功能梯度開孔平行四邊形板的等幾何振動分析

鐘銳， 胡雙衛(wèi)， 秦斌， 王青山

(1.中南大學 高性能復雜制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410083； 2.中南大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙 410083)

功能梯度(functional graded, FG)平行四邊形板具有比重小、耐高溫以及無脫層等優(yōu)點，被廣泛應用于航空航天、船舶工程等領(lǐng)域。為滿足工程需求，如減重、排氣、舾裝敷設(shè)等，通常需在結(jié)構(gòu)內(nèi)部開孔，這導致其振動特性相較于無孔板具有明顯差異，而這類結(jié)構(gòu)的振動抑制依賴于它的振動機理研究，所以研究功能梯度開孔平行四邊形板的振動行為具有較為重要的工程意義。

目前開孔板的振動問題已引起了學者關(guān)注，并涌現(xiàn)了諸多數(shù)值方法，如里茲法[1]、改進傅里葉級數(shù)法[2]、等幾何法[3]、區(qū)域分解法[4]等。Malekzadeh等[1]采用切比雪夫-里茲法研究了功能梯度開孔圓柱殼面板的自由振動特性。Xue等[3]基于等幾何法建立了含孔隙的多孔方板、圓板和開圓孔的矩形板的振動分析模型。Liu等[5]基于改進傅里葉-里茲法探討了矩形板內(nèi)部開孔對結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的影響。Wang等[6]利用改進傅里葉級數(shù)法研究了具有任意孔的各向同性彈性約束板的自由振動問題。袁國清等[4]在一階剪切變形理論的基礎(chǔ)上采用區(qū)域分解法分析了開孔板和加強板的自由振動特性。以上文獻調(diào)研發(fā)現(xiàn)，目前開孔板的研究主要圍繞規(guī)則的矩形板展開，這對探究FG開孔平行四邊形板的振動特性具有借鑒意義，但由于開孔平行四邊形板幾何形狀的不規(guī)則性以及材料特性的復雜性，導致目前該類結(jié)構(gòu)的研究相對較少。而且現(xiàn)有的多數(shù)數(shù)值方法求解此類問題時建模過程繁瑣，不利于揭示此類結(jié)構(gòu)的振動機理。

等幾何法是能夠無縫集成CAD模型設(shè)計與CAE分析的數(shù)值方法[7]。在結(jié)構(gòu)幾何設(shè)計、計算分析過程中，該方法保持了精準的幾何模型，同時避免了繁瑣的網(wǎng)格重構(gòu)，有效縮減了數(shù)值分析中與CAD模型頻繁的信息交換?；谝陨蟽?yōu)點，等幾何法已在梁[7]、板[8-9]、殼[10-11]等結(jié)構(gòu)動力學領(lǐng)域得到關(guān)注。陳明飛等[7]針對變曲率FG曲梁，引入彈簧技術(shù)建立了覆蓋經(jīng)典、彈性約束的等幾何振動模型。Zhong等[12]采用等幾何法研究了多向功能梯度的變厚度圓板、橢圓板和扇形板的振動特性。Chen等[10]通過等幾何方法考察了周向和軸向材料特性呈現(xiàn)功能梯度分布的圓柱殼振動特性。

本文針對開矩形孔的平行四邊形板，通過引入在厚度方向上連續(xù)梯度變化的功能梯度材料，建立開孔板的等幾何自由振動模型。開孔板的位移利用NURBS函數(shù)構(gòu)建，采用坐標映射實現(xiàn)父空間到不規(guī)則物理空間的變換，并結(jié)合邊界彈簧技術(shù)獲得結(jié)構(gòu)的振動分析模型。數(shù)值分析中，以有限元模型為參考，驗證等幾何數(shù)值模型的正確性，并考察了梯度指數(shù)、邊界條件、結(jié)構(gòu)幾何角度等關(guān)鍵參數(shù)對功能梯度開孔平行四邊形板自由振動的影響。

