借助v-t圖像 巧解板塊問題

四川 張海軍

板塊模型多以計(jì)算題的形式出現(xiàn)在高考試題中，它涉及多個(gè)研究對(duì)象，且運(yùn)動(dòng)過程較為復(fù)雜，因此板塊問題是高中物理教學(xué)的難點(diǎn)。要處理好此類問題需要學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較好的理解、推理、分析綜合、建模等思維能力。

v-t圖像可以直觀地反映質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律，因此高中物理常借助其解決復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問題。筆者下面就以外力作用下的板塊模型為例來探究v-t圖像在此類問題中的應(yīng)用。

一、水平面光滑且板、塊均無初速度

【例1】如圖1所示，在光滑的水平面上有一足夠長(zhǎng)的質(zhì)量為M=4 kg的長(zhǎng)木板，在長(zhǎng)木板的右端有一質(zhì)量為m=1 kg的小物塊，它們之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2。開始時(shí)長(zhǎng)木板與小物塊均靜止，現(xiàn)用水平恒力F作用在木板上，則

(1)外力F至少多大可使二者發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)；

(2)若F=18 N，經(jīng)時(shí)間1 s撤去水平恒力F，那么在F的作用下，長(zhǎng)木板的加速度為多少；

(3)在(2)問條件下，剛撤去F時(shí)，小物塊距長(zhǎng)木板右端多遠(yuǎn)；

(4)在(2)問條件下，撤去F后，長(zhǎng)木板需運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)距離才會(huì)與小物塊速度相同。

圖1

圖2

圖3

(3)在外力F作用的過程中，物塊與木板均做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出它們?cè)? s時(shí)的瞬時(shí)速度v塊=a1t=2 m/s，v板=a2t=4 m/s，然后畫出v-t圖像(如圖4所示)，圖像中OA表示小物塊的運(yùn)動(dòng)情況，OB表示木板的運(yùn)動(dòng)情況，顯然圖像中△OAB所圍面積的大小即為小物塊到長(zhǎng)木板右端的距離x=1 m。

(4)撤去外力后，需重新分析它們的受力情況、運(yùn)動(dòng)情況。由圖4可知，撤去外力后長(zhǎng)木板的速度大于物塊的速度，那么物塊受到的摩擦力沒有改變，它繼續(xù)做加速度不變的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。木板受摩擦力的作用將做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)此時(shí)其加速度為a3，由-μmg=Ma3，解出a3=-0.5 m/s2，經(jīng)一段時(shí)間t′之后二者共速，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得v共=v塊+a1t′=v板-a3t′，求出t′=0.8 s；v共=3.6 m/s，如圖5所示。由圖5可知四邊形BCDE所圍的面積，即為撤去外力F后，長(zhǎng)木板與物塊相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過程中的對(duì)地位移，求得x板=3.04 m。

圖5

【點(diǎn)評(píng)】受力分析與運(yùn)動(dòng)分析是解決動(dòng)力學(xué)問題的關(guān)鍵，本題中長(zhǎng)木板先受恒定外力作用，一段時(shí)間后該力又被撤去，故長(zhǎng)木板先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，而物塊一直做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。對(duì)于這種多體、多過程問題，借助v-t圖像可形象直觀地把它們的運(yùn)動(dòng)情況給展示出來，很容易就可以求出剛撤去外力F時(shí)，小物塊相對(duì)長(zhǎng)木板的位移大小及長(zhǎng)木板與小物塊達(dá)共速時(shí)長(zhǎng)木板的對(duì)地位移。

二、水平面光滑且物塊有初速度

【例2】如圖6所示，光滑水平面上有一塊靜止的木板，質(zhì)量M=3 kg。某時(shí)刻小物塊以v0=3 m/s的初速度滑上木板的右端，與此同時(shí)對(duì)木板施加一個(gè)F=6 N的水平向右的恒力。小物塊的質(zhì)量m=1 kg，物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，g=10 m/s2。求：

(1)小物塊向左運(yùn)動(dòng)的最大距離；

(2)為使小物塊不脫離木板，木板的長(zhǎng)度至少為多少。

圖6

【分析及解答】(1)物塊向左做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，木板向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物塊的速度減為零時(shí)，即為向左運(yùn)動(dòng)的距離最遠(yuǎn)。對(duì)物塊和木板分別進(jìn)行受力分析，求出其加速度，再結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式畫出物塊與木板運(yùn)動(dòng)的v-t圖像即可求解。

