中俄聯(lián)合辦學(xué)高等數(shù)學(xué)雙語教學(xué)難點(diǎn)剖析

謝素英，韓 斌，管俊彪

（杭州電子科技大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310018）

隨著經(jīng)濟(jì)全球化步伐的加快，中外聯(lián)合辦學(xué)已然在各地興起，近幾年中俄聯(lián)合辦學(xué)也在我校扎下了根基。而高等數(shù)學(xué)是中外聯(lián)合辦學(xué)理工科專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，是歷屆考研必考的重要課程之一，同時也是大學(xué)理工科專業(yè)后續(xù)課程的重要基礎(chǔ)。高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用非常廣泛，其內(nèi)容已深入滲透至諸多科學(xué)領(lǐng)域，是現(xiàn)代科研工作不可或缺的重要工具。但高等數(shù)學(xué)內(nèi)容多、理論深、方法雜，又號稱為大學(xué)最難學(xué)的一門課程。對比其他課程，高等數(shù)學(xué)掛科率偏高已然是大學(xué)里的普遍現(xiàn)象。而高等數(shù)學(xué)的教學(xué)方法會直接影響到教學(xué)效果。面對種種問題，研究如何科學(xué)地教好高等數(shù)學(xué)是十分迫切的。事事都遵循客觀規(guī)律，教學(xué)也不例外。良好的教學(xué)方法可以快速提高學(xué)生的邏輯推理能力、分析和解決問題的能力，進(jìn)而也可以培養(yǎng)學(xué)生的初步科研能力。眾所周知，獨(dú)木不成林，一花難成春。作為從業(yè)多年的教師理應(yīng)在傳授知識的同時，注重培養(yǎng)青年教學(xué)梯隊，打造教學(xué)質(zhì)量過硬的雙語教學(xué)團(tuán)隊。本文主要把教學(xué)團(tuán)隊多年來的教學(xué)質(zhì)量經(jīng)驗與大家分享，希望對青年教師能夠起到撥云見日、云開月明之功效。在進(jìn)入大學(xué)的第一個學(xué)期，對高等數(shù)學(xué)的教學(xué)要科學(xué)引導(dǎo)學(xué)生入門，注重中學(xué)知識點(diǎn)和大學(xué)知識點(diǎn)的良好銜接；對高等數(shù)學(xué)雙語教學(xué)的授課內(nèi)容要科學(xué)取舍，抓住重點(diǎn)和難點(diǎn)，教學(xué)難點(diǎn)剖析要科學(xué)適度，展開歸類例題的講解；授課中時刻關(guān)注學(xué)生的聽課狀態(tài)，注意引導(dǎo)學(xué)生的興趣，適時調(diào)整雙語教學(xué)模式。

一、注意中學(xué)知識點(diǎn)與大學(xué)知識點(diǎn)的良好銜接

莘莘學(xué)子為了實現(xiàn)自己的夢想，經(jīng)過層層選拔，終于步入了自己夢寐以求的大學(xué)殿堂。大一新生對未來充滿了美好的憧憬和向往，對大學(xué)開設(shè)的高等數(shù)學(xué)雙語課程流露出了好奇的目光。面對學(xué)生渴求知識的目光，我們要做的不僅僅是把知識簡單地傳授給他們，還要科學(xué)地將他們引入大學(xué)校門，即把他們的思維帶入大學(xué)校園。學(xué)生往往有先入為主的思維慣性，喜歡這個老師就會喜歡他的課，因此教師要足夠重視第一堂課。第一堂課是展現(xiàn)個人魅力的關(guān)鍵時刻，教師要有足夠的“氣場”，所謂的“氣場”可以理解為教師的威懾力與學(xué)生的關(guān)注度和敬愛度。教師既要做到和藹可親、目光深邃如炬，又要對該領(lǐng)域博大精深的知識能夠融會貫通，讓學(xué)生對您有肅然起敬之感，您的每一句話對學(xué)生都會有警示和啟迪作用。教師有必要強(qiáng)調(diào)為什么學(xué)習(xí)這門課，如何學(xué)好這門課，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)方法。對于初學(xué)高數(shù)的人一定要把中學(xué)和大學(xué)的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)銜接好。中學(xué)數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)知識密切相關(guān)。在目前的應(yīng)試教育模式下，中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)對很多與高考無關(guān)的知識點(diǎn)進(jìn)行了刪節(jié)，比如：極坐標(biāo)、一些反三角函數(shù)等。而個別省對求極限和導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了初步講解，但中學(xué)老師又沒有把極限和導(dǎo)數(shù)的概念講透徹，造成部分學(xué)生到了大學(xué)里按照中學(xué)的慣性思維不顧條件地求極限和求導(dǎo)數(shù)。對于中學(xué)沒有講過或沒有重點(diǎn)講過的知識點(diǎn)，我們要及時補(bǔ)充，把知識點(diǎn)講透，讓學(xué)生丟掉中學(xué)的錯誤慣性思維，逐步培養(yǎng)高等數(shù)學(xué)縝密的邏輯思維。在授課學(xué)時不足時，教師可以把某些知識點(diǎn)做成電子課件，通過圖文并茂的方式傳授給學(xué)生，做好科學(xué)地銜接。在大學(xué)的第一學(xué)期要注意培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，中學(xué)的填鴨式刷題法固然可以提高分?jǐn)?shù)，但大學(xué)里要更注意培養(yǎng)學(xué)生預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)和課外閱讀的良好習(xí)慣。在授課時可以同步地給學(xué)生發(fā)放每個章節(jié)的重點(diǎn)、難點(diǎn)和易混易錯問題分析等，以及一些啟發(fā)性問題和課外閱讀資料，便于學(xué)生對每個章節(jié)的知識點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)?？傊诘谝粚W(xué)期教師要花足夠的時間和耐心引領(lǐng)好學(xué)生在大學(xué)階段學(xué)習(xí)的第一步。

