基于Hamel形式的柔性集群編隊(duì)圍捕*

張祺 黃彬 史東華

（北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100081）

引言

在過去二十年中，集群控制逐漸成為諸多領(lǐng)域研究熱點(diǎn).與傳統(tǒng)的集中式控制系統(tǒng)相比，集群控制系統(tǒng)具有靈活的可擴(kuò)展性、對(duì)個(gè)體數(shù)量的變化適應(yīng)性強(qiáng)、運(yùn)行成本低而不增加整個(gè)系統(tǒng)的復(fù)雜性等優(yōu)點(diǎn).簡單個(gè)體之間的協(xié)同合作可以提升群體的智能化程度，而得以勝任很多單個(gè)體無法完成的工作，往往能帶來更加優(yōu)秀的表現(xiàn)[1].因此，集群系統(tǒng)不僅在理論層面得到了控制學(xué)界的關(guān)注，而且在特定的場景與任務(wù)下得到了廣泛的應(yīng)用.例如在軍事領(lǐng)域，為克服個(gè)體作戰(zhàn)能力的不足，需要用大量個(gè)體通過編隊(duì)協(xié)作，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的軍事任務(wù).其應(yīng)用包括無人機(jī)群戰(zhàn)場偵察[2]、無人作戰(zhàn)集群 （UUVs，AUVs）圍捕目標(biāo)[3，4]等.在航天領(lǐng)域，通過航天器集群協(xié)同去降低任務(wù)成本，涌現(xiàn)了衛(wèi)星編隊(duì)任務(wù)系統(tǒng)[5，6]、航天器集群深空探測(cè)[7]等相關(guān)研究.

集群系統(tǒng)的應(yīng)用需要實(shí)現(xiàn)集群的編隊(duì)控制，即穩(wěn)定和保持集群的幾何隊(duì)形，通過形成預(yù)期的隊(duì)形模式完成任務(wù).合理、高效的編隊(duì)控制能提高集群系統(tǒng)的性能，如對(duì)目標(biāo)搜索的效率，對(duì)目標(biāo)圍捕的成功率和對(duì)隨機(jī)環(huán)境干擾的魯棒性等[8].

近年來，集群系統(tǒng)的研究對(duì)象逐漸由一階或高階線性系統(tǒng)，過渡為更具有一般性的高維或無窮維非線性系統(tǒng)，對(duì)其已提出多種新穎的控制框架以達(dá)成更好的效果.例如，為實(shí)現(xiàn)大規(guī)模集群有限時(shí)間的布放編隊(duì)控制，Meurer等[9]構(gòu)造一類非線性時(shí)變偏微分方程，通過改變邊界條件和方程參數(shù)，使得解曲線在二維平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，利用邊界控制實(shí)現(xiàn)集群編隊(duì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和隊(duì)形變換.該方法中方程的空間離散節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)集群系統(tǒng)的個(gè)體，空間離散方式對(duì)應(yīng)集群通信的互聯(lián)結(jié)構(gòu)，可以適用于大規(guī)模集群.其編隊(duì)的穩(wěn)定性直接由偏微分方程性質(zhì)保證，但控制律的計(jì)算涉及復(fù)雜的級(jí)數(shù)表達(dá)式，應(yīng)用中其實(shí)時(shí)性難以保證.另一種備受關(guān)注的編隊(duì)控制方法是利用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)對(duì)集群系統(tǒng)建立模型[10]，通過將集群中的個(gè)體視為連續(xù)體中的質(zhì)點(diǎn)粒子，將集群的運(yùn)動(dòng)過程視為連續(xù)體的演化過程（含平移和形變），可以從原理上避免集群內(nèi)個(gè)體間的碰撞，通過控制該連續(xù)體的運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)集群編隊(duì)控制，同時(shí)能有效處理相應(yīng)的隊(duì)形變換問題.這是虛擬結(jié)構(gòu)方法的推廣，可以很大程度上避免其不夠靈活、剛性過強(qiáng)的弊端.但這一方法同樣具有計(jì)算量大、需要選取主個(gè)體等缺點(diǎn)，依然有進(jìn)一步完善的空間.Rastgoftar等[11]通過在主-從編隊(duì)控制框架下使用齊性映射，克服了之前連續(xù)體控制模型對(duì)通信要求過高的困難，使得無論在固定通信拓?fù)溥€是切換通信拓?fù)湎拢憾寄塬@得齊性映射所規(guī)定的期望位置.

