“用教材教”：提升基于教材的加工轉(zhuǎn)化能力
——以人教版“二次函數(shù)”教材內(nèi)容為例

?江蘇省海安市城東鎮(zhèn)西場初級中學(xué) 許海霞

1 引言

我們知道，很多專家都反對“照本宣科”，提倡“用教材教”[1].具體來說，教師要善于將教材內(nèi)容加工為自己的教學(xué)內(nèi)容，特別是轉(zhuǎn)化為適合學(xué)生的學(xué)科教學(xué)活動.本文中結(jié)合人教版“二次函數(shù)”的教材內(nèi)容，反思自己在加工轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動方面的一些實踐和認識，以期拋磚引玉.

2 “二次函數(shù)”教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動的案例分享

案例(人教版九上教材)

活動1：(第54頁“活動1”，改編設(shè)計.)

觀察下列兩行算式：

51×59，52×58，……，58×52，59×51

①

701×799，702×798，……，798×702，799×701

②

說明：①式兩個乘數(shù)的十位上的數(shù)字都是5，個位上的數(shù)字的和等于10，兩個乘數(shù)的和為110.

②式兩個乘數(shù)的百位上的數(shù)字都是7，十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)組成的數(shù)的和等于100.

活動設(shè)計：先組織學(xué)生觀察①②式，請學(xué)生說出積最大的算式，(分別是55×55，750×750.)然后追問學(xué)生是如何發(fā)現(xiàn)積最大的這個算式.如果學(xué)生是“直接計算”后比較的，則追問其他學(xué)生有沒有更好的方法.很可能學(xué)生會想到不同的方法，比如運用八年級學(xué)過的平方差公式來解釋，也有學(xué)生可能會聯(lián)想到運用二次函數(shù)的有關(guān)最值模型來解釋.為了突出二次函數(shù)的應(yīng)用價值，我們安排學(xué)生運用二次函數(shù)的知識說明它是正確的.

教法預(yù)設(shè)：以①式中55×55最大為例，設(shè)其中一個數(shù)為x，兩個數(shù)的積為y，可得y=x(110-x)=-x2+110x=-(x-55)2+3 025.所以當(dāng)x=55時，y取得最大值，即①式中，積最大的算式是：55×55.②式中750×750最大的證明，由學(xué)生獨立練習(xí)然后再投影講評.

有些學(xué)生在處理這類問題時思路比較開放，并不會局限于二次函數(shù)的視角.教師對于學(xué)生的不同方法應(yīng)該表示肯定，但是需要引導(dǎo)學(xué)生從二次函數(shù)的角度進行解釋，因為后續(xù)還有同類問題的變式跟進.

活動2：(第57頁“第9題”，改編設(shè)計.)

如圖1，點E，F(xiàn)，G，H分別在菱形ABCD的四條邊上，AE=AH=CF=CG，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到四邊形EFGH.設(shè)AB=18，∠ABC=120°，當(dāng)AE為何值時，四邊形EFGH的面積最大？

圖1

圖2

設(shè)計意圖：學(xué)生在處理上述問題時可能會跳過證明四邊形EFGH是矩形.但這一步是關(guān)鍵步驟，要提醒學(xué)生完善證明，然后再設(shè)參數(shù)，建議用二次函數(shù)模型，配方求最值解決問題.在解出答案之后，要引導(dǎo)學(xué)生解后反思，揭示出問題的深層結(jié)構(gòu)：當(dāng)點E在AB邊中點時(點F，G，H分別是各邊中點)，四邊形EFGH的面積最大.這個問題講評之后，還可對問題進行“變式再練”(如果課堂教學(xué)時間不夠，可以作為作業(yè)布置學(xué)生課后鞏固)，促使學(xué)生對這類問題的深刻理解.

從先前數(shù)學(xué)競賽中體現(xiàn)出來的有關(guān)圖論的知識點觀察到，由于比賽中題目的數(shù)據(jù)相對較多，所以，如果單純依靠人工計算的方式來計算數(shù)據(jù)，這就會使出現(xiàn)的問題越來越復(fù)雜，因此，這就必須應(yīng)用計算機技術(shù)的方式，方便高效的處理，提高這些復(fù)雜數(shù)據(jù)的解決能力，讓學(xué)生能更輕松的學(xué)習(xí)知識，同時提高學(xué)習(xí)興趣?？梢砸胲浖虒W(xué)的方式進行解決，避免物力、人力的浪費。而在引入教學(xué)軟件時，只需要運用一些簡單、基礎(chǔ)、易懂的軟件就行，比如Excel表格等，就不需要額外去學(xué)難度較大的軟件，反而增加學(xué)習(xí)的困難。

變式再練如圖3，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DAC=30°，矩形EFGH的頂點分別在四邊形ABCD的四條邊上，且AE=AH.若AB=6，當(dāng)AE為何值時，四邊形EFGH的面積最大？

圖3

3 關(guān)于教材內(nèi)容轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動的進一步思考

第一，教材上“過渡引言”可轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動.