二、精選雙語教學(xué)授課內(nèi)容，突出重點(diǎn)難點(diǎn)

在教學(xué)大綱規(guī)定的學(xué)時內(nèi)，要想詳細(xì)地講解高等數(shù)學(xué)的每個知識點(diǎn)是做不到的。但高數(shù)課程是一個良好的有機(jī)體，如果我們僅對其內(nèi)容進(jìn)行簡單刪節(jié)，就會破壞其知識的系統(tǒng)性和完整性，從而對學(xué)生的理解造成困擾。教師應(yīng)在反復(fù)閱讀教材的基礎(chǔ)上，科學(xué)地選擇教學(xué)內(nèi)容，精選講課要點(diǎn)。中俄聯(lián)合辦學(xué)的高數(shù)課程需要中英文雙語教學(xué)，因此在選擇合適的中英文教材時，要合理把握難度。我校采用中文教材和外文原版教材相結(jié)合的教學(xué)模式。實踐中，發(fā)現(xiàn)中英文教材各有其優(yōu)缺點(diǎn)，教師要取長補(bǔ)短，科學(xué)取舍。對于初學(xué)者，英文教材設(shè)置的章節(jié)比中文教材更加詳細(xì)，起點(diǎn)更低，更容易理解。比如極限定義，英文教材用一節(jié)從直觀角度來理解無限接近這一概念，隨后再用一節(jié)嚴(yán)格地表述極限的數(shù)學(xué)定義。從這一點(diǎn)來看，大一新生對英文教材更容易理解，而中文教材對極限的直接表述較難被新生接受。因此對中英文教材應(yīng)做到取長補(bǔ)短，合理設(shè)置教案，對學(xué)生初次接觸、影響全局的重點(diǎn)難點(diǎn)要用足夠的時間詳細(xì)地講解。例如，對極限概念的講解是高等數(shù)學(xué)的重中之重，因為極限理論是高等數(shù)學(xué)的核心。盡管部分同學(xué)在中學(xué)里已經(jīng)學(xué)習(xí)了極限，并學(xué)會了求極限的初步方法，但中學(xué)里往往不強(qiáng)調(diào)極限定義的精髓，很多學(xué)生會求極限，但不能真正理解極限。由于中學(xué)階段學(xué)到的量是靜態(tài)的量，學(xué)生很難對極限有很好的理解和掌握。對極限概念的講解一般從數(shù)列的無窮小的變化過程講起。首先要問無窮小是零嗎? 初學(xué)者往往會想當(dāng)然地認(rèn)為無窮小與零是畫等號的。如何讓學(xué)生深刻認(rèn)識到無窮?。繜o窮小到底是靜態(tài)的量還是動態(tài)的量？結(jié)合中英文教材，數(shù)列極限的“ε-N”定義給了我們很好的解釋。無窮小是一類趨向于零的“動態(tài)”變化過程，它可以是以零為極限的數(shù)列，也可以是以零為極限的函數(shù)，特別注意“零常數(shù)列”是一類特殊的無窮小，它也是一種動態(tài)變化過程，而“零常數(shù)列”并不等價于“常數(shù)零”。讓學(xué)生真正理解極限，把“靜態(tài)”的量轉(zhuǎn)化為“動態(tài)”的量，是一種思維方式的轉(zhuǎn)變。面對初學(xué)者教師首先要用中文把極限定義講明白再給出英文的定義。為了讓學(xué)生充分理解極限，首先要完整地給出定義的具體背景，通過多舉例多分析講清極限的來龍去脈，但又要注意不能和數(shù)學(xué)分析一樣把極限講得太深入，要適時把握好高等數(shù)學(xué)關(guān)于極限部分講解的“深度”和“廣度”。極限概念貫穿了高等數(shù)學(xué)的始終，函數(shù)的連續(xù)、求導(dǎo)、定積分及級數(shù)的收斂等都是通過極限來定義的。把極限概念講透徹并讓學(xué)生真正理解極限，對后續(xù)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)能起到事半功倍的作用。

