關(guān)于丟番圖方程(1048575n)x+(2048n)y=(1048577n)z*①

冉銀霞

(隴南師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)信學(xué)院,甘肅 成縣 742500)

設(shè)a,b,c為本原商高數(shù)，即滿足a2+b2=c2,(a,b)=(b,c)=(c,a)=1,a,b,c>0.對(duì)于丟番圖方程

(na)x+(nb)y=(nc)z(n為任意的正整數(shù))，

(1)

(x,y,z)=(2,2,2)是勾股數(shù)組,顯然滿足方程(1).把(x,y,z)=(2,2,2)叫作方程(1)的平凡解.當(dāng)n=1時(shí),在[1]、[2]中,得到了當(dāng)(a,b,c)=(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)或(11,60,61)時(shí),方程(1)都僅有平凡解(x,y,z)=(2,2,2)的結(jié)論.

當(dāng)n為任意正整數(shù)時(shí),[3-16]中,得到了當(dāng)(a,b,c)=(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),(11,60,61),(13,84,85),(15,112,113),(8,15,17),(12,35,37),(20,21,29),(28,45,53),(36,77,85),(65,72,97),(44,117,125),(24,143,145),(48,55,73),(60,91,109),(56,33,65),(80,39,89),(20,99,101)時(shí),方程(1)都僅有平凡解(x,y,z)=(2,2,2)的結(jié)論.另外,胡邦群[17]對(duì)a-b=m(m≡7,3,5(mod 8)),n=b,m?n的情況,找到了某些使該猜想成立的正整數(shù)n;茍莎莎[18]對(duì)a-b=m(m≡7,3,5(mod 8)),n=b,(m,n)=1的情形,證明了若m≡3,5(mod 8),m含模8余3的因子,則當(dāng)2n+m不含4k+1型素因子時(shí),該猜想成立;楊海等[19]證明了方程(1)沒有滿足max{x,y}>min{x,y}>z及n>1的解,尤其a=P(P為奇素?cái)?shù)),b=2時(shí),方程(1)沒有滿足x>z>y及n>1的解;楊海等[20]證明了(a,b,c)=(2r+1+1,22r+1+2r+1,22r+1+2r+1+1),r∈N*時(shí),除了平凡解(x,y,z)=(2,2,2),當(dāng)n>1時(shí),方程(1)的解都滿足x>z>y.

本文討論了 (a,b,c)=(1048575,2048,1048577) 的情況,得到了以下結(jié)論:

定理1對(duì)任意的正整數(shù)n,指數(shù)型不定方程

(1048575n)x+(2048n)y=(1048577n)z

(2)

僅有平凡解(x,y,z)=(2,2,2).

1 若干引理

引理1[21]丟番圖方程(u2-1)x+(2u)y=(u2+1)z僅有整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2).

引理2[22]設(shè)a,b,c是兩兩互素的正整數(shù)且滿足a2+b2=c2.若丟番圖方程ax+by=cz僅有整數(shù)解,則方程(1)沒有滿足z

引理3[23]設(shè)z≥4為整數(shù),則有：(i) 不定方程P4+Q2=Rz沒有滿足gcd(P,Q)=1的非零整數(shù)解(P,Q,R);(ii) 不定方程P4+2Q2=Rz沒有滿足gcd(P,Q)=1且z≠5的非零整數(shù)解(P,Q,R).如果z=5,則該方程僅有整數(shù)解(P,Q,R)=(1,11,3).

2 定理1的證明

根據(jù)引理1、2,只需研究(2)在n≥2且min{x,y}

情形1x>z>y.此時(shí)方程(2)可化為

2048y=nz-y(1048577z-1048575xnx-z).

(3)

顯然2048=211,所以n=2r(r≥1 ) ,因此一定有

2r(x-z)·3x·52x·11x·31x·41x=(10485772)z/2-1.

(4)

而1048577+1=2·3·174763,故174763|(10485772)z/2-1,但174763?2r(x-z)·3x·52x·11x·31x·41x，所以式(4)不成立.

情形2y>z>x.此時(shí)方程(2)可化為

1048575x=nz-x(1048577z-2048yny-z).

(5)

由于gcd(1048575,1048577)=1,所以gcd(nz-x,1048577z-2048yny-z)=1.由此可見

nz-x=a1x,1048577z-2048yny-z=a2x,a1a2=a,(a1,a2)=1.

(6)

我們可以推出a2>1.事實(shí)上,如果a2=1,那么由 (6) 知,我們有

2048yny-z=1048577z-1.

(7)

因?yàn)?048577≡1(mod 4),n為奇數(shù),所以可以得到

11y=v2(1048577z-1)=20+v2(z).

(8)

由于n≥2且n為奇數(shù),所以n≥3.再由(6)的第一式知a1≥3為奇數(shù).

接下來,我們說明x,z均為偶數(shù).由于

1048577≡1(mod 220),2048y≡0(mod 220),

(9)

下面尋找(9)左邊的上界.設(shè)ε=±1,那么a2≡ε(mod 4).

如果ε=1 ,則

注意到a=a2a2=1048575,則有

因此v2(x)≥2,從而有4 |x.

(10)