系,且鄭先生也沒(méi)有要求我讀,所以在力學(xué)所的幾年,基本沒(méi)讀過(guò)鄭先生的文章.2014 年,在慶祝鄭先生90 歲生日的會(huì)議上,與我很熟的一位老教授,談慶明老師,跟我說(shuō),當(dāng)年我進(jìn)力學(xué)所時(shí),鄭先生特意囑咐他們,不要限制小高,讓他完全自由發(fā)展.談老師特別強(qiáng)調(diào),鄭先生這樣關(guān)照的,我是絕無(wú)僅有的一個(gè).聽談老師這么說(shuō),我很感動(dòng),也很慚愧.我想主要是我沒(méi)力學(xué)背景,所以鄭先生特別關(guān)照我.當(dāng)然,由此也可看出鄭先生對(duì)非線性科學(xué)的重視.可惜,1994 年出國(guó)后,有近10 年時(shí)間,我只斷斷續(xù)續(xù)地作為業(yè)余愛(ài)好者繼續(xù)做些非線性問(wèn)題的研究,所以成績(jī)很有限.

第四點(diǎn)是寬容.事情得從1989 年秋天我在LNM 做的報(bào)告說(shuō)起.鄭先生請(qǐng)了很多人來(lái)聽,包括北京大學(xué)的朱照宣先生.那是我做的第一個(gè)報(bào)告,講得自然很不好,很多人聽后有些不滿意.不過(guò),會(huì)上鄭先生沒(méi)有批評(píng)我,會(huì)后更沒(méi)約束我的思維.

后來(lái)我沒(méi)有轉(zhuǎn)行做量子計(jì)算,理由是,大尺度、宏觀的量子糾纏態(tài)幾十年內(nèi)是沒(méi)法實(shí)現(xiàn)的,因此不可能發(fā)展出能用于通用計(jì)算的量子計(jì)算機(jī).這個(gè)推理不一定嚴(yán)謹(jǐn),但決定是正確的,21 世紀(jì)量子計(jì)算、量子通信需要的是實(shí)驗(yàn)方面的俊才,但于此我不擅長(zhǎng).另外,1993 年,MIT 的Cuomo 和 Oppenheim[3-4]用Pecora 和 Carroll[5]發(fā)展的混沌同步開創(chuàng)了用混沌做安全通訊的新領(lǐng)域.在1998 年前后,美國(guó)海軍研究部的Pecora 博士組織了一個(gè)多學(xué)科大學(xué)研究計(jì)劃(Multidisciplinary University Research Initiative,MURI,類似 DARPA 的項(xiàng)目) 以推動(dòng)混沌安全通訊的軍用和民用的研究.參加項(xiàng)目的有加州大學(xué)圣地亞哥分校(UCSD)、加州大學(xué)洛杉磯分校(UCLA)和斯坦福大學(xué).其時(shí),我在UCLA 電子工程系跟隨Rubin 教授讀博.系里的兩位老師,Jia-Ming Liu 教授和Kung Yao 教授,參與了MURI 項(xiàng)目.姚教授做通訊,劉教授用半導(dǎo)體激光實(shí)現(xiàn)通訊.我對(duì)此很感興趣,參與了劉教授團(tuán)隊(duì)的工作,因此與幾位同學(xué),Steven Huang、Howard Chen、Shuo Tang 和 C.C.Chen 成了好朋友.前三位是劉教授的學(xué)生,最后一位是姚教授的學(xué)生.除了Shuo Tang 去英屬哥倫比亞大學(xué)當(dāng)教授,其他三位都去了臺(tái)灣當(dāng)教授.與他們討論時(shí),我告知C.C.Chen,混沌通訊的功耗應(yīng)該比Cuomo等[5]所說(shuō)的大,因Cuomo 等在模擬隨機(jī)微分方程時(shí),把隨機(jī)項(xiàng)處理錯(cuò)了(成正比,但Cuomo 等用dt代替了 dt—當(dāng) dt?1 時(shí),?dt,相當(dāng)于將實(shí)際噪聲縮小了幾個(gè)數(shù)量級(jí),因而得出功耗小的結(jié)論).C.C.Chen 和姚教授發(fā)現(xiàn)我是對(duì)的,因而證明,混沌通訊也許能用于軍用,但在民用領(lǐng)域,價(jià)值很有限[6-7].之后,這方面研究的熱度在美國(guó)大降,但在香港和歐洲仍持續(xù)了很久.

第五點(diǎn)一定要重視科學(xué)實(shí)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析,盡量從重大的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中,抽象出具有根本科學(xué)意義的問(wèn)題,然后同時(shí)解決現(xiàn)實(shí)和科學(xué)問(wèn)題.我想這是從普朗特傳至馮·卡門、馮·卡門傳至錢學(xué)森、再由錢學(xué)森傳至鄭哲敏的技術(shù)科學(xué)的精髓.

2 混沌時(shí)間序列分析

為了不讓我成為無(wú)根的浮萍,談慶明老師建議鄭先生讓我跟一個(gè)研究圓柱尾流混沌現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)一起做研究.這個(gè)項(xiàng)目的立項(xiàng),白老師和曹師兄起了很大作用.團(tuán)隊(duì)由林貞彬和鄂學(xué)全兩位老師領(lǐng)銜,成員中有位動(dòng)手能力極強(qiáng)的年輕人,李東輝.團(tuán)隊(duì)研究的目的是通過(guò)測(cè)量和分析圓柱尾流固定點(diǎn)速度分量的時(shí)間序列來(lái)厘清圓柱尾流的初始轉(zhuǎn)捩區(qū)域是否存在混沌現(xiàn)象,若是,再繼續(xù)研究混沌在湍流發(fā)展過(guò)程中的作用.

