基于幾何積分方法的壓電島-橋結(jié)構(gòu)動(dòng)力行為分析*

魯康 王博，4? 畢皓皓 師巖 鄧子辰，5?

（1.西北工業(yè)大學(xué)工程力學(xué)系，西安 710072）

（2.西北工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，西安 710072）

（3.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016）

（4.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024）

（5.西北工業(yè)大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072）

引言

柔性電子器件以其獨(dú)特的延展性在生物醫(yī)療、電子設(shè)備和航空航天等領(lǐng)域展現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力[1].近年來(lái)，柔性電子技術(shù)發(fā)展迅速，衍生出的基于力學(xué)設(shè)計(jì)的延展柔性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)技術(shù)[2，3]，既能保持無(wú)機(jī)電子器件“硬而脆”的電學(xué)性能，又使其具備一定的延展性.在可延展柔性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法中，一種基于島-橋結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法能夠提升柔性電子器件的延展性至少100%，因而得到學(xué)術(shù)和工業(yè)界的廣泛關(guān)注[4，5].

島-橋結(jié)構(gòu)又稱非共面網(wǎng)格結(jié)構(gòu)[6]，由剛性功能部件（“島”）和互聯(lián)導(dǎo)線（“橋”）共同組成.通常，“島”和“橋”都粘接在柔性基底上，通過(guò)釋放基底的預(yù)拉伸，“橋”發(fā)生面外屈曲，使得剛性功能模塊保持在低應(yīng)變狀態(tài)，從而實(shí)現(xiàn)島-橋結(jié)構(gòu)的可延展性，圖1給出了掃描電子顯微鏡拍攝的島-橋陣列和結(jié)構(gòu)示意圖[7].針對(duì)屈曲島-橋結(jié)構(gòu)，Zhang等[8]對(duì)其屈曲行為展開(kāi)了研究，他們給出了島-橋結(jié)構(gòu)屈曲的臨界應(yīng)變解析表達(dá)式，并對(duì)互聯(lián)導(dǎo)線的設(shè)計(jì)進(jìn)行了優(yōu)化，提升了其拉伸延展率.壓電材料具有優(yōu)良的力學(xué)和電學(xué)性能，是作為島-橋結(jié)構(gòu)互聯(lián)導(dǎo)線的理想材料[9].Huang[10]團(tuán)隊(duì)基于壓電材料的蛇形/自相似島-橋結(jié)構(gòu)，制備出高拉伸性、高穩(wěn)定性、高靈敏度的類人工皮膚.基于壓電薄膜結(jié)構(gòu)，Lin[11]等設(shè)計(jì)出屈曲梁陣列結(jié)構(gòu)的能量采集器.然而，對(duì)于屈曲島-橋結(jié)構(gòu)的柔性電子器件，無(wú)論是在制備過(guò)程中[12]，還是在工作過(guò)程中[13]，都不可避免地受到外界復(fù)雜的溫度場(chǎng)、電場(chǎng)等物理場(chǎng)的作用，影響其靈敏性[14].近年來(lái)，該類問(wèn)題得到國(guó)內(nèi)外學(xué)者們的廣泛關(guān)注，郭偉國(guó)等[15]研究了溫度變化對(duì)壓電薄膜的壓電系數(shù)的影響，理論和實(shí)驗(yàn)表明：壓電薄膜對(duì)溫度非常敏感.申勝平等[16]研究了溫度對(duì)壓電材料中撓曲電效應(yīng)的影響，實(shí)驗(yàn)表明：溫度對(duì)壓電材料撓曲系數(shù)產(chǎn)生非線性影響.李世榮等[17]考慮了溫度及電場(chǎng)的耦合作用，研究了壓電層合梁的屈曲及后屈曲行為，他們發(fā)現(xiàn)：在屈曲和后屈曲階段，溫度對(duì)壓電梁的低階固有頻率有著顯著而不同的影響.Shariyat[18]研究了壓電層合結(jié)構(gòu)在溫度場(chǎng)、電場(chǎng)以及變形場(chǎng)耦合作用下的動(dòng)態(tài)屈曲行為，結(jié)果表明：溫度梯度對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)屈曲有顯著的影響.

