丟番圖恒等式在高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題中的應(yīng)用

北京市順義牛欄山第一中學(xué) 李啟超 劉愛(ài)軍 （郵編：101300）

丟番圖恒等式表明，如果兩個(gè)正整數(shù)分別為兩個(gè)平方數(shù)之和，那么這兩個(gè)正整數(shù)的乘積也能寫(xiě)成兩個(gè)平方數(shù)之和，即：

其中a、b、c、d可以取任意實(shí)數(shù).

這個(gè)恒等式最早可以追溯到公元3 世紀(jì)丟番圖（Diophantus）的著作《算術(shù)》中[1].公元7 世紀(jì)，婆羅摩笈多（Brahmagupta）把這個(gè)恒等式推廣到更一般的情形（我們?nèi)苑Q(chēng)之為丟番圖恒等式）：

其中a、b、c、d和n可以取任意實(shí)數(shù)，通過(guò)兩邊展開(kāi)，容易驗(yàn)證上面恒等式成立.當(dāng)n=-1 時(shí)，有：

這些恒等式形式簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)優(yōu)美，在數(shù)學(xué)史上曾啟發(fā)了一系列重要發(fā)現(xiàn).它們不僅在初等數(shù)論和多項(xiàng)式問(wèn)題中有重要應(yīng)用，還經(jīng)常出現(xiàn)在各類(lèi)高中數(shù)學(xué)試題中.以下詳細(xì)介紹丟番圖恒等式在兩類(lèi)創(chuàng)新題中的應(yīng)用

1 在集合問(wèn)題和代數(shù)式變形問(wèn)題中的應(yīng)用

例1設(shè)A是兩個(gè)整數(shù)平方和的集合，即A={x|x=m2+n2，m、n∈Z}.

（1）證明：若s、t∈A，則st∈A；

（2）證明：若s、t∈A，t≠0，則，其中p、q是有理數(shù).

分析本題要求驗(yàn)證集合A具有乘法封閉性，即兩個(gè)平方和的乘積仍然可以寫(xiě)成平方和的形式.要證st∈A，只需借助丟番圖恒等式證明其是兩個(gè)整式的平方和即可.

即st是兩個(gè)整數(shù)的平方和，所以st∈A.

（2）由于s、t∈A，由（1）可知，st∈A.于是可以設(shè)st=m2+n2，m、n是整數(shù).又因?yàn)閠≠0，因此

例2設(shè)A是兩個(gè)整數(shù)平方差的集合，即A={x|x=m2-n2，m、n∈Z}.

（1）證明：若s、t∈A，則st∈A；

（2）證明：若s、t∈A，t≠0，則，其中p、q是有理數(shù).

分析與上一個(gè)例題類(lèi)似，要證st∈A，只需借助丟番圖恒等式證明其是兩個(gè)整式的平方差即可.

即st是兩個(gè)整數(shù)的平方差，所以st∈A.

（2）由于s、t∈A，由（1）可知，st∈A.于是可以設(shè)st=m2-n2，m、n是整數(shù).

又因?yàn)閠≠0，因此

例3已知a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0.求證：a2+c2=1,b2+d2=1,ab+cd=0.

分析這道題有明顯的線(xiàn)性代數(shù)背景：如果2×2 矩陣中，兩個(gè)行向量是單位正交向量，則這個(gè)矩陣是正交矩陣，從而兩個(gè)列向量也是單位正交向量.本題的常規(guī)方法是三角換元，或者比值代換，其實(shí)借助丟番圖恒等式也可解決.

證明根據(jù)丟番圖恒等式(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2，可知1=0+(ad-bc)2，從而ad-bc=±1.

（1）當(dāng)ad-bc=1 時(shí)，將視為關(guān)于(c,d)的二元一次方程組，

代回條件a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0，可得a2+c2=1,b2+d2=1,ab+cd=0；

（2）當(dāng)ad-bc=-1 時(shí)，將視為關(guān)于(c,d)的二元一次方程組，

代回條件a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0，可得a2+c2=1,b2+d2=1,ab+cd=0.證畢.

2 在高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題中的應(yīng)用

丟番圖恒等式還可以用于解決一些與平方和（差）有關(guān)的競(jìng)賽最值問(wèn)題，試看幾例：

例4(2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A1 卷一試第8題) 已知正實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足如下條件：存在a∈[0,x]，b∈[0,y]，使得a2+y2=2,b2+x2=1,ax+by=1.則x+y的最大值為_(kāi)_____.

分析題目給出的等式條件中有好幾處平方和的結(jié)構(gòu)，這啟發(fā)我們不妨試試丟番圖恒等式.

解答根據(jù)丟番圖恒等式(a2+y2)(x2+b2)=(ax+by)2+(ab-xy)2，可知(ab-xy)2=1.又因?yàn)閤≥a≥0,y≥b≥0，可知xy-ab=1.

說(shuō)明以上題目，主試委員會(huì)提供的標(biāo)準(zhǔn)答案是使用三角換元法.上面借助丟番圖恒等式，解題過(guò)程更加簡(jiǎn)潔.

例5(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試第10題 第（1）問(wèn)) 設(shè)復(fù)數(shù)z1、z2滿(mǎn)足Re(z1)>0，Re(z2)>0，且（其中Re(z)表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部）.求Re(z1z2)的最小值.

分析將復(fù)數(shù)z1、z2寫(xiě)成實(shí)數(shù)分量形式，容易發(fā)現(xiàn)條件Re(z1)>0，Re(z2)>0，且等價(jià)于復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在雙曲線(xiàn)x2-y2=2 的右半支上.接下來(lái)，根據(jù)丟番圖恒等式不難解決問(wèn)題.

完全類(lèi)似的方法，還可以解決下面的2006年北京市高考理科數(shù)學(xué)解析幾何問(wèn)題，將其視為例5 的變式練習(xí)題.

例6已知點(diǎn)M(-2,0)、N(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足條件.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.

（1）求W的方程；

（2）若A、B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.

解答(1)根據(jù)雙曲線(xiàn)定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn)的右半支，軌跡W的方程為x2-y2=2(x>0)；

說(shuō)明這是一道解析幾何問(wèn)題，常規(guī)解法是先聯(lián)立直線(xiàn)AB和曲線(xiàn)W的方程，然后借助韋達(dá)定理將寫(xiě)成關(guān)于直線(xiàn)AB斜率和截距的函數(shù)再求最值.以上解法借助推廣的丟番圖恒等式，形式緊湊，思路清晰，而且不必分類(lèi)討論直線(xiàn)AB斜率不存在的特殊情形.

3 總結(jié)

丟番圖恒等式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔，應(yīng)用廣泛.有意識(shí)地借助丟番圖恒等式解決問(wèn)題，可以提高學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力和知識(shí)遷移能力.對(duì)于學(xué)有余力的高中生，我們不妨在選修課上適當(dāng)介紹這類(lèi)恒等式在各類(lèi)問(wèn)題中的應(yīng)用.