其次，高等數(shù)學(xué)中的兩個重要極限也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)和重點(diǎn)。

高數(shù)下冊難點(diǎn)之一是兩類曲線積分和兩類曲面積分，即對弧長的曲線積分和對坐標(biāo)的曲線積分；對面積的曲面積分和對坐標(biāo)的曲面積分。在講解這部分內(nèi)容時，為了不讓同學(xué)把各種積分搞混淆，最好的講解方式是從曲線和曲面兩類積分的物理和幾何意義上進(jìn)行對比。例如，對弧長的曲線積分和對坐標(biāo)的曲線積分其本質(zhì)差異是前者積分曲線無方向，其物理意義是變密度曲線的質(zhì)量，而后者積分曲線有方向，其物理意義是變力做功。兩類曲線積分的計算公式雖然都是通過“定積分”來完成，但仍有較大差異。為了有效區(qū)分二者的計算公式可采用“十二字口訣”的方式講解，方便學(xué)生記憶。對弧長的曲線積分計算公式可用：“帶回家，換馬甲，論小大，定上下”；這里“帶回家”理解為將曲線的參數(shù)式代入被積表達(dá)式，“換馬甲”特指將曲線積分的弧長元素ds換成參數(shù)式。而對坐標(biāo)的曲線積分的計算公式可用：“帶回家，換馬甲，抓始終，定上下”，這里的“換馬甲”特指將曲線積分中的dx，dy（或dz）換成參數(shù)式?！罢撔〈?，定上下”會讓同學(xué)牢牢記住對弧長的曲線積分的計算，定積分的下限永遠(yuǎn)小于上限，而“抓始終，定上下”會讓同學(xué)徹底記住對坐標(biāo)的曲線積分計算，定積分的下限永遠(yuǎn)對應(yīng)起點(diǎn)，而上限永遠(yuǎn)對應(yīng)終點(diǎn)?；蛘咴俸唵我稽c(diǎn)可采用“一帶，二換，三定限”七字口決的方式，讓學(xué)生牢牢記住公式要點(diǎn)。

高數(shù)下冊另一難點(diǎn)是格林公式和高斯公式的巧妙使用。1828 年，英國數(shù)學(xué)家喬治·格林（George·Green）在研究中推出了格林公式，主要揭示了平面區(qū)域上的二重積分與沿其邊界的曲線積分之間的關(guān)系，公式如下：

式中，L 為區(qū)域D 的邊界曲線，取正向。格林公式應(yīng)用非常廣泛，在講解格林公式時，要抓住“三查”，即“查封閉，查正向，查連續(xù)”。為何要強(qiáng)調(diào)“三查”？因為格林公式的應(yīng)用必須滿足定理的條件，而我們的題目通?？煞譃槿箢?，即：（1）積分曲線滿足封閉正向，被積函數(shù)滿足連續(xù)性條件，直接用格林公式。（2）積分曲線為非封閉曲線，需要“順勢而為”添加有向線段做成封閉曲線，使之滿足封閉正向的條件再使用格林公式。（3）當(dāng)被積函數(shù)不滿足連續(xù)性條件時，即有奇點(diǎn)的情形，采用挖洞法，挖去奇點(diǎn)，做成多連通區(qū)域后再使用格林公式。因此“三查”法強(qiáng)調(diào)了不同條件下如何使用格林公式。采用“三查”法講解格林公式的應(yīng)用在授課中收到了良好的效果。

德國數(shù)學(xué)家奧斯特洛夫斯基（Ostrowski，Alexander Marko-vic，1777-1855）在熱傳導(dǎo)理論的探索過程中，研究得到了高斯公式，公式如下：

