環(huán)形天線結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動力學(xué)研究*

馬文賽 呂書鋒? 楊紹武 張偉

（1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，呼和浩特 010051）（2.北京信息科技大學(xué)機電學(xué)院，北京 100192）

（3.北京工業(yè)大學(xué)材料與制造學(xué)部，北京 100124）

引言

航天技術(shù)的迅速發(fā)展對新型衛(wèi)星天線技術(shù)提出了更高要求，大口徑、高精度、低質(zhì)量以及高強度等特征已成為大型衛(wèi)星天線設(shè)計的必然趨勢.環(huán)形桁架可展開結(jié)構(gòu)具有應(yīng)用空間大、結(jié)構(gòu)形式簡明的特點，天線口徑可達50米，但質(zhì)量并沒有隨口徑的增大成正比例增加，也不會改變結(jié)構(gòu)形式，因此環(huán)形桁架可展開結(jié)構(gòu)是目前大型衛(wèi)星天線較為理想的結(jié)構(gòu)形式.目前，地球觀測，陸地遙感以及聲控探測等都受益于環(huán)型桁架衛(wèi)星.然而目前國內(nèi)對環(huán)形桁架可展結(jié)構(gòu)的理論和實踐都十分匱乏，因此對環(huán)形桁架可展結(jié)構(gòu)在太空條件下振動的理論研究是十分迫切和重要的，它能夠為將來實踐提供理論基礎(chǔ).本論文的桁架采用復(fù)合材料，通過均勻化理論將環(huán)型桁架等效成圓柱殼結(jié)構(gòu)，得到環(huán)型桁架的等效剛度，從而將環(huán)型桁架等效成圓柱殼.

可展開結(jié)構(gòu)工作過程如下：在航天器發(fā)射前處于收攏狀態(tài)，在發(fā)射入軌接受到指令后開始展開，完成展開后鎖定并且保持工作狀態(tài).陳務(wù)軍等[1]介紹了大型構(gòu)架式展開天線關(guān)鍵部件的設(shè)計構(gòu)思，主要包括：天線總體選型及布置，單向折疊展開臂支撐背架，復(fù)合剪式鉸外環(huán)，饋源支架，索網(wǎng)設(shè)計與反射面調(diào)整，180°能量鉸等驅(qū)動機構(gòu).Li[2]對環(huán)形桁架可展開天線的展開動力學(xué)進行了仿真，總結(jié)了初始速度、阻尼和重力對展開的影響.在考慮扭轉(zhuǎn)彈簧剛度、節(jié)點阻尼、重力和網(wǎng)架預(yù)張力的情況下，對環(huán)桁架可展開天線展開動力學(xué)進行了分析和控制.Morterolle等[3]提出了一種計算測地張力桁架的新方法，既保證了節(jié)點的正確定位，又保證了張力的均勻性.You等[4]提出了一種考慮系統(tǒng)鉸鏈間隙和反射面柔性影響的衛(wèi)星天線系統(tǒng)建模與分析方法.Zhang等[5]對高波束指向精度網(wǎng)狀天線進行了一種兩步結(jié)構(gòu)設(shè)計.此外，胡海巖等[6]綜述了大型可展天線研究現(xiàn)狀和進展，提出了大型可展天線在結(jié)構(gòu)設(shè)計、動力學(xué)建模與控制和仿真模擬實驗中需要注意的問題.

圓柱殼結(jié)構(gòu)的動力學(xué)分析對工程設(shè)計具有非常重要的指導(dǎo)意義.在一些實際工程應(yīng)用中，非線性振動系統(tǒng)會出現(xiàn)在線性系統(tǒng)中不出現(xiàn)的現(xiàn)象，如跳躍、分叉以及混沌運動等.由于不同振動模態(tài)之間可能會產(chǎn)生相互作用，從而導(dǎo)致系統(tǒng)振動模態(tài)之間出現(xiàn)能量交換，進而產(chǎn)生復(fù)雜的非線性動力學(xué)問題，因此研究環(huán)形桁架等效圓柱殼的非線性內(nèi)部共振及其復(fù)雜動力學(xué)特性對工程實際問題具有重要的理論指導(dǎo)意義.Liu等[7]研究了復(fù)合材料層合圓柱殼的非線性振動問題.Zhang等[8]研究了空間環(huán)境中圓形網(wǎng)格天線在熱激勵下的連續(xù)模型和非線性動力響應(yīng).Yang等[9]研究了碳纖維增強聚合物（CFRP）層合圓柱殼在1：2內(nèi)共振、主參數(shù)共振和1/2次諧波共振下的非線性振動.Wu等[10]研究了圓形桁架天線在展開鎖定情況下的頻率特性.綜上文獻可以看出，研究環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼的全局分叉和多脈沖混沌動力學(xué)的文獻較少.然而，全局分叉和多脈沖混沌動力學(xué)的研究有助于解釋環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼多脈沖跳躍現(xiàn)象以及混沌現(xiàn)象，從而發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定的機理，便于對系統(tǒng)進行有效控制.