自1963 年Lorenz[8]發(fā)表Lorenz 混沌方程至20 世紀(jì)八九十年代,混沌現(xiàn)象的基本特性及由規(guī)則運(yùn)動(dòng)向混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化的機(jī)制都已清楚.前者包括分?jǐn)?shù)維特征和系統(tǒng)對(duì)初值的敏感性,后者包括周期倍化至混沌[9]、準(zhǔn)周期至混沌[10]及間歇性至混沌[11]等路徑.這里只粗略介紹一下最基本的概念和現(xiàn)象,更詳細(xì)的請(qǐng)見文獻(xiàn)[1,12].系統(tǒng)對(duì)初值的敏感性指的是小擾動(dòng)隨時(shí)間呈指數(shù)增長(zhǎng).令d(0)為0 時(shí)兩條任意軌跡之間的小距離,d(t)為時(shí)間t時(shí)它們之間的距離,對(duì)于真正的低維確定性混沌,我們有

其中,λ1被稱作最大的Lyapunov 指數(shù).混沌吸引子的軌跡在相空間中有界.相鄰軌跡的指數(shù)發(fā)散導(dǎo)致的不斷拉伸,加上吸引子的有界性引起的不時(shí)折疊,使混沌吸引子經(jīng)常成為分形,其特征是

其中,N(ε) 表示在相空間中完全覆蓋吸引子所需的線性長(zhǎng)度不大于 ε 的(最小)盒子數(shù).D稱為吸引子的計(jì)盒維數(shù).通常它是一個(gè)非整數(shù).對(duì)于混沌 Lorenz吸引子來(lái)說(shuō),D為2.06.值得指出,方程(2)也適用于度量無(wú)人經(jīng)營(yíng)過(guò)的山路或海岸線的長(zhǎng)度.這種情況,D通常大于1 但小于2.容易看出,當(dāng) ε 越來(lái)越小時(shí),山路或海岸線的長(zhǎng)度越來(lái)越長(zhǎng).特別地,當(dāng) ε →0 時(shí),山路或海岸線的長(zhǎng)度也變成無(wú)限長(zhǎng).

當(dāng)時(shí),混沌時(shí)間序列分析的基本框架也已完善.給定一個(gè)時(shí)間序列x(1),x(2),···,x(n),首先需構(gòu)造一個(gè)相空間,其中的向量為

其中,m稱作嵌入維,L是延遲時(shí)間.然后,可以用Wolf 等[13]的算法計(jì)算最大Lyapunov 指數(shù),并用Procaccia 和Grassberger[14]的算法計(jì)算關(guān)聯(lián)維(計(jì)盒維數(shù)D的一個(gè)很緊湊的下限)和關(guān)聯(lián)熵(λ1的一個(gè)很好估計(jì)).一般假設(shè),當(dāng)關(guān)聯(lián)維為非整數(shù)、Lyapunov 指數(shù)和關(guān)聯(lián)熵為正時(shí),所研究的時(shí)間序列是混沌的.當(dāng)我們研究圓柱尾流有無(wú)混沌現(xiàn)象時(shí),也用到了這個(gè)假設(shè)[15].但是這樣做是不對(duì)的.有諸多原因.其一是,用Wolf 等[13]的算法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)時(shí),小擾動(dòng)的指數(shù)增長(zhǎng)特性,只是被假設(shè),但沒(méi)被證明.事實(shí)上可以證明,從任意一組隨機(jī)的數(shù)據(jù),都可以計(jì)算出一個(gè)正的Lyapunov 指數(shù).一方面,這與混沌來(lái)自決定性系統(tǒng)這個(gè)原理完全不一致.另一方面,這并不表示隨機(jī)系統(tǒng)里小擾動(dòng)有指數(shù)發(fā)散的特征.事實(shí)上,證明一個(gè)復(fù)雜時(shí)間序列的小擾動(dòng)有指數(shù)發(fā)散的特征,是一個(gè)極富挑戰(zhàn)性的問(wèn)題.第二個(gè)原因是,一類很常見的隨機(jī)過(guò)程,1/fα過(guò)程,也擁有非整數(shù)的關(guān)聯(lián)維和正的關(guān)聯(lián)熵,因而會(huì)被誤判成混沌[16-17].第三個(gè)重大原因是,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總有噪聲.當(dāng)時(shí)的分析方法沒(méi)法幫助研究者撇開噪聲,把數(shù)據(jù)里最重要的特性刻畫出來(lái).第四個(gè)原因是技術(shù)上而非原理性的:實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度有限,因此式(3) 里m和L的選擇就變得很重要.這個(gè)問(wèn)題被稱作相空間的最優(yōu)重構(gòu).1993 至1994 年間,我和鄭先生發(fā)表了三篇文章,把這些問(wèn)題都解決了.下面解釋一下基本原理.我們從相空間的最優(yōu)重構(gòu)講起.