其中S 為區(qū)域V 的邊界曲面取外側(cè)。在講解高斯公式時，同樣要抓住“三查”，即“查封閉，查正向，查連續(xù)”。同樣因為高斯公式的應(yīng)用必須滿足定理的條件，而題目也基本分為三大類，即，（1）積分曲面滿足封閉正向，被積函數(shù)滿足連續(xù)性條件，直接用高斯公式。（2）積分曲面為非封閉曲面，需要“順勢而為”補(bǔ)有向曲面做成封閉曲面，使之滿足封閉、正向的條件再使用高斯公式。（3）當(dāng)被積函數(shù)不滿足連續(xù)性條件時，即有奇點(diǎn)的情形，采用挖洞法，挖去奇點(diǎn)，做成多連通區(qū)域后再使用高斯公式。因此，“三查”法強(qiáng)調(diào)了不同條件下如何使用高斯公式。采用“三查”法講解高斯公式的應(yīng)用簡潔易記，同樣收到了良好的課堂效果。

三、授課中關(guān)注學(xué)生興趣，適時調(diào)整教學(xué)模式

在學(xué)習(xí)中，感興趣地主動去學(xué)習(xí)和無興趣地被迫去學(xué)習(xí)，二者效果截然不同。在高等數(shù)學(xué)的雙語教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性一直困擾著許多教師。浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系教授蘇德礦給我們做了很好的示范。蘇教授說：“當(dāng)你喜歡一個人的時候，他的一舉一動，一點(diǎn)變化你都看在眼里，別人都變成了常數(shù)，他才是唯一的變量，只為他傾倒，如此偏愛成為偏導(dǎo)。”在蘇教授的數(shù)學(xué)世界里，許多抽象的概念和公式都可以找到生動的類比。作者在中學(xué)時期對數(shù)學(xué)的興趣也是來自一位特級教師趙老師，他的課堂充滿了風(fēng)趣幽默的話語，滿堂的歡聲笑語。當(dāng)然，我們不能苛求每位老師都具有他們的風(fēng)范，但不能把高數(shù)講成枯燥乏味地推理和計算。為了讓大一新生適應(yīng)雙語教學(xué)，首先要采用“過渡式”和“混合式”教學(xué)模式，所謂“過渡式”就是針對部分英語和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好的同學(xué)，先采用中文講解，再過渡為英文講解，讓學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)英語詞匯和正確表述，能看懂英文題目，英文板書和PPT。而“混合式”是針對英語基礎(chǔ)良好的同學(xué)，在“過渡式”的基礎(chǔ)上增加英語口語的表達(dá)和提問，讓學(xué)生做到能夠較流暢地用英語討論數(shù)學(xué)問題。而雙語教學(xué)的最高等級“自如式”就是學(xué)生可以聽懂高數(shù)的純英語口語上課，能夠熟練地聽說讀寫。但作為非“985”院校，學(xué)生的英語基礎(chǔ)并非特別好，采用“過渡式”和“混合式”更為適宜。教師可以根據(jù)不同的班級，學(xué)生的聽課狀態(tài)和效果適時調(diào)整教學(xué)模式。

教學(xué)模式固然重要，教師在課堂上如何才能激發(fā)起學(xué)生的興趣呢？要想引起學(xué)生興趣，教師了解一些數(shù)學(xué)發(fā)展史是有必要的。數(shù)學(xué)的發(fā)展有一個漫長的過程，其發(fā)展過程中也是跌宕起伏的，對于很多知識點(diǎn)，在最初的研究過程中前人也曾走了不少彎路。教師在課堂上對高數(shù)的發(fā)展史用中英文作簡短介紹，讓學(xué)生了解高數(shù)的發(fā)展過程，做到追根溯源。數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開每位數(shù)學(xué)大師，是他們的辛勤付出推動了時代的進(jìn)步。教師在講解某些著名定理時，適當(dāng)穿插數(shù)學(xué)名人小故事，既可以活躍課堂氣氛，也能使學(xué)生對定理記憶深刻。例如，在講到拉格朗日定理、柯西定理和阿貝爾定理時，給學(xué)生插入一些關(guān)于名人的小故事，學(xué)生會興趣盎然，同時記住前人進(jìn)行科學(xué)探索的方法。此外，除了講名人故事，也可以用中英文講一些富有哲理的名言警句。例如，把每一件簡單的事做好就不簡單，把每件平凡的事做好就不平凡。教師如果想做到每堂課都有笑聲，需要在課下收集整理很多能夠啟迪人生的有趣故事。教師只要舍得付出，把自己的能力兌換成充滿笑聲的課堂是能夠?qū)崿F(xiàn)的。高等數(shù)學(xué)的雙語教學(xué)是一門藝術(shù)，能講和會講，進(jìn)而做到受學(xué)生歡迎和愛戴是大相徑庭的。講臺好比舞臺，俗話說得好，“臺上一分鐘，臺下十年功”，一個教師要對每堂課做好充分的準(zhǔn)備，花很多工夫才會引起學(xué)生的興趣，博得學(xué)生的掌聲。