標(biāo)新而不立異 簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單
——從一道中考?jí)狠S題談初高中銜接

廣東省廣州市第二中學(xué)(510040) 唐 琦

1 試題呈現(xiàn)

(廣東中考第25 題)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,0),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都4x-12 ≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.

(1)求該二次函數(shù)的解析式;

(2)若(1)中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)為A,與y軸交點(diǎn)為C;點(diǎn)M是(1)中二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn). 問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)N,使得以A,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形. 若存在,求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2 試題特色

第二小題是平行四邊形的存在性問(wèn)題,一般可用平移法或?qū)蔷€(xiàn)法(中點(diǎn)法)解決問(wèn)題. 在中考第二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)的教學(xué)中,教師也會(huì)設(shè)計(jì)一些特殊的幾何圖形的存在性復(fù)習(xí)專(zhuān)題,包括等腰三角形的存在性問(wèn)題,直角三角形的存在性問(wèn)題,平行四邊形的存在性問(wèn)題,或者特殊的平行四邊形(如矩形,菱形,正方形)的存在性問(wèn)題等. 本文主要針對(duì)第一小題分析.

2.1 問(wèn)題新穎,條件簡(jiǎn)約

待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是初中函數(shù)教學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn), 也是考試中最常考的題型之一. 一般的問(wèn)題設(shè)計(jì)都是函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)特定具體的點(diǎn), 將這些點(diǎn)的坐標(biāo)代入到函數(shù)解析式中列出方程或方程組求出函數(shù)解析式中的待定系數(shù). 本題先給出二次函數(shù)最常見(jiàn)的一般解析式y(tǒng)=ax2+bx+c,其圖象過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的點(diǎn)(-1,0),這一部分的條件比較常見(jiàn),學(xué)生非常熟悉. 然后,馬上又給出了一個(gè)連不等式,并且是一個(gè)任意性命題,超出考生的預(yù)料,讓人覺(jué)得有些“猝不及防”. 有點(diǎn)像聽(tīng)一首歌曲前面平淡熟悉,突然曲風(fēng)一轉(zhuǎn),引人入勝,耳目一新. 但條件依然簡(jiǎn)約,就一個(gè)解析式,一個(gè)點(diǎn),一個(gè)練不等式,甚至不像第二小題那樣題目條件變得更加復(fù)雜.

2.2 來(lái)源課本,初高銜接

從題目的形式看,讓學(xué)生和老師“猝不及防”的原因可能有幾個(gè): 一是連不等式在平常的教學(xué)中不多見(jiàn);二是二次不等式在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)要求并不高;三是含參數(shù)的不等式在初中的思維性比較高;四是不等式的恒成立問(wèn)題或者任意性問(wèn)題在初中平常教學(xué)中不太常見(jiàn),甚至有些老師也懷疑這是否超綱. 其實(shí)這些問(wèn)題雖然不是?？嫉念?lèi)型,但仍來(lái)源于課本. 以人教版為例,七年級(jí)下冊(cè)課本第130 頁(yè)習(xí)題4 中出現(xiàn)了連不等式的求解(如圖1),第6 題的“盈不足”實(shí)際問(wèn)題列出連不等式更加容易解決問(wèn)題(如圖2),九年級(jí)上冊(cè)課本第47 頁(yè)第5 題通過(guò)畫(huà)二次函數(shù)圖象的方式來(lái)求解二次不等式(如圖3),九年級(jí)上冊(cè)課本第17 頁(yè)第13 題是有關(guān)含參二次方程的任意性問(wèn)題(如圖4).

圖1

圖2

圖3

圖4

通過(guò)和教材溯源比較,這些我們有些“猝不及防”的知識(shí)也都是在教材上的重點(diǎn)習(xí)題中出現(xiàn),也更是初高中銜接的重點(diǎn)內(nèi)容. 其中根據(jù)二次函數(shù)的圖象來(lái)判斷二次函數(shù)解析式中字母系數(shù)的特征,二次方程,二次不等式,二次函數(shù)這三個(gè)“二次”的結(jié)合問(wèn)題都是初高中銜接知識(shí)的熱點(diǎn)和重點(diǎn)問(wèn)題.