從原理上來(lái)說(shuō),式(3) 里的m只要夠大就行,L可以任意.m夠大指的是不小于2 倍的計(jì)盒維數(shù)D[18].問(wèn)題在于D需要估計(jì)而非已知.所以相空間的最優(yōu)重構(gòu)這個(gè)問(wèn)題,本質(zhì)上是在數(shù)據(jù)有限這個(gè)約束條件下,估計(jì)最小可用的嵌入維m,然后選擇L使得動(dòng)力學(xué)的演化能被最清楚地觀察到.m不能太小,可以通過(guò)考慮將南北極投影到赤道來(lái)理解-在2 維的赤道上,沒(méi)法區(qū)分南北極,所以重構(gòu)的相空間必須夠大,使得地球看起來(lái)確實(shí)像個(gè)地球.L的選擇與相空間里運(yùn)動(dòng)的速率有關(guān)-若速率變化忽大忽小非常極端,則動(dòng)力學(xué)的演化很難被觀察清楚.當(dāng)時(shí)已有一個(gè)很好的方法,假的最近鄰(false nearest neighbor)方法,來(lái)最優(yōu)地重構(gòu)相空間[19-20].這是一個(gè)幾何的方法,其基本想法是,當(dāng)m增大至最小可用的嵌入維時(shí),假的最近鄰的個(gè)數(shù)會(huì)急劇減少.嵌入維選定后,延遲時(shí)間可以通過(guò)讓假的最近鄰個(gè)數(shù)最小而得到.

我和鄭先生構(gòu)造的方法是動(dòng)態(tài)的[21-23].基本想法是假定最近鄰?fù)ㄟ^(guò)動(dòng)態(tài)迭代后的發(fā)散遠(yuǎn)快于真的最近鄰的發(fā)散.用方程表述是

其中,Vi和Vj等是重構(gòu)的向量,k是演化時(shí)間,尖括號(hào)表示滿足下述條件的所有可能的 (Vi,Vj) 對(duì)的系綜平均

其中,εk和 Δ εk是任意選擇的小距離.這里的每一個(gè)不等式對(duì)應(yīng)一個(gè)球殼,引入球殼的根本作用是為了刻畫噪聲的影響.這一點(diǎn)在后面討論混沌的直接動(dòng)力學(xué)判據(jù)時(shí),會(huì)更清楚.為最優(yōu)地決定m和L,可以固定k至一個(gè)較小的值.以Rossler 吸引子的重構(gòu)為例,見圖1,我們發(fā)現(xiàn),m=3,L=8 是一個(gè)優(yōu)化解.更多的細(xì)節(jié)請(qǐng)見文獻(xiàn)[21].

圖1 Rossler 吸引子的重構(gòu)Fig.1 Reconstruction of Rossler's attractor

值得指出,這個(gè)動(dòng)態(tài)的方法和假的最近鄰法,當(dāng)時(shí)是,現(xiàn)在仍是解決相空間重構(gòu)的兩個(gè)最系統(tǒng)的方法.我們的動(dòng)態(tài)方法提供更多的信息.以Lorenz 吸引子Lyapunov 指數(shù)的估計(jì)為例,見圖2.當(dāng)向量對(duì)(Vi,Vj)無(wú)所限制,即下面不等式(6)里的w為1 時(shí),Λ(k)隨時(shí)間變化的斜率比Lyapunov 指數(shù)小.原因是,對(duì)應(yīng)Lyapunov 指數(shù)為0 的軌道上的切向運(yùn)動(dòng)也被計(jì)算在里邊了.讓w大一些,如選取54,則 Λ (k) 隨時(shí)間的變化的斜率與最大Lyapunov 指數(shù)完全一致

圖2 Lorenz 吸引子Lyapunov 指數(shù)的估計(jì)Fig.2 Estimation of the Lyapunov exponent for the Lorenz attractor

更重要的是,這個(gè)動(dòng)態(tài)的方法給出了一個(gè)混沌的非?？煽康闹苯觿?dòng)力學(xué)判據(jù).如圖3(a)所示,對(duì)真正的混沌系統(tǒng)來(lái)說(shuō),來(lái)自不同球殼的隨時(shí)間變化的指數(shù)曲線會(huì)形成一個(gè)包絡(luò)線,其斜率給出最大Lyapunov 指數(shù)的一個(gè)非常好的估計(jì).對(duì)隨機(jī)數(shù)來(lái)說(shuō),如圖3(b)所示,來(lái)自不同球殼的隨時(shí)間變化的指數(shù)曲線,雖然都能給出一個(gè)正的Lyapunov 指數(shù)(相當(dāng)于L(k)/k),但因?yàn)槭欠稚⒌?用不同的球殼去估計(jì)最大Lyapunov 指數(shù)時(shí),得到的結(jié)果都不一樣.這是隨機(jī)系統(tǒng)的本質(zhì)特征.特別地,當(dāng)數(shù)據(jù)集的大小趨向于無(wú)限,而球殼的大小趨向于0 時(shí),最大Lyapunov 指數(shù)將變得無(wú)限大.這也是隨機(jī)系統(tǒng)的一個(gè)根本特征——熵?zé)o限大的一個(gè)很好的體現(xiàn).