同樣，作為工程中應(yīng)用極其廣泛的典型系統(tǒng)，Euler-Lagrange系統(tǒng)的集群控制也受到學(xué)界的關(guān)注.尤其是處理無人機(jī)編隊(duì)、近地衛(wèi)星集群等系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)中個(gè)體的動(dòng)力學(xué)特性不能簡單忽略，只考慮線性系統(tǒng)建模是不夠的.為此，Nair等[12]考慮了較為簡單的沿空間一維曲線分布剛體集群編隊(duì)，通過能量塑形為個(gè)體構(gòu)造勢(shì)能塑形后的Lagrange函數(shù)實(shí)現(xiàn)了剛體集群編隊(duì)，并通過航天器集群協(xié)調(diào)旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)表明所得控制可以實(shí)現(xiàn)編隊(duì)同步化.

未來針對(duì)集群的研究將更加面向具備非線性動(dòng)力學(xué)特征的實(shí)際集群場景和大規(guī)模集群編隊(duì).雖然集群編隊(duì)控制已有較為豐富的控制工具，但一方面大多數(shù)方法將個(gè)體視為質(zhì)點(diǎn)，只考慮了其位置信息或相對(duì)位移，在無人機(jī)編隊(duì)、潛航器編隊(duì)等關(guān)注姿態(tài)的應(yīng)用場合，這類方法建立的模型有局限性；另一方面，針對(duì)數(shù)量規(guī)模較大的集群，虛擬結(jié)構(gòu)方法和基于連續(xù)體模型的編隊(duì)方法面臨計(jì)算復(fù)雜度高、難以在線計(jì)算等挑戰(zhàn).為解決這些問題，我們建立了基于場論的Hamel形式的柔性編隊(duì)控制框架.場論Hamel形式[13]是將活動(dòng)標(biāo)架融入變分原理，得到的一種描述場論中運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)型；柔性編隊(duì)是將個(gè)體嵌入一個(gè)虛擬彈性體，使得集群中個(gè)體自然避撞、運(yùn)動(dòng)平滑并保持姿態(tài)的一致性，尤其適用于大規(guī)模集群.本文在場論Hamel形式框架基礎(chǔ)上，研究利用柔性編隊(duì)實(shí)施圍捕的算法.其余部分安排如下：首先，建立將集群編隊(duì)嵌入幾何精確梁的算法模型；其次，用編隊(duì)平衡對(duì)流應(yīng)變建立虛擬的編隊(duì)彈性勢(shì)能，通過勢(shì)能塑形控制，實(shí)現(xiàn)編隊(duì)隊(duì)形的彈性變換，藉此建立柔性集群編隊(duì)圍捕的控制算法；最后，通過模擬仿真驗(yàn)證圍捕算法的有效性，滿足相應(yīng)類型任務(wù)需求.

1 集群系統(tǒng)的Hamel形式

考慮沿空間一維曲線均勻分布的集群，同樣的方法也適用于其在空間更高維幾何體均勻分布的情形.我們將集群個(gè)體嵌入到幾何精確梁中（見圖1），得到一類Hamel形式的集群編隊(duì)動(dòng)力學(xué)方程，并構(gòu)造編隊(duì)平衡態(tài)勢(shì)能來控制編隊(duì)形式.