3 解題分析

分析因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,0),所以首先肯定將(-1,0)代入解析式y(tǒng)=ax2+bx+c中,得到

接下來(lái)處理連不等式4x- 12 ≤ax2+bx+c≤2x2- 8x+ 6 這個(gè)條件了, 當(dāng)然, 中間的二次函數(shù)的解析式ax2+bx+c參數(shù)較多, 不好直接處理, 反倒是第一個(gè)代數(shù)式4x-12 和第三個(gè)代數(shù)式2x2-8x+6 是確定的.首先我們就有一個(gè)思考, 對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x, 根據(jù)不等式的傳遞性, 應(yīng)該有4x-12 ≤2x2-8x+6, 但真的會(huì)這樣嗎? 不免就要產(chǎn)生要驗(yàn)證這個(gè)不等式的想法. 可以從“數(shù)”的角度驗(yàn)證, 我們使用作差法, 將2x2-8x+6 與4x-12相減,得到2x2-12x+18,即2(x-3)2,結(jié)果是非負(fù)數(shù),所以4x-12 ≤2x2-8x+6 成立, 特別的, 當(dāng)x= 3 時(shí), 差為0, 即當(dāng)x= 3 時(shí), 4x-12 = 2x2-8x+6 = 0. 這時(shí),0 ≤ax2+bx+c≤0,所以,當(dāng)x=3 時(shí),ax2+bx+c=0.

而另一個(gè)角度就是從“形”出發(fā), 作出y= 4x-12和y= 2x2- 8x+ 6 的圖象, 如圖5, 根據(jù)圖象我們可以發(fā)現(xiàn),除了點(diǎn)(3,0),拋物線(xiàn)y= 2x2-8x+6 的其它各點(diǎn)都在直線(xiàn)y= 4x-12 上方. 也就是拋物線(xiàn)y= 2x2-8x+6 與直線(xiàn)y= 4x-12只有一個(gè)交點(diǎn)(3,0), 也就是拋物線(xiàn)y= 2x2-8x+6 與直線(xiàn)y= 4x-12 相切于(3,0). 根據(jù)連不等式4x-12 ≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6 可知,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象在拋物線(xiàn)y=2x2-8x+6 與直線(xiàn)y=4x-12 兩者之間,且必然過(guò)點(diǎn)(3,0),直線(xiàn)y= 4x-12 同樣也是拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的切線(xiàn).

圖5

而這個(gè)結(jié)果就令人喜出望外,根據(jù)前面的分析,必然有當(dāng)x=3 時(shí),ax2+bx+c=0,即

對(duì)這個(gè)不等式是一次不等式還是二次不等式進(jìn)行討論. 當(dāng)a= 0 時(shí),不等式就變成-4x+12 ≥0,不能對(duì)任意的實(shí)數(shù)x成立, 所以有a ?= 0. 而當(dāng)a ?= 0 時(shí), 不等式為二次式, 將ax2-(2a+4)x+(12-3a)看作一條拋物線(xiàn)的解析式,那么這條拋物線(xiàn)的點(diǎn)就要在x軸上或上方, 也就是拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或者沒(méi)有交點(diǎn), 畫(huà)示意圖可知:a ＞0 且Δ ≤0,即(2a+4)2-4a(12-3a)≤0,整理后得

兩邊約去16 得到a2-2a+1 ≤0, 即(a-1)2≤0. 而由平方的非負(fù)性(a-1)2≥0, 所以只能(a-1)2= 0, 非常巧妙甚至是巧合的得到a= 1, 所以二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x-3.

從函數(shù)的圖象來(lái)看,如圖6,二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象在拋物線(xiàn)y= 2x2-8x+6 與直線(xiàn)y=4x-12 兩者之間, 且都過(guò)公共點(diǎn)(3,0),直線(xiàn)y= 4x- 12 同樣是拋物線(xiàn)y=x2- 2x- 3 和y=2x2-8x+6 的切線(xiàn).