圖3 隨時(shí)間變化的指數(shù)曲線作為混沌的直接動(dòng)力學(xué)判據(jù):(a) Lorenz 系統(tǒng),(b) 隨機(jī)系統(tǒng).數(shù)字從小到大對(duì)應(yīng)球殼從大到小[21]Fig.3 Time-dependent exponent curves for the chaotic:(a) Lorenz data and (b) IID random variables,where the curves,from bottom up,correspond to shells from larger to smaller[21]

有了這個(gè)混沌的直接動(dòng)力學(xué)判據(jù),我們可以搞清楚圓柱近尾流低雷諾數(shù)的流動(dòng)是否有混沌運(yùn)動(dòng)[24].圖4(a)顯示的是Re=136 時(shí)的相圖.類似的相圖在文獻(xiàn)里經(jīng)常出現(xiàn),如有節(jié)律的化學(xué)反應(yīng)和原子力顯微鏡[25],且被當(dāng)作混沌運(yùn)動(dòng)存在的證據(jù).這里,小擾動(dòng)以冪律而非指數(shù)方式增長(zhǎng),l nεt～t1/2,見圖4(b),所以這是極限環(huán)上的布朗運(yùn)動(dòng)而不是混沌運(yùn)動(dòng).

圖4 圓柱近尾流低雷諾數(shù)(Re=136)流動(dòng)的混沌行為:(a) 相圖,(b)lnt=ln||Vi+k-Vj+k||隨時(shí)間的變化[24]Fig.4 Test of chaotic behavior in the near wake cylinder of low Reynolds number (Re=136):(a) phase diagram and (b) temporal evolution of l nt=ln||Vi+k-Vj+k|| [24]

懂了混沌的直接動(dòng)力學(xué)判據(jù)后,就能很方便地理解噪聲對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的影響.對(duì)混沌系統(tǒng)來(lái)說(shuō),噪聲的作用是破壞圖3(a)所示的包絡(luò)線,隨著噪聲越來(lái)越大,包絡(luò)線從上到下,對(duì)應(yīng)球殼從小到大,將逐漸被破壞,直至包絡(luò)線完全消失,系統(tǒng)小擾動(dòng)的指數(shù)發(fā)散特征不再能被分辨出來(lái).這個(gè)現(xiàn)象可以用來(lái)估計(jì)噪聲的大小[26].總的來(lái)說(shuō),這套方法能非常好地刻畫噪聲對(duì)動(dòng)力系統(tǒng),包括半導(dǎo)體激光系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)的影響[27],也能非常好地研究一個(gè)相反的問(wèn)題——噪聲引發(fā)的混沌[28-30].細(xì)節(jié)就不再贅述了.這里只強(qiáng)調(diào)一下,這也是我在上一節(jié)提到的,能在沒(méi)有任何基礎(chǔ)的情況下,簡(jiǎn)單融入劉教授的團(tuán)隊(duì),研究用半導(dǎo)體激光做混沌安全通訊的原因.

3 基于依賴指數(shù)的李雅普諾夫指數(shù)(SDLE)的多尺度分析

混沌理論對(duì)20 世紀(jì)科學(xué)思想的最大沖擊是,隨機(jī)性可以不由無(wú)限維的隨機(jī)系統(tǒng)產(chǎn)生,而由有限維的確定性系統(tǒng)產(chǎn)生.這個(gè)將隨機(jī)系統(tǒng)與確定性系統(tǒng)對(duì)立的表述,產(chǎn)生的一個(gè)很嚴(yán)重的后果是,早期的一些研究者,包括我自己,在選擇了混沌研究后,會(huì)忽略隨機(jī)系統(tǒng)的研究.1997 年在UCLA 的電子工程系研究互聯(lián)網(wǎng)上的交通流時(shí),我意識(shí)到這個(gè)偏見很糟糕.任一時(shí)間、任一地點(diǎn)的互聯(lián)網(wǎng)牽涉到的用戶數(shù),都遠(yuǎn)多于地面交通牽涉到的車輛數(shù).所以正常情況下互聯(lián)網(wǎng)上的交通流必然是隨機(jī)的,這種情況是相對(duì)于網(wǎng)絡(luò)受攻擊時(shí)的狀態(tài)而言,當(dāng)網(wǎng)絡(luò)受攻擊時(shí),其上的交通流會(huì)有一個(gè)成分,由程序(即規(guī)則)產(chǎn)生,因此會(huì)不再是完全隨機(jī)的.互聯(lián)網(wǎng)上交通流的一個(gè)基本特征是長(zhǎng)程相關(guān)性[31].雖然離散的混沌映射能模擬這個(gè)特征[32],但兩個(gè)著名的隨機(jī)分形模型,1/fα過(guò)程和乘法級(jí)聯(lián)多分形模型,能更全面地模擬互聯(lián)網(wǎng)上交通流的特征[33-36].值得注意,乘法級(jí)聯(lián)多分形模型是為理解湍流而被發(fā)展起來(lái)的[37-41],且至今仍是湍流最好的模型之一.早期復(fù)雜性科學(xué)研究的一大目標(biāo)是用低維混沌理論研究湍流.所以這里一個(gè)深刻的問(wèn)題是如何將低維混沌與隨機(jī)分形理論有機(jī)地結(jié)合起來(lái).SDLE 是為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)的一個(gè)很有成效的嘗試.為了充分理解SDLE 的涵義,下面先介紹一下 1/fα過(guò)程.隨機(jī)系統(tǒng)的其他主要模型,包括ARIMA 模型,Levy 過(guò)程,和乘法級(jí)聯(lián)多分形模型,就不在此贅述了(可見文獻(xiàn)[1]).