圖1 集群嵌入幾何精確梁Fig.1 Swarm embedded in a geometrically exact beam

1.1 Hamel形式集群系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

選擇幾何精確梁作為嵌入的彈性體對(duì)象原因在于：一方面通過其剛體截面描述集群中的個(gè)體位置與姿態(tài)，另一方面用其彈性變形的性質(zhì)可以描述并實(shí)現(xiàn)集群編隊(duì)的大范圍運(yùn)動(dòng)、隊(duì)形變換和避撞等.關(guān)于幾何精確梁的建模和相關(guān)保結(jié)構(gòu)算法詳見文獻(xiàn)[14].長度為L的幾何精確梁的位形可由映射g：[0，L]×R→SE（3）表示，其時(shí)空自變量分別是s和t.設(shè)集群個(gè)體i為位于梁沿中線si處的截面，0≤si≤L，其位姿gi=g（si，·）：[0，T] →SE（3）表為

1.2 集群系統(tǒng)的Hamel形式離散格式

和實(shí)際的初值條件.

注意到利用離散變分原理得到的Hamel場積分子（6）聯(lián)合離散相容性條件（7）恰好形成交錯(cuò)蛙跳格式，由文獻(xiàn)[15]可知此格式中涉及集群中個(gè)體運(yùn)動(dòng)的計(jì)算只和相鄰的個(gè)體有關(guān)，故可用分布式的并行計(jì)算實(shí)現(xiàn)，從而滿足實(shí)時(shí)控制的計(jì)算需求.

2 集群系統(tǒng)的編隊(duì)控制

為實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的圍捕，從任務(wù)需求來看集群控制需具備兩種基本功能：1）控制編隊(duì)保持特定隊(duì)形；2）實(shí)現(xiàn)特定隊(duì)形變換.這可通過對(duì)集群系統(tǒng)Hamel場方程（6）中的外力 τni分別采取軌跡跟蹤、編隊(duì)保持控制來實(shí)現(xiàn)，以及通過編隊(duì)勢(shì)能的塑形來實(shí)現(xiàn)編隊(duì)變換和圍捕過程，具體實(shí)施過程如下：首先，對(duì)群中領(lǐng)導(dǎo)者應(yīng)用軌跡跟蹤控制；其次，對(duì)跟隨者實(shí)施編隊(duì)保持控制，引導(dǎo)整個(gè)集群協(xié)作去追擊圍捕目標(biāo)；最后，在迫近圍捕目標(biāo)時(shí)，通過編隊(duì)勢(shì)能的塑形控制進(jìn)行隊(duì)形變換來完成圍捕.

2.1 集群的控制

其中， skew（A） =（A-AT），Kp1，Kp2，Kd1是三階自伴（對(duì)稱）矩陣，Kd1為三階正定矩陣，∨為帽子映射∧的逆映射，定義與之類似.Bullo等[16]證明了上述控制律可以使被控剛體的狀態(tài)收斂于目標(biāo)狀態(tài).

為實(shí)現(xiàn)集群隊(duì)形保持，借鑒幾何精確梁的彈性勢(shì)能使梁在適當(dāng)變形后自動(dòng)恢復(fù)至平衡位置的原理，根據(jù)集群系統(tǒng)的離散Hamel方程（6）式，可以給出集群中個(gè)體i所需集群編隊(duì)控制力

2.2 虛擬彈性勢(shì)能塑形實(shí)現(xiàn)隊(duì)形變換

通過改變集群系統(tǒng)的Hamel形式（6）和相容條件（7）中的對(duì)流應(yīng)變，來達(dá)到塑形彈性勢(shì)能并實(shí)施編隊(duì)變換.假定所有的集群個(gè)體位姿都在編隊(duì)穩(wěn)定平衡狀態(tài)，由離散平衡對(duì)流應(yīng)變定義式（5）可知，存在映射log：，這里映射log為指數(shù)映射exp的逆映射.注意到指數(shù)映射僅是局部微分同胚，映射log在單位矩陣的鄰域內(nèi)定義，也即當(dāng)集群中相鄰個(gè)體位姿相差較小時(shí)成立.反之，已知初值和結(jié)合（4）式可重構(gòu)，將此映射記為R.對(duì)編隊(duì)勢(shì)能集合進(jìn)行塑形可控制集群編隊(duì)變換.令編隊(duì)初始狀態(tài)編隊(duì)平衡位姿為，末態(tài)編隊(duì)平衡位姿為，與其相關(guān)的編隊(duì)平衡對(duì)流應(yīng)變分別是，則有如下交換圖成立