圖1 島-橋結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Diagram of island-bridge structure

對(duì)于島-橋結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為研究，一般將作為互聯(lián)導(dǎo)線的壓電薄膜等效成Euler-Bernoulli梁來(lái)研究.彭劍等[19]針對(duì)軸向周期載荷激勵(lì)下的壓電Euler梁，采用多尺度分析方法給出了壓電梁的振動(dòng)穩(wěn)定域.Nayfeh等[20]基于Euler-Bernoulli梁理論研究了各種邊界條件下梁的非線性后屈曲問(wèn)題，并得到了相應(yīng)的臨界屈曲載荷.Wang和Feng等[21]將屈曲薄膜等效為Euler梁，研究了表面殘余應(yīng)力對(duì)屈曲薄膜靜態(tài)和動(dòng)態(tài)行為的影響.當(dāng)梁是“短粗梁”時(shí)，梁的橫截面剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生一定的影響.盛冬發(fā)等[22]采用Timoshenko梁理論，分析了具有非線性損傷的粘彈性梁的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和混沌現(xiàn)象.楊曉東等[23]針對(duì)兩端鉸支的Timoshenko梁，對(duì)其橫向振動(dòng)問(wèn)題展開(kāi)了研究，給出了其固有頻率表達(dá)式.周強(qiáng)等[24]基于Timoshenko梁理論，針對(duì)壓電納米梁，研究了表面效應(yīng)對(duì)梁振動(dòng)響應(yīng)的影響.

本文針對(duì)屈曲壓電島-橋結(jié)構(gòu)，采用Timoshenko梁理論建立其振動(dòng)控制方程.并利用幾何積分方法求解相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程.分析了溫度變化和工作電壓對(duì)屈曲壓電島-橋結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響.

1 壓電屈曲薄膜的動(dòng)力學(xué)模型

在島-橋結(jié)構(gòu)柔性電子器件中，屈曲的壓電梁結(jié)構(gòu)被用來(lái)連接功能模塊，如圖1（b）所示.兩端固支的壓電Timoshenko梁如圖2（a）所示，其中L為屈曲后長(zhǎng)度，b為寬度，h為厚度，ρ為密度，I為面積慣性矩，A為橫截面面積.

圖2 島-橋結(jié)構(gòu)力學(xué)分析模型Fig.2 Mechanical analysis model of island-bridge structure

鑒于屈曲壓電梁結(jié)構(gòu)將發(fā)生大變形，梁的橫截面剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量將會(huì)對(duì)其力學(xué)行為產(chǎn)生一定的影響[26].基于Timoshenko梁理論，壓電梁的本構(gòu)方程為[27，28]，

其中，σx，σxz和Dz分別為軸向應(yīng)力、剪切應(yīng)力和z方向上的電位移；c11，e31，k33和p3分別表示彈性模量、壓電常數(shù)、介電常數(shù)以及熱電常數(shù)；c55=κG為修正剪切模量，Ez為z方向上的電場(chǎng)強(qiáng)度，α為軸向熱膨脹系數(shù)，ΔT為溫度變化量.εx為軸向應(yīng)變，γxz為剪切應(yīng)變，其表達(dá)式如下：

其中，u，w和φ分別表示梁的徑向撓度，橫向撓度和橫截面轉(zhuǎn)角.

由于電場(chǎng)的作用只在z方向上產(chǎn)生應(yīng)變，故假設(shè)只在z方向存在電場(chǎng)，則電場(chǎng)Ez可以由電勢(shì)Φ確定[28]

2 近似求解

對(duì)于偏微分方程（13）無(wú)法得到其解析解，Galerkin截?cái)喾ㄗ鳛橐环N簡(jiǎn)便有效的近似方法，可以將偏微分方程離散為常微分方程.本文采用Galerkin方法[23]分析屈曲壓電島-橋結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為.