在表征復(fù)雜系統(tǒng)的活動(dòng)類型中,一類非常普遍且令人費(fèi)解的行為是 1/fα過(guò)程,其功率譜密度隨頻率(時(shí)域)或波長(zhǎng)(空間域)以冪律方式衰減[1],因此其維數(shù)不能通過(guò)主成分分析等方法來(lái)有效降低[42].這種過(guò)程的一個(gè)子類,通常表示為 1/f2H+1過(guò)程,具有長(zhǎng)程相關(guān)性,其中,H稱作赫斯特指數(shù)(Hurst Parameter).取決于 0＜ H ＜1/2,H=1/2,或 1/2 ＜ H ＜1,它們分別被稱作具有反持久相關(guān)性、無(wú)記憶或僅短程相關(guān)性,及持久長(zhǎng)程相關(guān)性(長(zhǎng)記憶)[43].此類過(guò)程的突出例子包括視覺(jué)[44]、金融[45-46]、DNA 序列[47-51]、人類認(rèn)知[52]、全球恐怖主義[53]、協(xié)調(diào)[54]、姿勢(shì)[55-56]、心臟動(dòng)力學(xué)[57-61]以及素?cái)?shù)的分布[62]等.

具有長(zhǎng)記憶過(guò)程的精確定義如下:均值為 μ、方差為 σ2,且協(xié)方差平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程X={X(t),t=0,1,2,···},當(dāng)其自相關(guān)函數(shù)r(w),w≥0 以冪律方式衰減時(shí)[63]

則有長(zhǎng)程相關(guān)性,其中 0 ＜H＜ 1.當(dāng) 1/2 ＜H＜1,這是為什么這種過(guò)程被稱作具有長(zhǎng)記憶.過(guò)程X的功率譜密度 (PSD) 為它的積分被稱為隨機(jī)游走過(guò)程,其PSD 為作為1/f過(guò)程,它們不能被馬爾可夫過(guò)程或ARIMA 模型恰當(dāng)?shù)亟64],因?yàn)檫@些過(guò)程的 PSD 與1/f明顯不同.為了充分模擬1/f過(guò)程,必須使用分?jǐn)?shù)階過(guò)程.最流行的模型是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型[43].

值得強(qiáng)調(diào)的是,充分發(fā)展的湍流的Kolmogorov 能譜對(duì)應(yīng)H=1/3,其效應(yīng)在用雷達(dá)觀察到的海平面的海雜波上也有反映[65-66].

在上述基礎(chǔ),我們可以討論SDLE.

假設(shè)一個(gè)適當(dāng)?shù)南嗫臻g已經(jīng)重構(gòu)好了,我們考慮一個(gè)軌跡的集合.將兩個(gè)相鄰軌跡之間的初始分離表示為 ε0,它們?cè)跁r(shí)刻t和t+Δt的平均距離為εt和 εt+Δt.相空間中軌跡分離的一個(gè)示意如圖5 所示.我們考察 εt和 εt+Δt的關(guān)系.當(dāng) Δt→0,我們有

圖5 相空間中軌跡分離的示意圖Fig.5 Schematic of evolution of separation of trajectories in phase space

其中,λ (εt) 就是 SDLE,由下式給出

也可以把它表示成一個(gè)微分方程

有趣的是,λ (εt) 的計(jì)算,完全可以借用上一節(jié)描述的我和鄭先生發(fā)展的方法.具體是,還是基于不等式(5)描述的球殼,我們直接得到

其中,t和 Δt是采樣時(shí)間的整數(shù)倍,尖括號(hào)表示球殼內(nèi)所有下標(biāo)為i,j的平均值.注意,SDLE 蘊(yùn)含Lyapunov 指數(shù)的概念,但比后者的概念寬廣,因SDLE 是一個(gè)函數(shù),而Lyapunov 指數(shù)只是一個(gè)數(shù).

粗略地說(shuō),當(dāng)時(shí)我和鄭先生發(fā)展的方法可以稱作是一個(gè)積分的形式,SDLE 的表述的是一個(gè)微分的形式.由積分形式轉(zhuǎn)至微分形式帶來(lái)的好處是,在SDLE 的框架下,對(duì)所有已知的時(shí)間序列模型,我們都可以證明它們有其獨(dú)特的標(biāo)度律.下面列舉一些,更多的細(xì)節(jié)請(qǐng)見文獻(xiàn)[1,61-67].

性質(zhì)1:對(duì)確定性混沌,可以證明,在小尺度上

性質(zhì)2:對(duì)于有噪聲的混沌和噪聲引起的混沌,在小尺度上,有

其中 γ ＞0 決定信息衰減的速率;

性質(zhì)3:對(duì)1/f2H+1過(guò)程,可以證明

性質(zhì)4:對(duì) α-stable Levy 過(guò)程,可以證明

性質(zhì)5:對(duì)隨機(jī)振動(dòng)來(lái)說(shuō),依賴于相空間的重構(gòu),λ(ε)≈-γlnε 和 λ (ε)≈-Hε-1/H都可被觀察到;

性質(zhì)6:對(duì)于具有多尺度行為的復(fù)雜運(yùn)動(dòng),上述不同的標(biāo)度律有可能在不同的 ε 范圍內(nèi)都被觀察到.