由上圖可知：只要定義由編隊(duì)變換函數(shù)F誘導(dǎo)出的函數(shù)f，改變位于李代數(shù)空間（線性空間）中編隊(duì)平衡對(duì)流應(yīng)變，就可以改變位于李群空間 （非線性空間）中的位形，實(shí)現(xiàn)對(duì)編隊(duì)勢(shì)能的塑形，進(jìn)而來控制編隊(duì)隊(duì)形.在物理上，此過程可解釋為通過施加一種場控制來實(shí)現(xiàn)集群的編隊(duì)變換.為簡單起見，此處僅考慮一類在對(duì)流應(yīng)變空間se（3）中的線性插值函數(shù)R6… ×R6，使得

通過該線性插值過程實(shí)現(xiàn)編隊(duì)勢(shì)能塑性.

2.3 集群系統(tǒng)編隊(duì)與圍捕算法

為了實(shí)現(xiàn)集群圍捕任務(wù)需求，本文僅考慮對(duì)固定目標(biāo)的圍捕，主要通過對(duì)編隊(duì)勢(shì)能的塑形控制來實(shí)現(xiàn)編隊(duì)變換，建立如下集群圍捕控制算法實(shí)現(xiàn)集群編隊(duì)巡航、編隊(duì)圍捕.

圖2 控制算法流程圖Fig.2 Flow chart of control algorithm

3 集群編隊(duì)與圍捕控制仿真

為了驗(yàn)證集群圍捕控制算法的有效性，本節(jié)針對(duì)固定目標(biāo)進(jìn)行圍捕過程的模擬仿真.仿真中集群將先保持隊(duì)形進(jìn)行編隊(duì)巡航，后用“半圓”和“V”型兩種模式對(duì)目標(biāo)展開圍捕.

3.1 “半圓”型圍捕模式

考慮圍捕目標(biāo)位置為 A=（6，2.4，0）T，集群初始位置如圖3（a）所示，其參數(shù)如下：個(gè)體總數(shù)K=9，編號(hào)5的個(gè)體為領(lǐng)導(dǎo)者，初始編隊(duì)長度L=π，慣性矩陣 Mi=dig（10，10，10，10，10，10） ， 偽彈性系數(shù)陣 Pi=dig（1，1，1，0.6，0.6，0.6） ，除了另加聲明，本文后續(xù)中 i=1，2，…，K.

圖3 集群編隊(duì)圍捕初始狀態(tài)示意圖Fig.3 Schematic diagram of initial states of swarm

利用上述初始值作為集群圍捕控制算法的輸入，用Matlab編程進(jìn)行仿真知：平均計(jì)算控制響應(yīng)時(shí)間為1.6ms，遠(yuǎn)小于時(shí)間步長Δt=0.1s.這表明該算法可以用來在線計(jì)算，并實(shí)時(shí)地控制編隊(duì)運(yùn)動(dòng)過程.仿真過程可見圖 4，其中，圖4（a），圖4（b）和圖 4（c）顯示集群呈一字型編隊(duì)巡航，圖 4（d），圖4（e）和圖4（f）顯示其以半圓型模式圍捕目標(biāo)物.圖5展示了集群在圍捕過程中每個(gè)個(gè)體所受到的控制力和力矩，及自身動(dòng)力學(xué)狀態(tài)隨時(shí)間的變化情況.

