受軸向激勵彈性支承梁的穩(wěn)定性分析

張弛 毛曉曄 丁虎 陳立群

（上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200444）

引言

彈性支承梁是工程結(jié)構(gòu)中最重要的元件之一，工程中的梁結(jié)構(gòu)與相鄰的系統(tǒng)相互作用，承受載荷，當(dāng)受到激勵作用時，結(jié)構(gòu)的支座彈簧和阻尼可以有效緩解激勵作用，提高結(jié)構(gòu)抗力[1，2]，采用彈性支承梁可以提高結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，而且理論上彈性結(jié)構(gòu)的約束也不可能是絕對的剛性支撐，所以彈性支承梁在建筑、橋梁和防護工程中都有廣泛的應(yīng)用，如防沖擊梁結(jié)構(gòu)[1]，以及彈性橡膠支座的橋梁結(jié)構(gòu)[3].同時，飛機中的管道結(jié)構(gòu)也可簡化為梁模型，這類管道在非定常流或外界激勵影響下會發(fā)生劇烈振蕩，進而損壞[4]，這類問題引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[5，6].Mao等[7]研究了超臨界條件下，輸流管道3：1內(nèi)共振的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).Tan等[8-10]采用Timoshenko梁模型對輸流管道進行了一系列研究.較早的研究者多將目光集中于軸向運動速度和系統(tǒng)固有頻率之間的關(guān)系，以及臨界流速處的發(fā)散失穩(wěn)上.這些研究往往都是基于理想化的支承情況，在實際工程中已有使用彈性支承構(gòu)件減輕結(jié)構(gòu)振動的實例.

1996年，Kang和Kim[11]研究了彈性支承梁和板的模態(tài)特性與橫向自由振動.2000年，夏季和朱目成等人給出了帶有多個彈性支承與集中質(zhì)量的梁的固有頻率的精確計算方法[12].之后Li使用了一種新的方法來分析兩端具有任意彈性支承邊界梁的模態(tài)特性[13]，并將其推廣到二維問題的研究中[14，15].2013 年，Li等[16]在梁的兩端同時加上了扭轉(zhuǎn)彈性約束和豎向彈性支承約束并研究了其對梁固有頻率的影響.2017年，Gan等[17]利用有限元建模，研究了中間彈性支承的位置和剛度對動點荷載作用下功能梯度歐拉-伯努利梁振動的影響.2018年，Ding等[18]研究了彈性支承彈性結(jié)構(gòu)的力傳遞問題并證明了其研究的必要性，之后Ding等[19]分析發(fā)現(xiàn)彈性邊界會對彈性梁非線性特性產(chǎn)生顯著的影響.然而，以上工作大部分是對彈性支承結(jié)構(gòu)的自由振動或是其在橫向激勵下受迫振動的研究.近年來關(guān)于軸向運動體參激振動的研究受到廣泛關(guān)注[20-25]，2019年，Li等研究了兩端帶有彈簧支撐的軸向運動梁的特性，分析了彈簧剛度對臨界速度的影響，同時通過力傳遞率研究了系統(tǒng)的隔振效果[26].而受軸向力激勵的彈性支承梁的相關(guān)研究仍然較少.