上述6 個(gè)性質(zhì),涵蓋了幾乎所有已知的時(shí)間序列模型.因而我們可以期望,SDLE 能統(tǒng)一所有已知的復(fù)雜性的度量.事實(shí)上也確實(shí)如此.比如在刻畫腦電動(dòng)力學(xué)時(shí),我們發(fā)現(xiàn),常用的復(fù)雜性的度量,包括Lyapunov 指數(shù),關(guān)聯(lián)維,關(guān)聯(lián)熵,赫斯特指數(shù),等都可以被對(duì)應(yīng)到SDLE 在某個(gè)尺度的值.細(xì)節(jié)請(qǐng)見文獻(xiàn)[1](15.7.1 節(jié))和文獻(xiàn)[68].因這個(gè)原因,SDLE 在臨床腦電的分析中有極大的應(yīng)用前景[69].

因性質(zhì)6 有重大意義,我們用一個(gè)例子使其具體化.考察一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)

其中,[xn] 表示xn的整數(shù)部分,ηn是在區(qū)間 [-1,1] 上均勻分布的隨機(jī)數(shù),σ 刻畫噪聲的強(qiáng)度,F(y) 是個(gè)由下述方程給出的函數(shù)

函數(shù)F(y) 描述的是一個(gè)混沌動(dòng)力學(xué),其Lyapunov指數(shù)為 l n(2+Δ).所以,由方程(16)描述的動(dòng)力系統(tǒng)是一個(gè)整數(shù)格點(diǎn)上的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)加上整數(shù)格點(diǎn)內(nèi)的混沌運(yùn)動(dòng).因此,當(dāng)沒(méi)有噪聲時(shí),我們應(yīng)該在小尺度上觀察到性質(zhì)1,而在較大尺度上觀察到性質(zhì)3.確實(shí)如此,如圖6 所示.當(dāng)有噪聲時(shí),性質(zhì)1 被性質(zhì)2 替代.這里,圖6(a)用了5000 點(diǎn),圖6(b)用了500 點(diǎn).后一種情形,因點(diǎn)太少,整數(shù)格點(diǎn)上的布朗運(yùn)動(dòng)沒(méi)能被刻畫好(事實(shí)上,真正牽涉整數(shù)格點(diǎn)的個(gè)數(shù)只有幾十).總的來(lái)說(shuō),用這么少的點(diǎn)刻畫這么豐富的動(dòng)力學(xué),很令人驚訝.

圖6 小尺度上的混沌運(yùn)動(dòng)與大尺度上的布朗運(yùn)動(dòng)Fig.6 Chaotic motion on small scales and Brownian motion on large scales

性質(zhì)6 的一個(gè)直接后果是,我們可以把一個(gè)混沌或分形時(shí)間序列拆成很多段,中間插入周期性運(yùn)動(dòng),則原來(lái)的混沌或分形特征還是能被SDLE 很好地刻畫出來(lái).事實(shí)上,前者對(duì)應(yīng)間歇性混沌.一個(gè)例子由圖7 給出.分形+振蕩是長(zhǎng)時(shí)間監(jiān)測(cè)的心跳動(dòng)力學(xué)的一個(gè)基本特征.這里,振蕩由呼吸引起.這樣的分形很難被SDLE 以外的任何方法刻畫.細(xì)節(jié)就不再此贅述了,請(qǐng)見文獻(xiàn)[61].

圖7 (a) 由Logistic 映射 xn+1=axn (1-xn) 生成的間歇性混沌時(shí)間序列,a=3.8284.(b) 由10000個(gè)點(diǎn)的時(shí)間序列計(jì)算出的 SDLE 曲線,m=4,L=1,最大的球殼尺寸為 (2 -13.5,2 -13).由箭頭 A 指示的混沌標(biāo)度區(qū)清晰可見.箭頭 B 和 C 表示的區(qū)域?qū)?yīng)周期性運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)之間的過(guò)渡,箭頭 D 表示大尺度的振蕩運(yùn)動(dòng)Fig.7 (a) Intermittent chaos generated by Logistic map xn+1=axn (1-xn),a=3.8284.(b) SDLE curve calculated from a time series of 10000 points,m=4,L=1,and the largest shell is (2 -13.5,2 -13).The chaotic scale region indicated by arrow A is clearly visible.The regions represented by arrows B and C correspond to the transition between periodic and chaotic motions,while arrow D represents large-scale oscillatory motion

思考一下,我們就能夠明白,SDLE 的提出,拓展了傳統(tǒng)混沌動(dòng)力學(xué)的研究范疇,因后者一般只研究由不變測(cè)度刻畫的含有混沌吸引子的動(dòng)力系統(tǒng).在大數(shù)據(jù)時(shí)代,數(shù)據(jù)一般都是被連續(xù)觀察的.真正讓人激動(dòng)的數(shù)據(jù)是那些含有狀態(tài)突變的數(shù)據(jù).這種情形,雖不易由大多數(shù)已知的方法來(lái)處理,但對(duì)SDLE 并沒(méi)造成任何挑戰(zhàn).這里,值得提一下河流徑流動(dòng)力學(xué).許多研究者猜測(cè)河流動(dòng)力學(xué)是混沌的,但分析結(jié)果不能讓人信服.原因是,河流動(dòng)力學(xué)是強(qiáng)間隙性的—旱季的枯水期和雨季的豐水期,其動(dòng)力學(xué)是完全不一樣的.因此,河流的流動(dòng)形態(tài)中若存在混沌,該混沌必須是間隙性的.所幸,這里的混沌很容易通過(guò)SDLE 刻畫.一個(gè)例子如圖8 所示.