1 開孔平行四邊形板數(shù)值模型

1.1 模型描述

圖1給出了開矩形孔的功能梯度平行四邊形板的幾何模型和坐標系。O-XYZ坐標系位于結(jié)構(gòu)的幾何中面上，板的長、寬、厚度和角度分別為a、b、h和α；矩形孔的長和寬分別為c和d；圖1中u、v、w分別表示開孔板中任意一點在X、Y、Z方向的位移。本文引入3組線性約束彈簧(Ku、Kv、Kw)和2組轉(zhuǎn)角約束彈簧(Kφx、Kφy)來模擬不同的邊界約束。對于固支約束，通過設(shè)置所有彈簧剛度值為1015實現(xiàn)；對于自由約束，將所有彈簧剛度值設(shè)為0即可；對于簡支約束，將固支約束中轉(zhuǎn)角彈簧剛度值設(shè)為0即可。

圖1 開矩形孔的平行四邊形板的幾何模型與坐標系Fig.1 Geometric model and coordinate system of parallelogram plate with rectangular hole

1.2 NURBS函數(shù)

基于一維參數(shù)空間ξ∈[0, 1]，節(jié)點向量E可以定義為一組介于0和1之間非遞減矢量[13]：

E=[ξ1=0,…,ξi,…,ξn+p+1=1]

式中：ξi表示第i個節(jié)點的值;n表示基函數(shù)總數(shù);p表示基函數(shù)階數(shù)。對于給定的節(jié)點向量E，非均勻有理B樣條基函數(shù)可以寫為[13]:

當p=0時:

(1)

當p>0時:

(2)

根據(jù)式(1)和式(2)中B樣條基函數(shù)，通過添加權(quán)系數(shù)可以導出一維形式的NURBS函數(shù)：

式中：wi是第Ni,p(ξ)基函數(shù)的權(quán)系數(shù)。類似地，二維形式的NURBS函數(shù)可以定義為:

(3)

式中：Ni,p和Mj,q分別為ξ方向上的p階基函數(shù)和η方向上的q階基函數(shù);wi,j是相應的權(quán)系數(shù);m×n為基函數(shù)總數(shù)。

1.3 開孔平行四邊形板能量方程

考慮包含剪切修正因子的一階剪切變形板理論，則板內(nèi)任意一點的位移可以表示為[14]:

(4)

q=[u0v0w0φxφy]T

式中：u0、v0、w0為結(jié)構(gòu)幾何中面的位移；φx、φy分別為x-z平面和y-z平面的轉(zhuǎn)角；q為位移向量。

本文采用式(3)中二維NURBS函數(shù)構(gòu)建板的位移場，即：

q=Nqn

(5)

式中：N為NURBS函數(shù)矩陣；qn為控制點向量，它們的具體表達式為:

(6)

式中：S為二維NURBS函數(shù)矩陣，由式(3)獲得。

根據(jù)廣義胡克定律，功能梯度開孔板的廣義應力-應變關(guān)系可以表示為:

σ=Qε

(7)

式中：σ為開孔板的廣義應力矢量;Q為開孔板的材料系數(shù)矩陣;ε為開孔板中任意一點的廣義應變矢量。它們的具體表達式可從文獻[15]中獲得。

在本文中，假定金屬和陶瓷2種基體材料在厚度方向上的連續(xù)梯度變化以形成功能梯度材料，結(jié)構(gòu)的下表面(Z=-h/2)為金屬基體，上表面(Z=h/2)為陶瓷基體，則開矩形孔平行四邊形板的材料屬性可被表示為:

式中：E、ρ、μ分別為板的彈性模量、密度及泊松比；角標c1、m1分別表示陶瓷基及金屬基成分，并且2種基體體積分數(shù)和為1，即Vc1+Vm1=1。這里Vc1=(0.5+z/h)k，且k為梯度指數(shù)。

結(jié)合式(4)～(6)，板的廣義應變矩陣可表示為:

ε=RBqn

式中：矩陣B為二維NURBS微分算子。矩陣R和B的表達式為:

開孔板的廣義力與應變間的關(guān)系可表示為:

式中：KS為剪切修正因子，其取值大小與結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)、材料特性和邊界條件等有關(guān)，在本文中KS= 5/6；Mp為力矩陣；AM、BM和DM分別表示結(jié)構(gòu)的拉伸、拉伸-彎曲和彎曲剛度系數(shù)矩陣；AK代表與剪切剛度相關(guān)聯(lián)的系數(shù)矩陣；D為整體剛度系數(shù)矩陣；εM為結(jié)構(gòu)中面上的廣義應變向量。

如前所述，本文通過引入邊界彈簧來考慮不同的邊界約束，這將在邊界處產(chǎn)生附加的彈性勢能。特別地，在式(5)中已經(jīng)給出了結(jié)構(gòu)的位移場構(gòu)建形式?；诖?，開孔平行四邊形板結(jié)構(gòu)的應變勢能、彈性勢能以及動能可以描述為:

(8)

(9)

(10)

式中：K、KBC、M分別表示開孔板的整體應變剛度矩陣、邊界剛度矩陣及質(zhì)量矩陣;Γ表示四邊形板的外邊界。鑒于研究對象的不規(guī)則性，需對開孔板進行單元劃分，則第e個結(jié)構(gòu)單元的剛度、邊界及質(zhì)量矩陣可以表示為:

圖2 各坐標空間及其映射Fig.2 Coordinate spaces and their mapping

(11)

(12)

1.4 振動求解

根據(jù)式(8)～(10)，功能梯度開孔平行四邊形板的Lagrange能量方程為:

L=T-U-Uspring

(13)

對于式(13)，通過對未知變量求偏導可以得到方程：

(14)

將式(14)轉(zhuǎn)化為矩陣表達式，可得到結(jié)構(gòu)的振動特性方程：

[K+KBC-ω2M]qn=0

(15)

式中ω表示圓頻率。通過式(15)的求解，可以得到板的頻率和相應的特征向量，并將其代入式(5)中即可獲得開孔板的模態(tài)振型。

2 數(shù)值結(jié)果分析

本節(jié)將利用等幾何數(shù)值模型進行功能梯度開孔平行四邊形板振動特性研究。如無說明，計算中采用的開孔板參數(shù)設(shè)置如下：a=2 m,b=1 m,h=0.01 m,c=d=0.5 m,α=45°，矩形孔位于結(jié)構(gòu)的幾何中心。如前所述，對于不同的邊界可以設(shè)置與之對應的彈簧剛度實現(xiàn)，符號C、S及F分別表示固支、簡支、自由邊界。本文所涉及的邊界組合按逆時針方向設(shè)定，以CSFC邊界為例，其中C、S、F、C分別對應板的下邊界(y=0)、右邊界、上邊界(y=b)以及左邊界。另外，本文中使用的陶瓷(Al2O3)和金屬(Al)的材料參數(shù)定義如下：Ec1=380 GPa,Em1=70 GPa,μc1=μm1=0.3,ρc1= 3 800 kg/m3,ρm1= 2 702 kg/m3。此外，本文中對開孔板的頻率進行無量綱化:

(16)

2.1 模型驗證

從前面建?？芍⒌牡葞缀文Ｐ陀嬎憔扰cB樣條函數(shù)的階數(shù)相關(guān)，根據(jù)文獻[7]的研究，本文中取p=q=4。下面將以有限元模型的數(shù)值結(jié)果為參考進行等幾何數(shù)值模型的求解準確性分析，有限元模型采用網(wǎng)格尺寸為0.01 m×0.01 m的殼單元。表1分別給出了不同邊界下以陶瓷為材料成分(k=0)的開孔板前10階無量綱頻率。對比結(jié)果表明，盡管計算方法存在差異，但等幾何模型和有限元模型間的數(shù)值誤差均不超過0.3%，這表明了本文所建立分析模型在預測復合材料開孔平行四邊板固有頻率的正確性和有效性。

表1 開矩形孔的功能梯度平行四邊形板前10階無量綱頻率Ω對比Table 1 Comparison of the first ten non-dimensional natural frequencies of functionally graded parallelogram plate with rectangular hole

