數(shù)學(xué)向量與三角函數(shù)知識在高中物理中的應(yīng)用例析

甘肅 高會平

《普通高中物理課程標準(2017年版2020年修訂)》指出，“物理學(xué)基于觀察與實驗，建構(gòu)物理模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)等工具，通過科學(xué)推理和論證，形成系統(tǒng)的研究方法和理論體系”。在《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)》中指出，“向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景。向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁?？捎孟蛄空Z言、方法表述解決現(xiàn)實生活、數(shù)學(xué)和物理中的問題”。充分體現(xiàn)了數(shù)理是一家，也體現(xiàn)了向量在物理中的重要作用。

向量具有“數(shù)與形”兩方面的特性，其“數(shù)”是用一組有序?qū)崝?shù)對來表示向量的大小和方向；“形”是用一條有向線段來表示向量大小和方向。向量的概念、表示方法和運算法則的確立，使幾何圖形得以量化，圖形之間的關(guān)系代數(shù)化，對于復(fù)雜的圖形，只要能把幾何圖形中的點、線、角等幾何元素用向量來表示，并研究這些向量之間的關(guān)系或利用這些向量之間的關(guān)系研究兩個圖形之間的關(guān)系，再進行向量的運算，就能得到準確的解，再把解轉(zhuǎn)化為幾何圖形間的關(guān)系。

矢量是高中物理中的一個重要的量，貫穿于整個物理學(xué)習的始終，無論是在對物體受力分析、運動過程的分析還是在電磁學(xué)中都有廣泛地使用。而物理中矢量的運算法則和數(shù)學(xué)中向量運算法則完全一樣，除此之外還會用到三角函數(shù)與解三角形等知識來進行求解。

一、根據(jù)向量加法法則和解三角形知識研究矢量的合成與分解

1.向量加法法則有三角形法則和平行四邊形法則。

2.在△OAC中，∠OAC=π-α，根據(jù)余弦定理，有

當α=0°時，向量a與b方向相同，所以|c|=|a|+|b|；當α=180°時，向量a與b方向相反，所以|c|=||a|-|b||；當0°<α<180°時，||a|-|b||<|c|<|a|+|b|。

( )

A.一定增大

B.可能不變

C.可能增大，也可能減小

D.當夾角0°<θ<90°時，合力F一定減小

【解法1】矢量圖示法

圖1

圖2

【解法2】解三角形法

如圖3，在△OAB中，根據(jù)余弦定理

圖3

所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，合力F的大小在區(qū)間(0，-F1·cosθ)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(-F1·cosθ，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，當F2=-F1·cosθ時，F(xiàn)min=F1·sinθ，如圖4所示，故選BC。

圖4

【點評】方法1是利用合力矢量圖求解，可以很直觀地看出合力F的大小變化規(guī)律；方法2利用余弦定理和二次函數(shù)的性質(zhì)，推理計算出合力F的變化規(guī)律，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

【例2】將一個質(zhì)量為m的鉛球放在傾角為α的斜面上，并用豎直擋板擋住，鉛球處于靜止狀態(tài)，如圖5所示。緩慢逆時針繞O點轉(zhuǎn)動擋板至水平位置，不考慮鉛球所受到的摩擦力，試分析鉛球?qū)醢宓膲毫蛯π泵娴膲毫Φ拇笮∽兓?/p>

圖5

【解法1】設(shè)球受到的重力為mg，擋板對小球的壓力為N1，斜面對小球的支持力為N2，如圖6所示，因三力處于平衡狀態(tài)，則三力合成的矢量圖是封閉的三角形，如圖7所示，隨著擋板的轉(zhuǎn)動，N1先減小，后增大，當擋板與斜面垂直時，N1取最小，因為N2方向不變，所以N2一直在變小，且當擋板處于水平位置時，N2取值最小為0。而小球?qū)醢迮c斜面的壓力分別與N1、N2方向相反，但大小變化相同。

圖6

圖7

【點評】解法1是矢量圖示法，關(guān)鍵是要先確定恒力和方向不變的力，其次利用三角形法則，畫出不同狀態(tài)下的三力平衡矢量圖來研究力的變化情況，這就是“化動為靜，靜中求動”的解題策略；解法2是利用正弦定理、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的性質(zhì)、極限等數(shù)學(xué)知識分析力的變化。

二、利用向量的正交分解和直角三角形知識解力的平衡問題。

圖8

設(shè)矢量a和b與x軸的夾角分別為α和β，合矢量記為c，如圖9所示，則他們在x軸和y軸方向上的分矢量分別可寫成：

圖9

ax=a·cosα，ay=a·sinα；

bx=b·cosβ，by=b·sinβ；

cx=ax+bx=a·cosα+b·cosβ；

cy=ay+by=a·sinα+b·sinβ

矢量c的大小為

【例3】(2019·全國卷Ⅲ·3)(改編)用卡車運輸質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓筒狀工作，為使工件保持固定，將其置于兩光滑斜面之間，如圖10所示。兩斜面Ⅰ、Ⅱ固定在車上，傾角分別為30°和60°。重力加速度為g。當卡車沿平直公路以加速度a水平向右做勻加速直線運動的過程中，求圓筒對斜面Ⅰ、Ⅱ壓力的大小。

