一類熱傳導(dǎo)方程第二邊值問(wèn)題的收斂性定理*①

馬林濤,孫 婷,黃榮里

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 桂林 541006)

0 引言

本文研究一維拋物型方程第二邊值問(wèn)題的長(zhǎng)時(shí)間漸近行為,其極限解與平移孤立子密切相關(guān).演化方程的特殊解通常又稱為孤立子,孤立子在演化過(guò)程中保持其形狀.例如,在平均曲率流中有兩類非常重要的孤立子,它們分別是自收縮解和自膨脹解以及通過(guò)平移演化而來(lái)的平移解.孤立子是拋物方程解的一個(gè)有趣的例子,它們是精確的解,它們的演化是完全已知的,通常可以通過(guò)求解相應(yīng)的橢圓方程得到.鑒于此，我們考慮利用經(jīng)典傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)證明一類帶熱源的熱傳導(dǎo)方程第二邊值問(wèn)題的解的極限必然是一類平移孤立子,而且這類平移孤立子可以通過(guò)求解一類二階微分方程得到.關(guān)于拋物型方程第二邊值問(wèn)題的漸近行為,已有的研究結(jié)果如下.

設(shè)Ω是Rn中具有光滑邊界的有界區(qū)域,S為Sn的連通開(kāi)集,其中Sn為n階實(shí)對(duì)稱矩陣的集合.給定函數(shù)u0：Ω→R，文獻(xiàn)[1]考慮了具有第二邊界條件的非線性拋物型方程

(1)

由方程(1)可以得到一類特殊的方程

及其解

滿足

本文考慮一維拋物型方程第二邊值問(wèn)題

(2)

其中f(x,t)表示物體內(nèi)部熱源強(qiáng)度,a,b為兩個(gè)常數(shù),u0(x)是區(qū)間[0,1]上的光滑函數(shù).在物理意義上該模型描述了一種金屬棒在區(qū)間[0,1]上與兩個(gè)端點(diǎn)0,1進(jìn)行熱交換的熱傳導(dǎo)問(wèn)題.我們的主要目的是分析當(dāng)f(x,t)≠0時(shí),方程的解的漸近性質(zhì).

接下來(lái)在給出建立本文主要結(jié)論需要用到的預(yù)備知識(shí)后,再分析一維拋物型方程第二邊值問(wèn)題(2)在一定假設(shè)下解的漸近性態(tài).根據(jù)經(jīng)典傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)我們發(fā)現(xiàn)一維帶熱源的拋物型方程第二邊值問(wèn)題的解在長(zhǎng)時(shí)間的漸近行為下其極限必然是一類平移孤粒子.

1 預(yù)備知識(shí)

命題1.1(Fourier級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分定理)[2]設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),

f(0)=f(1),且除有限個(gè)點(diǎn)外f(x)可導(dǎo).進(jìn)一步假設(shè)f'(x)在[0,1]上可積或絕對(duì)可積(注意：f'(x)在有限個(gè)點(diǎn)可能無(wú)定義,但這并不影響其可積性),則f'(x)的Fourier級(jí)數(shù)可由f(x)的Fourier級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分得到,即

命題1.2(L'Hospital法則)[3]設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在(a,a+d]上可導(dǎo)(d是某個(gè)正常數(shù)),且g'(x)≠0.若此時(shí)有

或

成立.

2 主要結(jié)論

定理2.1設(shè)

(1) ?x∈[0,1],f(x,t)→f0(x)(t→∞);

(2)f(x,t)在[0,1]×(0,∞)上連續(xù),

則方程(2)的解u(x,t)滿足

(3)

注2.1定理中f(x,t)需滿足當(dāng)t→∞時(shí)f(x,t)收斂于f0(x),且f(x,t)要為區(qū)域[0,1]×(0,∞)上的連續(xù)函數(shù)這一條件說(shuō)明在滿足上述條件的情況下,求積分與求極限可交換.但很遺憾滿足連續(xù)這個(gè)條件的函數(shù)不多,故若能將這一條件放寬將是一個(gè)更有趣的問(wèn)題.

定理2.2設(shè)

(1) ?x∈[0,1],f(x,t)→f0(x)(t→∞);

(3)f(x,t)在[0,1]×(0,∞)上連續(xù),

則方程(2)的解u(x,t)滿足

3 定理的證明

定理2.1的證明根據(jù)經(jīng)典線性偏微分方程理論中的疊加原理[4]及分離變量法[5],我們可得方程(2)的解u(x,t)的表達(dá)式如下：

其中

λn=nπ,

到此我們令

即有

接下來(lái),記

(4)

由w(x)的定義及Fourier級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分定理[2]我們對(duì)(4)逐項(xiàng)求導(dǎo)可得

(5)

(6)

為了下面求解方便,將f0(x)+(b-a)傅里葉余弦展開(kāi)得

(7)

再將(7)移項(xiàng)后帶入(6)得

最后,將x=0,x=1分別代入方程(5)中得

w'(0)=a,w'(1)=b.

綜上,可以得到方程組

(8)

由定理2.1可知當(dāng)t→∞時(shí),

故為證明定理2.2成立,僅需證當(dāng)t→∞時(shí),

即當(dāng)t→∞時(shí),

定理2.2的證明由條件(1)可知

故有

4 結(jié)束語(yǔ)

本文發(fā)現(xiàn)一維帶熱源的拋物型方程第二邊值問(wèn)題的解在長(zhǎng)時(shí)間的漸近行為下其極限必然是一類平移孤立子.對(duì)一般的非線性拋物方程(1),如果算子F與時(shí)間t有關(guān),那么該收斂性定理是否成立依然有待進(jìn)一步研究.