圖8 美國(guó)Colorado 河的間隙性混沌.這里,紅色的曲線代表由下節(jié)的非線性自適應(yīng)濾波器處理過(guò)的數(shù)據(jù)Fig.8 Intermittent chaos in the Colorado River,USA.Here,the red curves represent the data processed by the nonlinear adaptive filter to be explained in the next section

4 自適應(yīng)去趨勢(shì)、去噪、多尺度分解和分形分析

2006 年,美國(guó)因在伊拉克和阿富汗缺兵力,由陸軍研究部負(fù)責(zé),請(qǐng)一家公司設(shè)計(jì)了一款能用于野外很方便采集腦電的頭盔,然后請(qǐng)杜克大學(xué)醫(yī)學(xué)院的一個(gè)團(tuán)隊(duì)采集了一組腦電,最后找到我們,希望我們能設(shè)計(jì)出一套通過(guò)腦電分析,評(píng)估受炮彈沖擊波沖擊而腦震蕩的士兵,是否已恢復(fù)可以再上前線了.因這個(gè)經(jīng)費(fèi)來(lái)之不易,我們做的非常認(rèn)真.做了幾個(gè)月,發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)得到的腦電信號(hào),其實(shí)沒(méi)有任何真正腦電的信息.但我們不能就這樣告訴陸軍研究部.所以我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)新的分析方法,證明給我們的腦電,只有頭部搖晃的信號(hào),加上電源60 Hz 的信號(hào)(中國(guó)是50 Hz),及一些噪音.陸軍研究部雖然對(duì)我們的分析很滿意,但畢竟很失望,因?yàn)樵O(shè)計(jì)的頭盔完全無(wú)效.我自己得到的一個(gè)深刻體會(huì)是,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集的團(tuán)隊(duì),必須包含能做分析的人員,不然采集的數(shù)據(jù)可能都是垃圾.

我們的方法是這樣的[70-75].先把一個(gè)時(shí)間序列分成長(zhǎng)度為奇數(shù)w=2n+1 的小段,相鄰兩段重疊n+1個(gè)點(diǎn).這樣做引入了一個(gè)時(shí)間尺度=(n+1)τ,其中 τ 為采用時(shí)間間隔.對(duì)于每一段,我們擬合一個(gè)M階的最佳多項(xiàng)式.請(qǐng)注意,M=0 和 1 分別對(duì)應(yīng)于分段常數(shù)和分段線性擬合.分別用yi(l1) 和yi+1(l2)表示擬合的第i段和第(i+1)段的多項(xiàng)式,其中l(wèi)1,l2=1,2,···,2n+1.注意最后一段的長(zhǎng)度可能小于2n+1.我們將重疊區(qū)域的擬合定義為

其中,w1=1-(l-1)/n,w2=(l-1)/n可以重寫為1-dj/n,j=1,2,其中dj表示那一點(diǎn)與y(i) 和y(i+1)的中心的距離.這意味著權(quán)重隨點(diǎn)和線段中心之間的距離線性減小.這種加權(quán)確保了對(duì)稱性并有效地消除了相鄰段邊界周圍的任何跳躍或不連續(xù)性.實(shí)際上,該方案確保擬合處處連續(xù),在非邊界點(diǎn)處光滑,在邊界處具有右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù).該方法能有效找出任何一種信號(hào)的趨勢(shì),假如存在的話.

回到杜克大學(xué)的腦電數(shù)據(jù).兩個(gè)例子如圖9 所示.紅色的曲線由我們的自適應(yīng)濾波器得到.它們對(duì)應(yīng)頭部的晃動(dòng).較細(xì)的黑色趨勢(shì)線由另一個(gè)很有名的濾波器Loess[76]得到.Loess 等價(jià)于Savitzky-Golay 濾波器[77].可以看出,紅色的趨勢(shì)線比黑色的更精確.

圖9 腦電因頭部晃動(dòng)引起的趨勢(shì)Fig.9 Trend of EEG caused by head shaking

值得比較這個(gè)濾波器與前面提到EMD[2].圖10(a)顯示的是全球年海表溫度 (SST)及線性、拋物線、非線性擬合,右邊顯示的是相應(yīng)的殘差序列.圖10(b)與文獻(xiàn)[2]的結(jié)果完全一致.值得注意,EMD 是個(gè)二分法,時(shí)間尺度每次減半.這里的自適應(yīng)算法牽涉到的時(shí)間尺度是連續(xù)的,因此,在許多應(yīng)用場(chǎng)合,自適應(yīng)算法應(yīng)該比EMD 更準(zhǔn)確.

圖10 (a)全球年海表溫度(SST)及線性、拋物線、非線性擬合和(b)相應(yīng)的殘差序列Fig.10 (a) Global annual sea surface temperature (SST) and linear,parabolic and nonlinear fitting and (b) corresponding residual series

自適應(yīng)濾波器有非常好的去噪功能.一個(gè)例子如圖11 所示.可以看出,自適應(yīng)濾波器比基于混沌的方法和小波變換都好.細(xì)節(jié)請(qǐng)見文獻(xiàn)[71].