人教版教材上在每章或每小節(jié)新知引入之前都會有一段“過渡語”或“新知引言”，這類“過渡引言”是教材編寫專家精心編寫的，值得師生認真體會其用意[2].教師可深入解讀這些“過渡引言”的價值，并將其加工轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動，向?qū)W生傳遞好的學(xué)習(xí)方法.例如人教版“22.2二次函數(shù)與一元二次方程”這一小節(jié)就有這樣的“過渡引言”：

“以前我們從一次函數(shù)的角度看一元一次方程，認識了一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系.”

這段引言的教學(xué)價值在于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會類比舊知學(xué)習(xí)新知，對教師而言，可以將這段引言進行轉(zhuǎn)化加工為開課教學(xué)活動，以下是筆者給出的教學(xué)設(shè)計：

問題1在八年級學(xué)習(xí)一次函數(shù)時，曾學(xué)習(xí)過從一次函數(shù)的角度看一元一次方程，請舉例說明一次函數(shù)y=2x-1與一元一次方程2x-1=0的聯(lián)系；

為了讓學(xué)生對一次函數(shù)與對應(yīng)的一元一次方程之間的聯(lián)系有更“具體”“直觀”的舊知記憶，我們直接舉例一次函數(shù)y=2x-1和一元一次方程2x-1=0，這樣學(xué)生就可以直接從函數(shù)圖象(直線)與x軸公共點橫坐標和方程的解之間的對應(yīng)關(guān)系來說明它們之間的聯(lián)系；進一步再變式成為簡單的二次函數(shù)y=x2-1與一元二次方程x2-1=0之間的聯(lián)系，學(xué)生會很容易想到從函數(shù)圖象(拋物線)與x軸公共點橫坐標和方程的根之間的聯(lián)系.

第二，教材上“標簽備注”可轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動.

人教版教材上在還有很多“標簽備注”和“云圖備注”，也是值得教師在備課時重視的，筆者以為這些“標簽備注”大多可以加工轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動.還以“22.2二次函數(shù)與一元二次方程”這一小節(jié)為例，其中有一個“標簽備注”內(nèi)容是：

“反過來，由一元二次方程的根的情況，也可以確定相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系.”

這個“標簽備注”可以進行以下加工，轉(zhuǎn)化為教學(xué)設(shè)計：

問題3我們知道，“數(shù)形結(jié)合”是重要的數(shù)學(xué)研究方法，剛剛我們從拋物線y=x2+x-2與x軸公共點的橫坐標，得出相應(yīng)方程x2+x-2=0的根，這體現(xiàn)了“由形得數(shù)”的方法.反過來，同學(xué)們能否由一元二次方程x2+x-2=0的根的情況確定相應(yīng)的二次函數(shù)y=x2+x-2的圖象與x軸有怎樣的位置關(guān)系呢？

問題4我們在八年級曾經(jīng)學(xué)習(xí)過“完全平方式”的概念，請舉一個關(guān)于x的二次三項式恰為“完全平方式”的例子.

教學(xué)組織：這是一個開放式問題，比如學(xué)生舉出一個完全平方式x2+4x+4之后，教師跟進追問，它所對應(yīng)的一元二次方程x2+4x+4=0的根有什么特點？它所對應(yīng)的二次函數(shù)y=x2+4x+4圖象與x軸有怎樣的位置關(guān)系？進一步，促使學(xué)生歸納出一元二次方程根的判別式“Δ”可以用來判定相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系.促使學(xué)生感悟“從特殊到一般”“從具體到抽象”的數(shù)學(xué)思想方法.

第三，教材上“經(jīng)典習(xí)題”可轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動.

教材上的例、習(xí)題都是精挑細選過的，值得教師組織解題教學(xué)時重視和運用.特別是，教材上有些例、習(xí)題限于教材呈現(xiàn)的篇幅與難度控制，并沒有給出變式或拓展，但教師可以根據(jù)自己任教班級的學(xué)情進行加工改編.比如上文提到的“活動2”只是給出一種變式再練，如果學(xué)生整體學(xué)情較好，還可將問題“一般化”，給出以下變式拓展問題.

“活動2”變式如圖4，矩形DEFG的頂點均在△ABC的邊上，當(dāng)點D位于邊AB什么位置時，矩形DEFG的面積最大？

圖4

“活動2”拓展如圖4，平行四邊形DEFG的頂點均在△ABC的邊上，求證：平行四邊形DEFG的面積不超過△ABC的面積的一半.

4 寫在最后

教學(xué)設(shè)計能力是每一個教師需要終身修煉的教學(xué)基本功.而深入研讀教材，重視教材內(nèi)容的解讀，并將其加工轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動，則又是專業(yè)基本功的顯現(xiàn)[3].本文是筆者近期在二次函數(shù)教學(xué)后的一些實踐反思，拋磚引玉，期待同行在研讀教材和“加工轉(zhuǎn)化”方面的更多實踐成果.