對于工程中普遍存在的受軸向載荷梁，早在1975年，Shaker[27]就已經(jīng)分析了軸向載荷對端部帶有集中質(zhì)量均勻懸臂梁固有頻率和振型的影響.到上世紀90年代，已有許多相關(guān)的研究成果[28-32].2000年，Ji和Hansen[33]對一端固定一端滑動屈曲梁在軸向簡諧載荷作用下的非線性響應(yīng)進行了實驗研究，同時還考察了不同阻尼下的不穩(wěn)定區(qū)和混沌響應(yīng)區(qū).2004年，Naguleswaran[34]研究了均勻歐拉-伯努利梁在沿軸向線性分布全拉伸、部分拉伸和全壓縮軸向力作用下的橫向振動.2005年，Liu和Chang[35]研究了一般邊界條件下磁彈性梁在磁力、軸向力和彈簧力作用下的振動.Pratiher和Dwivedy[36]采用多尺度法確定了端部質(zhì)量懸臂梁在時變磁場和軸向力作用下的參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)，得到了各個系統(tǒng)參數(shù)對參數(shù)失穩(wěn)區(qū)域的影響.2008年，Yang等[37]對含開口邊裂紋非均勻歐拉-伯努利梁受軸向壓力和沿縱向移動集中橫向載荷的自由振動和受迫振動進行了分析研究.2011年，Li等[38]對具有初始軸向張力簡支納米梁的橫向振動展開了研究，發(fā)現(xiàn)外部軸向張力和非局部納米尺度參數(shù)對非局域納米梁的非線性振動行為有重要影響.2015年，Li[39]提出了一種解析方法，并采用該方法和有限元法分別計算了兩端鉸支梁和兩端固定梁在軸向拉力和軸向壓力作用下的動力響應(yīng)，驗證了其有效性.2020年，Zhou等[40]研究了軸向基礎(chǔ)激勵與內(nèi)流速度對輸液管道非線性受迫振動的聯(lián)合影響.同年，Zhao等[41]提出了軸向壓縮載荷作用下耦合Timoshenko雙梁系統(tǒng)橫向受迫振動的適用于任何邊界條件的廣義解，并討論了高長比、剪切效應(yīng)、轉(zhuǎn)動慣量等物理參數(shù)以及軸向壓縮載荷的影響.不過，這些研究中梁都是建立在簡支、固支、自由幾種典型邊界上.當(dāng)邊界受彈性約束，受到軸向力作用梁的臨界屈曲軸力、振動穩(wěn)定性都可能會發(fā)生變化，這對于彈性結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性設(shè)計至關(guān)重要.目前尚未有相關(guān)研究成果發(fā)表.

基于以上調(diào)研，本文將重點研究支撐彈簧剛度對受軸向激勵彈性支承梁橫向非線性振動的影響.第一節(jié)利用Hamilton原理建立受軸向激勵彈性支承梁的非線性動力學(xué)控制方程.第二節(jié)進行模態(tài)分析，研究支撐彈簧剛度對系統(tǒng)臨界軸力和固有頻率的影響.第三節(jié)將使用Galerkin法將方程進行截斷，得到一系列常微分方程，并進行無量綱化.第四節(jié)利用多尺度法對該參激振動進行近似解析求解，分析激勵幅值、支撐剛度、平均軸力等參數(shù)對系統(tǒng)非線性響應(yīng)的影響，然后通過穩(wěn)定性分析研究支撐彈簧剛度、阻尼系數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定邊界的影響，并進行數(shù)值驗證.第五節(jié)得到結(jié)論.

1 數(shù)學(xué)模型和控制方程

如圖1所示，梁的長度為L，兩端彈簧支承剛度分別為KL和KR，ρ為梁的質(zhì)量密度，A為橫截面面積，E為彈性模量，I是梁關(guān)于中心軸的橫截面慣性矩.梁受軸向張力P，該軸向力由平均張力P0與脈動張力P1組成.

圖1 受軸向激勵彈性支撐梁物理模型Fig.1 The model of axially excited beam with elastic boundaries

利用Hamilton原理建立系統(tǒng)運動控制方程

其中，δTk為梁的虛動能，δVp為梁的虛勢能，δVs為梁兩端支承彈簧的虛勢能.梁的虛動能的表達式為

其中W（X，T）和 U（X，T）分別表示梁的橫向位移和縱向位移，由于縱向位移微弱，可以忽略不計.梁的虛勢能的表達式為

其中 ε（X，Z，T）和 σ（X，Z，T）分別是非線性軸向Lagrange應(yīng)變和軸向擾動正應(yīng)力.采用Kelvin黏彈性本構(gòu)關(guān)系模型

2 模態(tài)及頻率

嚴格滿足非線性偏微分方程的解是幾乎不可能得到的，按照動力學(xué)經(jīng)典方法，首先基于線性派生系統(tǒng)，求得滿足邊界的模態(tài)函數(shù)，因此忽略控制方程中的非線性項、阻尼項，得到系統(tǒng)的線性派生方程及其邊界條件

其中C1為非零常數(shù).如果存在非平凡解，那么系數(shù)矩陣行列式值為零，由此求得系統(tǒng)的固有頻率.

表1給出了本文研究的梁的物理參數(shù)值以及幾何參數(shù)值.