圖6

當(dāng)然, 從不等式③的分析看上去a= 1 的這個(gè)結(jié)果有些巧合, 自然我們也會(huì)考慮如果是從不等式④入手會(huì)不會(huì)更自然一點(diǎn). 不妨試試看, 對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有ax2-2ax-3a≤2x2-8x+6,即

同樣這個(gè)不等式是一次不等式還是二次不等式進(jìn)行討論. 當(dāng)a= 2 時(shí), 不等式變?yōu)?4x+ 12 ≥0, 同樣不能對(duì)任意的實(shí)數(shù)x成立(這個(gè)結(jié)果和上述不等式③的結(jié)果竟然相同) . 而當(dāng)a ?= 2 時(shí), 不等式⑦為二次式, 將(2-a)x2+ (2a- 8)x+ (3a+ 6) 同樣看作一條拋物線(xiàn)的解析式,那么這條拋物線(xiàn)的點(diǎn)還是要在x軸上或上方,也就是拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)或者只有一個(gè)交點(diǎn),即2-a ＞0且Δ ≤0,也即a ＜2 且(2a-8)2-4(2-a)(3a+6) ≤0,整理得

(這個(gè)結(jié)果和上述不等式③的結(jié)果還是相同, 即不等式⑦⑧相同) , 后面的部分同理, 我們可以得到二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x-3.

4 從高中數(shù)學(xué)的角度分析

以上在討論不等式

兩部分的過(guò)程中, 都非常巧合的出現(xiàn)了部分相同的運(yùn)算結(jié)果, 如當(dāng)分類(lèi)討論為一次不等式時(shí), 兩者都化為-4x+ 12 ≥0, 即4x- 12 ≤0, 而4x- 12 也恰好都是連不等式4x-12 ≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6 的第一不等號(hào)前面的部分. 而當(dāng)分類(lèi)討論為二次不等式,兩個(gè)不等式的判別式⑦⑧也是相同,都為Δ=16a2-32a+16,從而根據(jù)非負(fù)性得到a= 1. 數(shù)學(xué)中一般不存在這種“巧合”的偶然性,應(yīng)該有著必然性. 也就是這道題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么? 其實(shí),如果從高中的觀點(diǎn)來(lái)分析這道題的話(huà),會(huì)更加容易挖掘這道題背后蘊(yùn)含的內(nèi)涵和本質(zhì).

我們?cè)賮?lái)看原題中最重要的這個(gè)連不等式條件: 對(duì)任意實(shí)數(shù)x, 都有4x-12 ≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.結(jié)合前面的分析, 我們不難發(fā)現(xiàn): 如果不考慮二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,0)這個(gè)條件, 其實(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象是一條與直線(xiàn)y= 4x-12相切于(3,0) 的拋物線(xiàn). 而且這條拋物線(xiàn)是夾在拋物線(xiàn)y=2x2-8x+6 與直線(xiàn)y=4x-12 兩者之間.

再來(lái)看拋物線(xiàn)還要滿(mǎn)足是夾在拋物線(xiàn)y=2x2-8x+6與直線(xiàn)y= 4x-12 兩者之間, 即滿(mǎn)足對(duì)任意實(shí)數(shù)x, 都滿(mǎn)足4x-12 ≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6 的不等關(guān)系. 可根據(jù)圖象與y軸的位置來(lái)處理,直線(xiàn)y= 4x-12 與y軸交于(0,-12),拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與y軸交于(0,c),拋物線(xiàn)y= 2x2-8x+6 與y軸交于(0,6),所以我們可以得到-12 ≤c≤6. 而c= 9a-12, 則-12 ≤9a-12 ≤6,解得0 ≤a≤2. 又a ?= 0, 則0＜a≤2. 即對(duì)任意實(shí)數(shù)x, 都滿(mǎn)足4x-12 ≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a ?= 0) 的解析式為y=ax2+(4-6a)x+(9a-12)(0＜a≤2).

從高中數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看這道題, 我們可以歸納: 對(duì)任意實(shí)數(shù)x, 都成立

4x-12 ≤ax2+bx+c≤2x2- 8x+ 6 的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象就是與直線(xiàn)y= 4x- 12 相切于(3,0) 的拋物線(xiàn)系. 而且這些拋物線(xiàn)是夾在拋物線(xiàn)y=2x2-8x+6 與直線(xiàn)y=4x-12 兩者之間(如圖7).