表2給出了采用等幾何模型計算獲得的功能梯度矩形板的前10階無量綱頻率Ω，同時也列出了文獻[16]的數(shù)值結(jié)果，表2中板的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：a=1 m,b=1 m,h=0.1 m,c=d=0 m,α=90°。通過表2中呈現(xiàn)的對比情況可以看出，等幾何法的計算結(jié)果與文獻給出的精確解析解吻合性很好，這充分驗證了本文方法求解功能梯度開孔板振動特性的精確性。

表2 功能梯度矩形板前10階無量綱頻率比較Table 2 Comparison of the first ten non-dimensional natural frequencies of the functional graded rectangular plates

2.2 參數(shù)研究

圖3呈現(xiàn)了隨著梯度指數(shù)k的變化，功能梯度開矩形孔的平行四邊形板前4階無量綱頻率特性的變化曲線。圖3中CCCF邊界約束下的計算結(jié)果采用右側(cè)藍色坐標刻度表示。從圖3中可以看出，無論哪種邊界案例，隨著梯度指數(shù)k的增大，鋁基體組分在結(jié)構(gòu)中的占比逐漸上升，從而引起了FG開孔板各階無量綱頻率Ω的減小，從本質(zhì)上這是由于鋁材料基體成分的增加降低了開孔板的結(jié)構(gòu)剛度，并且k∈[0,2]范圍內(nèi)更為明顯。此外，觀察不同邊界情況下各階頻率參數(shù)Ω也可看出，邊界約束的增強會增大無量綱頻率Ω的值。

圖4給出了4種邊界下角度α對開孔板前4階無量綱頻率Ω的影響曲線，其中前2階頻率曲線采用紅色坐標刻度，而后2階頻率曲線值采用藍色坐標刻度。本算例中除角度α變化外，其余參數(shù)均為默認值(開孔板的面積保持不變)，梯度指數(shù)k=1。從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，所有無量綱頻率Ω的變化曲線均關(guān)于角度α=90°對稱，并在該處達到極值。其次，開孔板的無量綱頻率整體上是隨著角度α的增加先減小后增大，但在不同邊界案例中各階次頻率變化幅度差異明顯，這表明角度α對功能梯度開矩形孔的平行四邊形板頻率特性的影響與模態(tài)階次、邊界條件均具有較大的關(guān)聯(lián)性。

圖5給出了功能梯度平行四邊形板的頻率參數(shù)在不同矩形孔尺寸參數(shù)下的變化曲線。本算例中板的厚度h=0.05 m，梯度指數(shù)k=1。為便于分析，矩形孔參數(shù)c和d設(shè)為同步變化，即c=d。從圖5中可以看出，不同模態(tài)階次對應的頻率參數(shù)對矩形孔參數(shù)的敏感程度存在較大差別。具體而言，隨著矩形孔參數(shù)c和d增加，一階無量綱頻率參數(shù)逐漸增大，而二階無量綱頻率參數(shù)卻隨之逐漸減小。

圖3 梯度指數(shù)k對FG開孔平行四邊形板振動特性的影響Fig.3 Effect of gradient index k on vibration characteristics of FG parallelogram plate with openings

圖4 不同邊界下開孔板無量綱頻率隨角度α的變化Fig.4 Variation of the non-dimensionless frequencies of a perforated plate under different boundary conditions

圖5 矩形孔尺寸對FGM開孔平行四邊形板頻率的影響Fig.5 Influence of rectangular hole dimensions on frequencies of FGM perforated parallelogram plate

3 結(jié)論

1)IGA具有良好計算精度，而且當結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化時，僅修改相關(guān)參數(shù)即可，無需重新推導，簡潔而高效；

2)開孔板的各階無量綱頻率隨鋁材料成分的增加而減小；邊界約束的增強會導致無量綱頻率增大；角度α對開孔板頻率特性的影響與模態(tài)階次、邊界條件均具有較大的關(guān)聯(lián)性；孔的尺寸增加會導致板的一階頻率參數(shù)增大，二階頻率參數(shù)減小。