表1 梁的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of the beam

圖2給出了在不同支撐彈簧剛度下，系統(tǒng)第一階固有頻率隨軸向張力的變化情況.可以看出，隨著軸向張力的增加，梁的固有頻率逐漸減小.當(dāng)梁的第一階固有頻率為零時，結(jié)構(gòu)發(fā)生靜態(tài)失穩(wěn)（又稱屈曲失穩(wěn)），此時對應(yīng)的軸向力稱為臨界軸力.由圖2中可知對應(yīng)的臨界軸力如表2所示：

圖2 不同支撐剛度下的第一階固有頻率Fig.2 The first natural frequencies of different supporting stiffnesses

表2 不同支撐剛度對應(yīng)的臨界軸力Table 2 The critical axial force of different stiffnesses

表2的結(jié)果表明，對稱支撐條件下，彈簧剛度的大小對臨界軸力沒有影響.

3 Galerkin截斷

4 參激共振穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

4.1 多尺度法分析過程

用于數(shù)值計算的梁參數(shù)與表1相同，系統(tǒng)的初始軸力為200 N，激勵幅值為60 N.Runge-Kutta法數(shù)值計算時長取1000個周期，每個周期內(nèi)取50個點，初始位移均取為4×10-4，初始速度均取為0.

圖3（a）和圖 3（b）分別為 kL=kR=50，ωb=2ω1=58.07Hz時的全局和局部時程圖，可以看出此時系統(tǒng)已經(jīng)進入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，仿真時長足夠，取響應(yīng)進入穩(wěn)態(tài)最后一個周期響應(yīng)的最大位移作為幅值，驗證彈性梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的近似解析解.

圖3 梁中點處穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時程圖Fig.3 Time history of steady-state response

圖4（a）和圖（b）對比了兩組剛度下通過二階、四階、六階截斷得到梁中點處穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的數(shù)值仿真結(jié)果.觀察發(fā)現(xiàn)，二階截斷在共振區(qū)域邊緣處，振幅較小時與四階和六階截斷得到的結(jié)果差異較大，而四階和六階截斷的結(jié)果吻合得很好，故本文后續(xù)研究均采用四階截斷，取n=4.

圖4 不同截斷階數(shù)對比Fig.4 Comparison of different truncation orders

圖5利用Runge-Kutta法計算的數(shù)值解對多尺度近似解析結(jié)果進行了驗證，圖中實線代表近似解析解，散點代表數(shù)值仿真實驗結(jié)果.從圖中的對比可以發(fā)現(xiàn)，近似解析解具有令人滿意的計算精度，因此，本文接下來采用近似解析法對系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)做進一步分析.此外，由于立方非線性產(chǎn)生作用，且立方非線性項系數(shù)為正數(shù)，所以穩(wěn)態(tài)響應(yīng)共振峰向右偏移，系統(tǒng)呈現(xiàn)硬非線性特征.

圖5 梁中點處幅頻響應(yīng)解析與數(shù)值結(jié)果對比Fig.5 Comparison of analytical and numerical results

4.2 穩(wěn)定性判斷

為了研究零解的穩(wěn)定性，按照am和βm提取方程（43）左端的Jacobian矩陣，得到：

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，可以得出二次代數(shù)特征方程根不包含正實部的充分必要條件是特征方程中所有的系數(shù)均為正數(shù)，可得：

圖6給出了支撐剛度KL=KR=5741.67N/m（kL=kR=50）時，阻尼系數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域的影響.從圖中可以看出，系統(tǒng)的穩(wěn)定性隨著阻尼的增大而增大，且越靠近共振區(qū)域影響越顯著.這表明提高系統(tǒng)的阻尼，不僅可以提高發(fā)生參激共振的閾值，而且在同樣的脈動壓力下，系統(tǒng)必然發(fā)生參激共振的帶寬也會縮小.圖7給出了阻尼系數(shù)α=1.389 ×10-7N s/m2（μ=2）時，支撐彈簧剛度對系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域的影響.從圖中可以看出，系統(tǒng)的穩(wěn)定性隨著剛度的增大而減小，且越遠離共振區(qū)影響越顯著.這種趨勢表明，適當(dāng)降低兩端約束的剛度對抑制參激共振是有利的，不僅可以提高參激共振的閾值，還能在同樣的激勵條件下，顯著減小系統(tǒng)必然產(chǎn)生參激響應(yīng)的帶寬.