在實際工程問題中，高維擾動非線性Hamilton系統(tǒng)可以用來描述實際工程所抽象出來的數(shù)學(xué)模型和動力學(xué)方程，并且高維非線性系統(tǒng)的全局分叉和混沌動力學(xué)能夠揭示系統(tǒng)的運動不穩(wěn)定性和復(fù)雜的動力學(xué)行為.對于高維系統(tǒng)，許多學(xué)者把Melnikov方法和其它攝動方法結(jié)合，改進和發(fā)展了Melnikov方法，使該方法成為了研究混沌運動的解析方法.Camassa等[11]發(fā)展了研究一類四維具有作用-角變量的非線性系統(tǒng)在耗散擾動下系統(tǒng)多脈沖混沌動力學(xué)的廣義Melnikov方法，該方法可以研究各種類型的多脈沖同宿軌道存在的條件.Kovacic和Wettergren[12]利用Melnikov方法和幾何奇異攝動方法研究了共振受迫耦合雙擺的全局動力學(xué).Zhang和Chen[13]應(yīng)用廣義Melnikov方法分析了1：2內(nèi)共振下復(fù)合材料層合板的全局分叉和混沌動力學(xué).Wang[14]應(yīng)用廣義Melnikov方法討論了受迫雙層納米板的同宿現(xiàn)象和多脈沖混沌運動.Zhang等[15]研究了參數(shù)激勵與外激勵聯(lián)合作用下偏心旋轉(zhuǎn)環(huán)桁架天線的多脈沖跳躍雙參數(shù)混沌動力學(xué).秦瑯等人[16]考慮了一個含小阻尼、受周期激勵的單自由度干摩擦振子，運用Melnikov方法得到了系統(tǒng)出現(xiàn)馬蹄型混沌的參數(shù)區(qū)域.李海濤等[17]對帶有非對稱勢能阱的雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)開展混沌動力學(xué)研究，通過Melnikov方法獲得發(fā)生同宿分叉的閾值，并使用數(shù)值方法驗證了理論結(jié)果的有效性.Ngouabo等[18]利用Melnikov定理研究了靜電微電子機械系統(tǒng)的非線性分析問題.此外，李雙寶等[19]將Melnikov方法推廣到非光滑系統(tǒng)中，且對該方法的應(yīng)用進行了全面綜述和比較.

本文基于坐標變換理論和恰當橫截面，發(fā)展了高維Melnikov理論，使其適用于研究五維含參非線性動力系統(tǒng)，并應(yīng)用于研究橫向激勵和面內(nèi)激勵聯(lián)合作用下環(huán)形天線結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動力學(xué).將環(huán)形天線結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型簡化為五維自治非線性動力系統(tǒng)，通過定義恰當橫截面，將高維Melnikov函數(shù)引入四維攝動相空間，證明環(huán)形天線系統(tǒng)中存在Smale馬蹄意義下的混沌運動.以激勵系數(shù)和阻尼系數(shù)作為控制參數(shù)，研究系統(tǒng)參數(shù)對環(huán)形天線系統(tǒng)穩(wěn)定性和混沌運動的影響.利用相圖、龐加萊圖，數(shù)值模擬給出系統(tǒng)的混沌運動區(qū)域，驗證理論結(jié)果的正確性.

1 五維非線性系統(tǒng)的Melnikov方法

文獻[11]給出了四維自治Hamilton系統(tǒng)的廣義Melnikov方法，且應(yīng)用于研究了共振受迫弱非線性耦合擺系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)[12].然而，工程系統(tǒng)中的大多問題的數(shù)學(xué)模型可用高維非自治非線性系統(tǒng)來描述.本文通過引入恰當橫截面，部分改進了廣義Melnikov方法，使其適用于研究直角坐標表示的高維非自治非線性系統(tǒng).