圖7

(2)物塊不脫離木板，表明經(jīng)一段時(shí)間后二者共速，由圖7可知物塊相對(duì)木板會(huì)向左滑動(dòng)，故物塊受到的摩擦力不變，加速度也不變；木板的受力也沒有變化，加速度也不變。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列出方程v共=-a1t2=v+a2t2，解出t2=0.5 s，v共=1.5 m/s。物塊和木板達(dá)共速后，再用整體法和隔離法可判斷它們之后不會(huì)相對(duì)滑動(dòng)，因此可畫出v-t圖像如圖8所示。根據(jù)圖8可知△ODC所圍成的面積即為木板的最小長(zhǎng)度lmin=2.25 m。

圖8

【點(diǎn)評(píng)】物塊以一定的初速度做勻減速直線運(yùn)動(dòng)直到速度減為零，再反向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)直到與木板共速，物塊的運(yùn)動(dòng)具有多個(gè)過程，且物塊運(yùn)動(dòng)同時(shí)木板也在運(yùn)動(dòng)，問題相對(duì)復(fù)雜。通過v-t圖像可將多體、多過程的運(yùn)動(dòng)情況直觀地呈現(xiàn)出來，然后根據(jù)圖像就可以很輕松地求出小物塊向左運(yùn)動(dòng)的最大距離和木板的長(zhǎng)度。

三、水平面粗糙且板、塊均無初速度

【例3】如圖9所示，質(zhì)量為M=1 kg足夠長(zhǎng)的木板B放在水平地面上，其上放有質(zhì)量為m=1 kg的煤塊A，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.1，B與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.2，現(xiàn)對(duì)B施加水平向右的拉力F=8 N，持續(xù)作用3 s后撤去，設(shè)滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力g=10 m/s2，則從開始到A、B均停止的整個(gè)過程中

圖9

(1)A的對(duì)地位移；

(2)A在B上留下的劃痕長(zhǎng)度。

【分析及解答】要求A對(duì)地的位移必須明確A的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，本題中外力作用一段時(shí)間后又撤去且B與地面之間有摩擦，因此物體的受力情況與運(yùn)動(dòng)情況比較復(fù)雜，可借助v-t圖像，厘清思路。

(1)用整體法和隔離法判定A、B是否有相對(duì)滑動(dòng)。假設(shè)外力F=8 N時(shí)，它們相對(duì)靜止，有共同加速度a共，則根據(jù)牛頓第二定律有F-μ2(M+m)g=(M+m)a共，解得a共=2 m/s2；再對(duì)A分析，當(dāng)它相對(duì)B即將滑動(dòng)時(shí)有最大加速度a臨，a臨=μ1g=1 m/s2。可見a共>a臨，故A、B有相對(duì)滑動(dòng)。

(2)下面分撤去F前與撤去F后兩種情況分別對(duì)A、B進(jìn)行受力分析，確定它們的運(yùn)動(dòng)情況。

圖10

圖11

圖12

圖14

圖15

【點(diǎn)評(píng)】該題中外力F作用3 s后撤去，木板與地面有摩擦，煤塊與木板之間也不光滑，因此它們的運(yùn)動(dòng)情況比較復(fù)雜。通過整體法和隔離法可判定A、B是否存在相對(duì)滑動(dòng)，然后又分撤去外力前與撤去后兩個(gè)階段進(jìn)一步分析它們的受力情況與運(yùn)動(dòng)情況，最后借助v-t圖像將它們從開始運(yùn)動(dòng)到停止的整個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)情況直觀地呈現(xiàn)出來，通過圖像很容易就可求出煤塊對(duì)地的位移和在木板上留下的劃痕長(zhǎng)度。

四、總結(jié)

板塊模型是高中物理最常見也最為經(jīng)典的模型之一，它往往涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上研究對(duì)象，且此類題目情境復(fù)雜、綜合性強(qiáng)、能力要求高，學(xué)生學(xué)習(xí)起來難度大。但是借助v-t圖像可直觀地將物體的運(yùn)動(dòng)情況展現(xiàn)出來，讓學(xué)生輕松地突破難點(diǎn)，找到解決問題的方法。因此，在教學(xué)中教師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)圖像解決物理問題的習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生科學(xué)思維能力的提升。