圖6 阻尼系數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響Fig.6 The influence of damping coefficient

圖7 支撐彈簧剛度對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響Fig.7 The influence of supporting spring stiffness

圖8（a-c）分別給出了在不同支撐剛度、不同激勵幅值以及不同平均軸力下系統(tǒng)共振區(qū)域附近的非線性響應(yīng)，圖8（d）則展現(xiàn)了在平均軸力和支撐剛度共同作用下系統(tǒng)的非線性響應(yīng)，其中虛線代表不穩(wěn)定解，實線、點線與點劃線代表穩(wěn)定解.從圖8（a）中可以看出，系統(tǒng)呈現(xiàn)出硬非線性特征，而隨著支撐剛度的增大，系統(tǒng)的固有頻率增大，共振區(qū)域向高頻移動，發(fā)生共振的區(qū)間增大，同時系統(tǒng)的硬非線性特征增強.由圖8（b）可以看出，隨著激勵幅值的增大，兩支解的間距增大，系統(tǒng)發(fā)生共振的頻率區(qū)間變大，在相同激勵頻率下，共振幅值也同時增大，系統(tǒng)的軟硬特性不變.由圖8（c）可見，當(dāng)平均軸力增大時，共振區(qū)域向低頻移動，發(fā)生共振的區(qū)間和共振幅值增大.從圖8（d）中可以看出，當(dāng)支撐剛度和平均軸力都較大時，系統(tǒng)的失穩(wěn)區(qū)域較大，此時最易發(fā)生參激共振進而導(dǎo)致失穩(wěn).

圖8 系統(tǒng)參數(shù)對非線性響應(yīng)的影響Fig.8 The influence of system parameters on nonlinear response

可以看出當(dāng)兩支解的間距越大，系統(tǒng)必然發(fā)生參激共振的區(qū)域越大，支撐剛度越小系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域越大，這與上一小節(jié)中得到的結(jié)果相符，但還發(fā)現(xiàn)：減小支承剛度增大穩(wěn)定區(qū)域的同時系統(tǒng)的共振幅值也會有所增大，這說明系統(tǒng)一旦發(fā)生參激共振，振動將會更加劇烈，在實際工程中需要更加注意.而當(dāng)外激勵頻率不變時，也可以通過改變支承剛度來避開共振區(qū)域以達到保護結(jié)構(gòu)的目的.對于激勵幅值和平均軸力，系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域隨其增大而減小，共振幅值隨其增大而增大.

5 結(jié)論

本文以受軸向激勵彈性支承梁為研究對象，采用Hamilton原理進行了動力學(xué)建模，并進行了模態(tài)分析，求得了系統(tǒng)固有頻率.然后利用Galerkin截斷方法分別與多尺度法和Runge-Kutta方法結(jié)合，求得了近似解析解與數(shù)值解，并基于這兩種結(jié)果分析了激勵幅值、彈簧支撐剛度和平均軸向張力對系統(tǒng)非線性響應(yīng)的影響.之后根據(jù)求得的近似解析解，通過Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)，得到了系統(tǒng)在不同阻尼系數(shù)和支撐彈簧剛度下的穩(wěn)定邊界，并進行了數(shù)值驗證.經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的固有頻率會隨軸向壓力的增大而減小，隨著支撐彈簧剛度的增大而增大，但是使系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)的臨界軸力并不會隨對稱的支撐彈簧剛度發(fā)生變化；增大阻尼系數(shù)可以增大系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域，并且越靠近共振頻率，阻尼系數(shù)的改變所產(chǎn)生的影響越大；減小支撐彈簧剛度將增大系統(tǒng)的零解穩(wěn)定區(qū)域，且越偏離共振頻率，彈簧剛度的改變所產(chǎn)生的影響越大；整個非線性系統(tǒng)呈現(xiàn)硬特性，隨著支撐剛度的增加或平均軸力的減小，系統(tǒng)的硬特性增強.而隨著支撐剛度的減小、平均軸力的增大或激勵幅值的增大，系統(tǒng)的共振幅值增大.總之，以上研究結(jié)果將為工程中大量存在的彈性體穩(wěn)定性設(shè)計提供理論指導(dǎo).