圖7

這個(gè)拋物線(xiàn)系的解析式可以表示為y=ax2+(4-6a)x+(9a-12)(0＜a≤2). 當(dāng)a= 0,y=ax2+bx+c的解析式就退化為一次函數(shù)y= 4x- 12. 當(dāng)a= 2 時(shí),y=ax2+bx+c的解析式就是y=2x2-8x+6.

5 教學(xué)導(dǎo)向

5.1 關(guān)注課本,“以本為本”

教科用書(shū)是集眾多數(shù)學(xué)教育家和教育工作者智慧的結(jié)晶,其權(quán)威性和科學(xué)性毋庸置疑. 雖然作為教學(xué)的補(bǔ)充,市面上會(huì)出現(xiàn)各種讓人眼花繚亂的教輔用書(shū),還有隨著信息技術(shù)的發(fā)展,各種超大容量的電子題庫(kù)也層出不窮. 然而,越來(lái)越多有識(shí)之士達(dá)成的共識(shí)都是要把數(shù)學(xué)從題海中跳出來(lái),我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不只是簡(jiǎn)單機(jī)械的刷題,而是要更關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng),讓學(xué)生養(yǎng)成終生學(xué)習(xí),自主學(xué)習(xí)所必備的數(shù)學(xué)思想方法. 所以我們更應(yīng)該追本溯源,回歸課本. 課本中的每個(gè)知識(shí)的呈現(xiàn), 每道例題和習(xí)題的設(shè)計(jì)都是大有深意,都是專(zhuān)家們?cè)谏钏际鞈]后最好的統(tǒng)籌. 我們?cè)诮虒W(xué)中可以在課本中挖掘更多的教學(xué)資源, 并且以課本為教學(xué)核心資源,不要被所謂的“學(xué)案”和“題庫(kù)”牽著鼻子走,失去自己的教學(xué)節(jié)奏.

5.2 關(guān)注初高中銜接

中考作為初中生學(xué)業(yè)水平考試,也是學(xué)生進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的最重要選拔考試,邏輯的壓軸題中更是成為一種新的趨勢(shì).從數(shù)學(xué)史的角度,數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展和學(xué)生認(rèn)知的過(guò)程不完全一致, 所以在教學(xué)中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的呈現(xiàn)是以“螺旋式上升”的方式讓學(xué)生更容易接受. 像小初銜接中的正負(fù)數(shù),簡(jiǎn)易數(shù)軸,簡(jiǎn)易方程,簡(jiǎn)易不等式,幾何圖形初步,簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)等等. 而如果說(shuō)初中的一般的教學(xué)內(nèi)容難度為1 個(gè)單位,高中的相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容難度為2 個(gè)單位,那么在中考的壓軸題中對(duì)初高中銜接的考查設(shè)計(jì)到1.5 個(gè)難度單位,完全是可行而且是有必要的. 所以我們要加大初高中銜接的內(nèi)容的重視度和關(guān)注度,在教學(xué)中,特別是壓軸題的教學(xué)中,加大初高中知識(shí)融入和整合教學(xué). 而從高中數(shù)學(xué)更高的角度來(lái)看初中數(shù)學(xué),讓我們對(duì)初中數(shù)學(xué)有更深入的理解和思考,教學(xué)教研上就可以有更充分的挖掘.

5.3 落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

教育的最終目的就是為了讓受教育者能自主的學(xué)習(xí). 數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí),教會(huì)學(xué)生做題,更重要的是提升學(xué)生的思維邏輯水平, 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法,落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng). 而學(xué)科素養(yǎng)并不是一招一式中獲取,也不是一課一時(shí)之中,而是在不斷的積累中,在探究問(wèn)題,分析問(wèn)題,解決問(wèn)題中最終落實(shí). 這對(duì)我們老師對(duì)課程設(shè)計(jì),教學(xué)活動(dòng)組織,問(wèn)題探究,資源整合提出了新的要求. 而從高觀下,或者說(shuō)另一個(gè)角度來(lái)理解教學(xué),理解數(shù)學(xué),就來(lái)更容易抓住教育教學(xué)的本質(zhì),更有針對(duì)性的培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).