對(duì)于圖2描述的壓電梁，兩端固支邊界條件表述為

3 Magnus幾何積分方法

對(duì)于非線性方程（21），無(wú)法得到解析解，只能通過(guò)數(shù)值方法進(jìn)行求解.本文考慮應(yīng)用Magnus幾何積分方法求解非線性動(dòng)力學(xué)控制方程（21）.Magnus方法幾何積分方法在數(shù)值計(jì)算方面具有顯著的優(yōu)點(diǎn)：即使適當(dāng)截?cái)?，?shù)值結(jié)果依然可以保持原動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的幾何性質(zhì)[31].

4 數(shù)值算例

4.1 幾何積分方法的有效性驗(yàn)證

對(duì)于壓電島-橋結(jié)構(gòu)，由方程（13）不難發(fā)現(xiàn)其將做無(wú)阻尼的自由振動(dòng)，故而壓電島-橋結(jié)構(gòu)的總能量應(yīng)該守恒.本文將分別采用四階Magnus方法和四階Runge-Kutta方法計(jì)算島-橋結(jié)構(gòu)Hamilton函數(shù).壓電島-橋結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)和幾何參數(shù)在表1中給出.

圖3分別采用4階Runge-Kutta方法和4階Magnus幾何積分方法計(jì)算了壓電島-橋結(jié)構(gòu)Hamilton函數(shù)的相對(duì)誤差圖，其初始條件為x1=0，x2=0.1，x3=0，x4=0 ，步長(zhǎng)取0.5.由圖3 結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)：采用4階Magnus幾何積分方法得到的Hamilton函數(shù)相對(duì)誤差一直在零附近震蕩；而利用4階Runge-Kutta方法得到Hamilton函數(shù)相對(duì)誤差隨著積分時(shí)間的增加而不斷增長(zhǎng).對(duì)于保守系統(tǒng)（21），其能量應(yīng)該守恒，圖3的結(jié)果驗(yàn)證了幾何積分方法保能量的優(yōu)越性.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證幾何積分方法的有效性，圖4給出了島-橋結(jié)構(gòu)的時(shí)間歷程曲線.由圖4數(shù)值結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：利用幾何積分方法得到的位移響應(yīng)幅值x1能夠長(zhǎng)時(shí)間保持解的穩(wěn)定性，可以認(rèn)為該方法在較大積分范圍內(nèi)不會(huì)產(chǎn)生算法阻尼和數(shù)值耗散[31]；然而，經(jīng)典的四階Runge-Kutta方法自身存在算法阻尼，在迭代過(guò)程中，所得位移響應(yīng)幅值x1經(jīng)過(guò)數(shù)值耗散不斷減小.圖3和圖4顯示了Magnus幾何積分方法在保守系統(tǒng)非線性數(shù)值計(jì)算方面的優(yōu)越性.通過(guò)該方法得到的Hamilton函數(shù)相對(duì)誤差一直在零附近震蕩，而通過(guò)Runge-Kutta方法得到Hamilton函數(shù)相對(duì)誤差隨著積分時(shí)間的增加而不斷增長(zhǎng)，在算法阻尼的作用下，誤差持續(xù)積累，最終必然會(huì)超過(guò)數(shù)值計(jì)算的誤差限.

圖3 Hamilton函數(shù)相對(duì)誤差Fig.3 The relative error of Hamilton's function

圖4 位移時(shí)間歷程圖Fig.4 Displacement time history diagram of the system

對(duì)于保守系統(tǒng)（21）的另一個(gè)重要性質(zhì)是：在時(shí)間演化過(guò)程中，軌線在相空間中圍成的體積不變.為了驗(yàn)證幾何積分方法的保結(jié)構(gòu)特性，分別采用四階幾何積分方法和經(jīng)典的四階Runge-Kutta方法給出了系統(tǒng)（21）的相圖，如圖5所示.其中，時(shí)間步長(zhǎng)分別取τ=0.1s和τ=0.5s.

觀察圖5，從中可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)步長(zhǎng)增加時(shí)，采用幾何積分方法得到的系統(tǒng)相空間面積保持不變，而采用Rung-Kutta方法得到的相空間會(huì)因?yàn)椴介L(zhǎng)的增加，導(dǎo)致相空間面積增加.