圖10

【解析】設(shè)兩斜面對圓筒的支持力分別為N1、N2，則圓筒對兩斜面的壓力與N1、N2大小相等，方向相反，設(shè)為F1、F2。

解法1：建立以水平和豎直方向為坐標軸的正交坐標系，如圖11所示，根據(jù)物體的運動狀態(tài)，可列出水平和豎直方向的運動方程

圖11

N1cos60°-N2cos30°=ma

①

N1sin60°+N2sin30°=mg

②

解法2：建立沿兩斜面Ⅰ、Ⅱ方向的正交坐標系，且將加速度分解到兩坐標軸上，如圖12所示。

則有N1-mgcos30°=masin30°,mgsin30°-N2=macos30°；

【解法3】在卡車運動過程中，圓筒除了受到豎直向下的重力mg，還受到兩斜面對圓筒的支持力N1，N2，由重力mg的起點至支持力N2的終點的矢量就是這三個力的合力ma，如圖13所示，則

圖13

則有N1cos30°+N2sin30°=mg，N1sin30°-N2cos30°=ma

【點評】解法1和解法2都是正交分解法，但建系方法不同，體現(xiàn)了根據(jù)問題的特點建立所需的坐標系。對于運動平衡狀態(tài)，首先對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖；其次依據(jù)平衡條件，建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?；第三，根?jù)圖示，尋找?guī)缀侮P(guān)系；第四，列出相應(yīng)的等式或不等關(guān)系式；第五，化簡計算；最后定量分析結(jié)果的物理含義。

三、數(shù)學(xué)中向量分解原則與物理中矢量分解原則的區(qū)別

數(shù)學(xué)中向量的分解要求是只要選定一組基底即可，同一向量所選基底不同，分解結(jié)果也就不同，但都是正確的。而物理中矢量的分解一般具有唯一性條件，其原則是由矢量所產(chǎn)生的效果或由問題的需要來確定分解的方向，即按照“效果或需要”來分解是矢量分解的基本原則。

例如，在傾斜角為α的斜面上放置一塊質(zhì)量為m的木塊，木塊靜止在斜面上，則重力mg所產(chǎn)生的效果，既有使木塊沿斜面下滑的趨勢，又有對斜面產(chǎn)生的壓力，所以對重力進行分解時，應(yīng)沿平行斜面和垂直于斜面兩個方向來分解，如圖14，得到的兩個分力分別是mgsinα和mgcosα。

圖14

圖15

圖16

【例4】如圖17所示，小船在繩的牽引作用下勻速前進，假設(shè)水的阻力不變，試分析小船在靠岸的過程中，所受浮力和繩的拉力如何變化的。

圖17

【解法1】小船所受的力包括重力G、繩子的拉力F、向上的浮力Q和水的阻力f。由于小船勻速前進，則四力處于平衡狀態(tài)，且f和G為恒力。

設(shè)繩子和水平方向的夾角為α，如圖18所示，則有

圖18

Fcosα=f

①

Fsinα+Q=G

②

【解法2】依據(jù)解法1的受力分析，可知四力構(gòu)成了封閉的矢量圖，如圖19所示，在小船靠岸的過程中，角α逐漸增大，拉力F會逐漸增大(由F1到F2)，而豎直向上的浮力Q逐漸減小(由Q1向Q2)。

圖19

【例5】如圖20所示，小船在繩的牽引作用下前進，假設(shè)水的阻力不變，繩子以恒定的速度v0收縮使小船靠岸，求小船的速度v。

圖20

圖21

【點評】學(xué)生對例4與例5的矢量分解最容易混淆，例4中繩子的拉力、浮力、阻力及船的重力處于平衡狀態(tài)，合力F被分解為沿豎直和水平方向的兩個分力，但在例5中，好多同學(xué)誤把繩子的收縮速度當成了船實際的運動速度而分解為沿豎直和水平方向的兩個分速度，如圖22所示，這反映出學(xué)生缺乏對各分量做必要的物理意義分析的能力，如果船有豎直向上的分速度，那么船就會騰空而起，這顯然是不正確的。所以在教學(xué)中有必要提醒學(xué)生要注意各矢量的分解是否符合實際意義，也要辨析清楚物體實際運動速度才是運動的合速度。

圖22

四、向量的坐標法在物理中的應(yīng)用

【例6】已知兩個力(單位：N)F1與F2的夾角為60°，其中F1=(2，0)，某質(zhì)點在這兩個力的共同作用下，由點A(1，1) 移動到點B(3，3)(單位：m)。

(1)求F2；

(2)求F1與F2的合力對質(zhì)點所做的功。

圖23

所以有y=x+2

①

②

【解法2】(1)依照題意和圖23所示，|F1|=2，在△ADC中，∠D=120°，∠DCA=15°

【點評】本題的關(guān)鍵一是要知道力F1的大小和方向，且與另一個力F2的夾角和合力方向，利用向量加法的平行四邊形法則做出矢量合成圖示；二是在求值方法的選取上，因為力F1是用向量坐標表示的，可選取向量坐標法來解，也可以選用正弦定理來解。以上兩點體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理兩學(xué)科在相對應(yīng)知識點上的一致性。本題的解題方法和作圖步驟，有利于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維和方法解決物理問題的意識和能力。

以上各例題有多種解法，每種解法所用的數(shù)學(xué)知識側(cè)重點不同，從不同的角度思考和解決同一物理問題，既能提高學(xué)生物理的解題能力，又能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力，更能為學(xué)生樹立起數(shù)理是一家的觀念，進而培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維與方法思考物理問題的意識。