圖4 集群編隊(duì)“半圓”型圍捕的模擬仿真Fig.4 Simulation of target-capturing in “Semicircle” shape

圖5 集群編隊(duì)圍捕實(shí)時(shí)控制和速度Fig.5 Real-time controls and velocities of the swarm

3.2 “V”型圍捕模式

此例表明所得算法同樣適用于非光滑隊(duì)形變換.固定圍捕目標(biāo)位置為 A=（6，2.4，0）T，集群初始位置如圖3（b）所示，其參數(shù)如下：編隊(duì)個(gè)數(shù)K=11，編號(hào)6的個(gè)體為領(lǐng)導(dǎo)者，初始編隊(duì)長度L、慣性矩陣Mi和偽彈性系數(shù)矩陣Pi與“半圓”型圍捕一致.

對(duì)上述初值仿真結(jié)果可見圖6，其中，圖6（a），圖5（b）和圖6（c）顯示該集群中的11個(gè)個(gè)體保持一字型編隊(duì)巡航，圖 6（d），圖 6（e）和圖 6（f）顯示集群以“V”型模式圍捕目標(biāo)物.圖7展示集群在圍捕過程中每個(gè)個(gè)體所受到的控制力和力矩，及相應(yīng)的自身動(dòng)力學(xué)狀態(tài).此時(shí)每個(gè)時(shí)間步迭代用時(shí)為2.0 ms，計(jì)算時(shí)長小于時(shí)間步長，因此滿足實(shí)時(shí)控制的基本需求.

圖6 集群編隊(duì)“V”型圍捕的模擬仿真Fig.6 Simulation of target-capturing in“V” shape

圖7 集群編隊(duì)圍捕實(shí)時(shí)控制和速度Fig.7 Real-time controls and velocities of the swarm

從上述兩個(gè)例子的仿真結(jié)果可知：通過改變平衡對(duì)流應(yīng)變ˉγni+1/2可以控制集群編隊(duì)形成不同的隊(duì)形，并且這種通過對(duì)虛擬彈性勢(shì)能塑形所實(shí)現(xiàn)的隊(duì)形變換過程自然，只需要在李代數(shù)空間線性插值，在編隊(duì)變換過程中，個(gè)體間的虛擬勢(shì)能可以避免個(gè)體間發(fā)生碰撞，并能滿足實(shí)時(shí)控制需求.并且本算法可結(jié)合各種圍捕策略，通過改變ˉγni+1/2來實(shí)現(xiàn)不同的圍捕隊(duì)形.

4 結(jié)論

本文針對(duì)集群系統(tǒng)，提出了一種柔性編隊(duì)圍捕算法.通過離散變分原理，給出了基于幾何精確梁Hamel場變分積分子的算法實(shí)現(xiàn).與傳統(tǒng)方法相比，基于動(dòng)力學(xué)的模型可以綜合考慮個(gè)體的位置和姿態(tài)；由離散變分得到的數(shù)值格式結(jié)合離散相容性條件，可以分布式計(jì)算每個(gè)個(gè)體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其計(jì)算速度可滿足實(shí)時(shí)控制需求.特別地，本文構(gòu)造了編隊(duì)平衡對(duì)流應(yīng)變，以此實(shí)現(xiàn)對(duì)編隊(duì)虛擬彈性勢(shì)能的塑形，來控制編隊(duì)隊(duì)形的彈性變換.通過模擬對(duì)固定目標(biāo)的“半圓”型和“V”型圍捕，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法在實(shí)際場景中的適應(yīng)性和有效性.未來的研究將致力于實(shí)現(xiàn)不同編隊(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的控制算法，及對(duì)算法收斂性、控制穩(wěn)定性的理論分析；以及實(shí)現(xiàn)對(duì)三維空間中目標(biāo)的圍捕、多個(gè)活動(dòng)目標(biāo)的圍捕和帶有博弈過程的圍捕等.