我們在文獻[11]的控制系統(tǒng)上，考慮如下耗散擾動系統(tǒng)：

是辛矩陣，H（u，v1） 是 Hamilton 函數(shù)，gu，gv1，gv2是關(guān)于t的周期為2π的擾動函數(shù)且光滑.

當方程（1）中ε=0時，其未擾動系統(tǒng)為

假設(shè)1 存在區(qū)間[L，N]中每一個變量v1，方程（3a）有雙曲不動點 u=u0（v1） ，并且存在連接不動點 u=u0（v1） 的同宿流形 u=uh（t，v1），t∈ R.

如圖1所示，流形M是具有三維穩(wěn)定流形ws（M）和不穩(wěn)定流形wu（M）的局部不變流形.方程（3）同宿軌道的存在性表明，穩(wěn)定流形ws（M）和不穩(wěn)定流形wu（M）相交于三維同宿流形Γ

圖1 四維相空間未擾動系統(tǒng)幾何結(jié)構(gòu)Fig.1 The geometric structure of unperturbed system in four-dimensional phase space

由文獻[21]可知，法向雙曲不變流形M（?）在小擾動維持局部法向雙曲不變流形，可表示為

即擾動系統(tǒng)的法向雙曲不變流形mε（?）是ε階逼近于未擾動系統(tǒng)的法向雙曲不變流形M（?）.

在五維相空間中定義橫截面

圖2為截面∑示意圖.這里先取截面?=?0，這樣就可以在四維空間研究系統(tǒng)（14）的非線性動力學(xué)特性，然后?從0到2π變化，從而跑遍整個環(huán)面S1，進而研究系統(tǒng)（1）的非線性動力學(xué)特性.

圖2 橫截面Σ?0的幾何結(jié)構(gòu)Fig.2 The geometric structure of the cross section Σ?0

2 環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼動力學(xué)方程

考慮圓柱殼中面半徑為R，軸向長度為L，沿徑向殼的厚度為h.假定圓柱殼的鋪設(shè)層數(shù)為Ns，鋪設(shè)順序為（45-45）s.曲線坐標位于殼體的中面，圓柱殼內(nèi)任一點的位移u，v，w分別沿x，θ，z方向.同時環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼處于一個均布的熱環(huán)境中，此環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼受到邊界上的一個徑向線載荷f=F cos（Ω1t）和一個軸向載荷p=p0+p1cos（Ω2t）的共同作用，p0為面內(nèi)預(yù)緊力，如圖3所示.無量綱后的兩自由度環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼系統(tǒng)控制運動方程為[9]

圖3 環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼模型Fig.3 Equivalent cylindrical shell model of a ring antenna structure

為了方便應(yīng)用廣義Melnikov方法研究兩自由度環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼復(fù)雜動力學(xué)，這里主要研究主參數(shù)共振，引入以下坐標變換將阻尼系數(shù) μ1和 μ2，激勵幅值 p1、p2、F1和 F2，以及參數(shù)m6、m8、n5和n7視為開折系數(shù)，在開折系數(shù)前面加上小擾動ε，并引入以下坐標變換

3 系統(tǒng)的混沌運動分析及數(shù)值模擬

由方程（4）和方程（21b）可以定義環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼系統(tǒng)的部分法向雙曲不變流形

因此，我們可以選取適當?shù)膮?shù)使得等式（28）和等式（29）成立，從而使得k-脈沖Melnikov函數(shù)存在簡單零點.

現(xiàn)在求解可能存在的脈沖數(shù)k，有條件（21a），可令m5=1；由條件（21b）和條件（24）可求得∈（-1，1），且m2和ω1有如圖4的關(guān)系.

圖4 m2和ω1的取值關(guān)系Fig.4 The relationship between m2 and ω1 is given

且

圖5為相位漂移角與二階模態(tài)阻尼系數(shù)之間的關(guān)系，從圖中可以看出，當阻尼系數(shù)變大時，相位漂移角逐漸變小，即隨著阻尼系數(shù)的增大，環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼系統(tǒng)可能由多脈沖跳躍變?yōu)閱蚊}沖跳躍，最后不發(fā)生跳躍.