由圖3-圖5可以說(shuō)明幾何積分方法能夠保持保守系統(tǒng)的能量和結(jié)構(gòu).因此，在下一節(jié)的動(dòng)力學(xué)分析中，考慮采用幾何積分方法對(duì)方程（21）進(jìn)行求解.

圖5 不同時(shí)間步長(zhǎng)下的相圖Fig.5 Phase diagram at different time steps

4.2 島-橋結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

對(duì)于島-橋結(jié)構(gòu)，由振動(dòng)理論可知，其無(wú)量綱固有頻率為

取壓電薄膜的材料為PTZ-5H，仍取表1中的材料參數(shù)和幾何參數(shù).取初值x1=0，x2=0.1，x3=0，x4=0.

表1 材料參數(shù)和幾何參數(shù)[33]Table 1 Material parameters and geometric parameters[33]

為了討論溫度場(chǎng)和電壓對(duì)壓電島-橋結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)力學(xué)行為的影響，圖6和圖7給出了其對(duì)應(yīng)的頻譜曲線.通過(guò)數(shù)值仿真，圖6和圖7給出了基于壓電薄膜的島-橋結(jié)構(gòu)互聯(lián)導(dǎo)線自由振動(dòng)時(shí)固有頻率與溫度場(chǎng)和膜間工作電壓之間的變化曲線.

圖6的數(shù)值結(jié)果討論了溫度變化量對(duì)屈曲壓電結(jié)構(gòu)固有頻率的影響規(guī)律.從圖6可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)取定電壓，隨著溫度變化量的增加，屈曲壓電結(jié)構(gòu)的固有頻率隨之增加，同時(shí)還發(fā)現(xiàn)其增長(zhǎng)趨勢(shì)呈線性增加趨勢(shì).對(duì)于這一現(xiàn)象，可以由方程（11c）進(jìn)行解釋：原因在于壓電參數(shù)和溫度參數(shù)控制的膜力N呈現(xiàn)線性關(guān)系.

圖6 溫度對(duì)壓電薄膜固有頻率的影響Fig.6 Effect of temperature on natural frequency of piezoelectric films

圖7討論了電壓改變量對(duì)屈曲壓電結(jié)構(gòu)固有頻率的影響規(guī)律.由圖7的數(shù)值結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：隨著電壓的增加，系統(tǒng)固有頻率呈線性增加，這一點(diǎn)仍然可以由式（11c）來(lái)解釋.

圖7 電壓對(duì)壓電薄膜固有頻率的影響Fig.7 Effect of voltage on natural frequency of piezoelectric films

由圖6和圖7的結(jié)果，從中可以得到這樣的結(jié)論：隨著溫度變化量和電壓的增加，屈曲壓電島-橋結(jié)構(gòu)的固有頻率會(huì)隨之增加，即說(shuō)明了溫度變化量和電壓會(huì)使結(jié)構(gòu)變“硬”.如果讓?shí)u-橋結(jié)構(gòu)工作于過(guò)高的溫度場(chǎng)和電場(chǎng)中，會(huì)導(dǎo)致該類型電子器件失穩(wěn)的風(fēng)險(xiǎn)增加.

圖8和圖9給出了溫度變化量和電壓對(duì)屈曲壓電島-橋結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響.由圖8結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)工作電壓均勻增加時(shí)，島-橋結(jié)構(gòu)振幅的峰值呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)，而振動(dòng)周期幾乎沒(méi)有變化，說(shuō)明島-橋結(jié)構(gòu)電壓對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)呈現(xiàn)正激勵(lì)作用.觀察圖8（b），可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)工作電壓固定時(shí)，隨著溫度改變量的增加，島-橋結(jié)構(gòu)的振幅會(huì)隨之增加；當(dāng)系統(tǒng)溫度變化量較少時(shí)，島-橋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅值呈現(xiàn)“波動(dòng)”式變化，原因在于溫度場(chǎng)對(duì)該島-橋結(jié)構(gòu)的影響被等效成了軸向力.由方程（11）可以知道：溫度變化量較小時(shí)，軸向力對(duì)原系統(tǒng)的影響較小，系統(tǒng)將會(huì)按其原固有頻率振動(dòng).