圖11 混沌洛倫茲信號(hào)的去噪Fig.11 Denoising of a chaotic Lorenz signal

自適應(yīng)濾波器也有極好的信號(hào)提取功能.一個(gè)例子如圖12 所示.其中,圖12(a)和12(b) 是以采樣頻率為250 Hz 采集的 EEG 和 ECG 信號(hào);圖12(c)和12(d)是通過(guò)使用自適應(yīng)和小波變換從 EEG 中提取的ECG 成分.圖12(a)中的箭頭突出顯示了 EEG信號(hào)中包含的 ECG 分量.在呼吸綜合征的監(jiān)測(cè)和治療中,腦電EEG 的分析起到很重要的作用.但混雜了心電ECG 成分的腦電,使得通過(guò)分析判斷是否有呼吸綜合征變得很困難.因此,一個(gè)重要步驟是先去掉心電ECG 的成分.如圖所示,自適應(yīng)方法比小波變換更優(yōu).

圖12 (a,b)以采樣頻率為250 Hz 采集的 EEG 和 ECG 信號(hào),單位為mV;(c,d)使用自適應(yīng)和小波變換從 EEG 中提取的ECG 成分.(a)中的箭頭突出顯示 EEG 信號(hào)中包含的 ECG 分量Fig.12 (a,b) EEG and ECG signals acquired at a sampling frequency of 250 Hz in mV;(c,d) ECG components extracted from EEG using adaptive and wavelet transforms.Arrows in (a) highlight ECG components included in the EEG signal

理解了自適應(yīng)濾波器上述功能后,就很容易理解它的多尺度分解的功能.這相當(dāng)于用一系列窗口w1,w2,...,wk,得到一連串趨勢(shì)線,任意兩個(gè)趨勢(shì)線的差,都代表原來(lái)時(shí)間序列在對(duì)應(yīng)那兩個(gè)窗口的頻段的成分.對(duì)具體例子感興趣的,請(qǐng)見文獻(xiàn)[73].

最后,我們解釋如何用自適應(yīng)濾波器作分形和多分形分析.事實(shí)上,當(dāng)數(shù)據(jù)有趨勢(shì)時(shí),它是所有估計(jì)赫斯特指數(shù)及廣義的赫斯特指數(shù)譜的方法中最好的.這里只給出一些最基本的結(jié)果.細(xì)節(jié)請(qǐng)見文獻(xiàn)[73].

然后,我們用窗口大小為w對(duì)u(n) 擬合一個(gè)全局趨勢(shì)v(n).殘差u(i)-v(i) 表征圍繞全局趨勢(shì)的波動(dòng),其方差是赫斯特指數(shù)H的一個(gè)非常好的估計(jì)

將上式的平方與開根號(hào)稍作變化,我們就得到估計(jì)廣義的赫斯特指數(shù)譜的多分形分析

將式(20)應(yīng)用于兩個(gè)隨機(jī)游走過(guò)程u(n) 和z(n),我們可以計(jì)算它們間互相關(guān)的長(zhǎng)程相關(guān)指數(shù)Huz

圖13(a)顯示的是一個(gè)典型的腦電信號(hào)的分形分析結(jié)果.從中我們可以定義三個(gè)參數(shù),短時(shí)間和長(zhǎng)時(shí)間的赫斯特指數(shù)(記為HS和HL),及飽和度(saturation level),就可以把三類腦電數(shù)據(jù),正常(Group H),癲癇發(fā)作(Group S),癲癇病人未發(fā)作(Group E),幾乎完全區(qū)分開.近期,我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)方法有很大的臨床應(yīng)用前景[78].

圖13 (a)一個(gè)典型腦電信號(hào)的分形分析結(jié)果;(b) 三類數(shù)據(jù),正常(Group H)、癲癇發(fā)作(Group S)、癲癇病人未發(fā)作(Group E)的分類,精度幾乎100%Fig.13 (a) Typical adaptive fractal analysis of a an EEG signal;(b)Classification of three types of EEG data,normal (Group H),seizures(Group S),and seizure patients not having seizure (Group E),with an accuracy of almost 100%

5 結(jié)語(yǔ)

5 G 時(shí)代的到來(lái)及 6 G 時(shí)代的快速臨近,科學(xué)、工程和社會(huì)中積累的大數(shù)據(jù)將很快變得更加巨大.任何人都不得不抓住這個(gè)前所未有的機(jī)會(huì).雖然計(jì)算機(jī)科學(xué)家們正在努力開發(fā)更強(qiáng)大的數(shù)據(jù)庫(kù)管理和機(jī)器學(xué)習(xí)方法,但現(xiàn)在是進(jìn)入下一階段的時(shí)候了.這個(gè)階段將以捕獲大數(shù)據(jù)背后的動(dòng)力學(xué)及深刻理解人腦的工作機(jī)制為基本目的.就數(shù)據(jù)分析而言,我們可以洞見,機(jī)器學(xué)習(xí)和復(fù)雜性科學(xué)的主流方法在未來(lái)會(huì)相互補(bǔ)充并互相促進(jìn).為了幫助加速這個(gè)結(jié)合,我們提倡協(xié)同使用基于主流機(jī)器學(xué)習(xí)的方法和復(fù)雜性科學(xué)中的多尺度方法.

最后我們強(qiáng)調(diào),在科學(xué)研究中,最重要的是一直保有一顆好奇、不斷探索的心.只有這樣,才能發(fā)現(xiàn)真正重大的科學(xué)問(wèn)題并切實(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.這種普世的精神,鄭先生等老一輩科學(xué)家們一直在言傳身教.望讀者們能和我們共勉！