圖5 Δv2和μ2的取值關(guān)系Fig.5 The relationship between Δv2 and μ2 is given

因此，適當?shù)剡x取 μ1、μ2、m3和 m7可以使得 k≥1且k∈z+.根據(jù)定理1，系統(tǒng)（18）的穩(wěn)定流形ws（M）和不穩(wěn)定流形wu（M）橫截相交，說明環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼系統(tǒng)存在橫截同宿軌道，既存在k-脈沖的混沌運動.

應(yīng)用四階Runge-Kutta算法和Matlab軟件對系統(tǒng)（18）進行數(shù)值模擬，驗證環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼存在混沌運動等復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為.根據(jù)前面的理論分析，分別取如下參數(shù)

圖6 閾值曲面及其兩個參數(shù)空間Fig.6 Threshold surface and its two parameter spaces

圖6表明，當阻尼系數(shù)μ1和μ2，以及激勵頻率Ω給定，激勵幅值F1和p1位于閾值曲面的下方時，滿足高維非自治非線性動力系統(tǒng)的橫截相交條件，即環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼可能發(fā)生混沌運動.

圖7 不同阻尼參數(shù)μi（i=1，2）下的閾值曲面Fig.7 The chaotic threshold surfaces are obtained with different damping parameters μi（i=1， 2）

相圖、龐加萊截面可以描述系統(tǒng)幾何結(jié)構(gòu)在相空間中的變化情況，這些不同的指標可以看作是混沌運動出現(xiàn)的證據(jù).接下來將從這兩個方面對環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼的動力學(xué)進行分析.

圖8和圖9表示環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼系統(tǒng)在平面 （x1，x2） 上的相圖和平面 （x1，x2） 上的龐加萊截面圖.

由圖8可知，系統(tǒng)發(fā)生了混沌運動，且系統(tǒng)存在三個混沌吸引子，經(jīng)計算，此時k=4.

圖8 外激勵F1=70時，系統(tǒng)的多脈沖混沌運動圖Fig.8 Multi pulse chaotic motion diagrams of the system when external excitation F1=70

圖9為外激勵幅值F1=100時，系統(tǒng)在平面（x1，x2）上的相圖和龐加萊截面圖.從圖9可以看出系統(tǒng)一階模態(tài)的振動幅度隨著外激勵的增大而增大.同樣，由相圖可以看出振幅在三個區(qū)域跳躍，天線整體等效圓柱殼結(jié)構(gòu)在做呼吸形式的振動，且在正平衡點處的振幅大于負平衡點處的振幅，說明呼吸振動時天線結(jié)構(gòu)的膨脹幅度大于收縮幅度.

圖9 外激勵F1=10時，系統(tǒng)的多脈沖混沌運動圖Fig.9 Multi-pulse chaotic motion diagrams of the system when external excitation F1=10

4 結(jié)論

本章給出了改進的高維非線性系統(tǒng)廣義Melnikov理論，并直接應(yīng)用于環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼高維非線性系統(tǒng)復(fù)雜動力學(xué)的分析，省略了通過奇異攝動法和規(guī)范型理論對系統(tǒng)方程化簡的過程，使得理論分析結(jié)果更加接近原系統(tǒng)的性質(zhì).

應(yīng)用廣義Melnikov方法得到了參數(shù)激勵和面內(nèi)激勵聯(lián)合作用下環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼發(fā)生混沌的條件.解析地研究了環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼的全局分叉和Smale馬蹄意義下的混沌運動，并且得到了環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼可能發(fā)生混沌運動的參數(shù)域，為圓柱殼穩(wěn)定性控制提供了有價值的參數(shù)指導(dǎo).數(shù)值模擬進一步表明：

（1）環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼發(fā)生混沌的參數(shù)域隨著阻尼系數(shù)的增大而減小，說明環(huán)形天線結(jié)構(gòu)等效圓柱殼在相對較小的阻尼下，更易發(fā)生Shilnikov型的脈沖混沌運動；

（2）從圖8和圖9的相圖和龐加萊截面可以判斷系統(tǒng)在正負以及原點三個平衡點處存在三個混沌吸引子，從而以這三個混沌吸引子為中心構(gòu)成三個吸引域.從圖8（b）和圖9（b）軌線穿過龐加萊截面打點的位置可判斷出隨著外激勵幅值的增大，一階模態(tài)的正平衡點處吸引域增大，負平衡點處吸引域變小.