圖8 電壓對(duì)壓電薄膜振幅的影響Fig.8 The effect of voltage on the amplitude of piezoelectric film

圖9 溫度對(duì)壓電薄膜振幅的影響Fig.9 The effect of temperature on the amplitude of piezoelectric film

從圖9（a）可以發(fā)現(xiàn)：隨著溫度變化量的增加，屈曲島-橋結(jié)構(gòu)振幅會(huì)隨之增加；同時(shí)，島-橋結(jié)構(gòu)振動(dòng)周期也發(fā)生了變化，其規(guī)律為：當(dāng)溫度變化量增加300K，結(jié)構(gòu)振動(dòng)周期將減小大約1/8，這進(jìn)一步驗(yàn)證了圖8（b）中所展示的現(xiàn)象—溫度場(chǎng)能夠改變島-橋結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率.由圖9（b）的數(shù)值結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)固定溫度變化量時(shí)，島-橋結(jié)構(gòu)振幅會(huì)隨著工作電壓的升高而增加.通過(guò)對(duì)比圖8（b）和圖9（b），可以得到這樣的規(guī)律：相比于工作電壓，溫度變化量對(duì)島-橋結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響更大；另外，屈曲壓電島-橋結(jié)構(gòu)工作于較低溫度場(chǎng)中時(shí)，其振動(dòng)呈現(xiàn)低幅波動(dòng)振蕩，而對(duì)于較高溫度場(chǎng)作用時(shí)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)明顯快速增加.因此，對(duì)于通過(guò)調(diào)整“硬”薄膜結(jié)構(gòu)的振幅來(lái)實(shí)現(xiàn)延展性的島-橋式柔性電子器件來(lái)說(shuō)，可以通過(guò)改變工作溫度和電壓來(lái)提高該類電子器件的延展率及穩(wěn)定性.

5 結(jié)論

針對(duì)屈曲壓電島-橋結(jié)構(gòu)，本文將其等效成兩端固支的梁結(jié)構(gòu).鑒于島-橋結(jié)構(gòu)的柔性電子器件會(huì)發(fā)生大變形，本文基于Timoshenko梁理論，建立屈曲壓電島 橋結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)控制方程；采用Galerkin方法對(duì)原方程進(jìn)行近似求解，再通過(guò)引入狀態(tài)變量，將四階常微分方程降階為一階常微分方程組，然后采用幾何積分方法進(jìn)行求解，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，討論了溫度變化量和工作電壓對(duì)屈曲島-橋結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響，得到如下結(jié)論：

（1）對(duì)于保守系統(tǒng)，幾何積分方法展現(xiàn)出優(yōu)異的保結(jié)構(gòu)，保能量特性；

（2）通過(guò)改變溫度變化量和工作電壓，能夠改變島-橋結(jié)構(gòu)的剛度，同時(shí)，隨著溫度變化量和電壓的增加，屈曲結(jié)構(gòu)固有頻率隨之增加，即溫度和工作電壓的升高會(huì)使島-橋結(jié)構(gòu)變“硬”；

（3）在相同工作電壓下，隨著溫度變化量的增加，屈曲結(jié)構(gòu)振幅隨之增加，當(dāng)取定工作溫度，島橋結(jié)構(gòu)的振幅也會(huì)隨電壓的升高而增加.另外，相比于工作電壓，屈曲壓電島-橋結(jié)構(gòu)更容易受溫度場(chǎng)的影響.

本文所得結(jié)論將會(huì)為基于壓電島-橋結(jié)構(gòu)的柔性電子器件設(shè)計(jì)提供理論支撐，同時(shí)，通過(guò)改變溫度場(chǎng)和電場(chǎng)，能夠在一定程度上改變基于壓電島橋結(jié)構(gòu)的柔性電子器件的延展性和穩(wěn)定性.