高超聲速飛行器自適應(yīng)固定時間抗飽和控制

劉繼承， 江駒， 陰浩博， 劉亮

(南京航空航天大學(xué) 自動化學(xué)院，江蘇 南京 210016)

高超聲速飛行器作為一種新型快速響應(yīng)和戰(zhàn)略打擊工具，其具有巨大的軍事價值和潛在的經(jīng)濟(jì)價值[1]。我國相關(guān)航天院所開展了高超聲速飛行器重大科技研發(fā)[2]。高超聲速飛行器是一個集強(qiáng)非線性、強(qiáng)耦合和快時變等影響于一身的復(fù)雜被控對象，且其飛行環(huán)境易受外界復(fù)雜隨機(jī)干擾的影響，因此如何設(shè)計出高效的制導(dǎo)控制系統(tǒng)是研發(fā)的關(guān)鍵技術(shù)之一[3]。

迄今為止，許多先進(jìn)的控制方法已經(jīng)應(yīng)用于高超聲速飛行器的控制系統(tǒng)的設(shè)計當(dāng)中，如：滑?？刂?、魯棒H∞控制、自適應(yīng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制和模糊控制等。文獻(xiàn)[2]在考慮參數(shù)不確定和外界干擾的環(huán)境下設(shè)計了一種基于干擾觀測器的高超聲速飛行器自適應(yīng)高階滑?？刂破鳎軌蛟诒ＷC系統(tǒng)較強(qiáng)魯棒性的同時減小抖振影響，且能保證系統(tǒng)的有限時間收斂特性。文獻(xiàn)[4]基于高階奇異值分解后的高超聲速飛行器線性變參數(shù)模型設(shè)計了一種混合魯棒H2/H∞LPV控制器，保證了對縱向速度和高度參考軌跡的漸近跟蹤。文獻(xiàn)[5]針對非線性高超聲速飛行器模型中的非匹配不確定性，提出了一種自適應(yīng)反步控制，并設(shè)計了投影算子以避免奇異問題，保證了閉環(huán)不確定系統(tǒng)指令的漸近跟蹤。文獻(xiàn)[6]設(shè)計了一種結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似與最小學(xué)習(xí)參數(shù)(MLP)的新型改進(jìn)反步法控制器，具有控制策略簡潔、計算量小等特點(diǎn)。文獻(xiàn)[7]采用T-S模糊建模技術(shù)對高超聲速飛行器建模，針對該模型設(shè)計H∞動態(tài)輸出反饋控制器，通過仿真驗證了這種控制方法對參數(shù)攝動的魯棒性。針對高超聲速飛行器的固定時間控制問題，文獻(xiàn)[8]針對高超聲速飛行器嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)設(shè)計了一種基于反步法固定時間控制器，并結(jié)合超螺旋結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)固定時間干擾觀測器，保證了系統(tǒng)的半全局一致固定時間收斂特性。文獻(xiàn)[9]針對高超聲速飛行器執(zhí)行器故障設(shè)計了一種改進(jìn)的固定時間滑?？刂破鳎瑯?gòu)造了快速固定時間積分滑模面，并采用了固定時間超螺旋形式趨近律。文獻(xiàn)[10]針對不確定非線性系統(tǒng)提供了一種新型自適應(yīng)控制策略，在該策略下，系統(tǒng)可以保證固定時間穩(wěn)定，且不受初始狀態(tài)的影響。對于抑制高超聲速飛行器執(zhí)行器飽和問題，文獻(xiàn)[11]結(jié)合了基于干擾觀測器的終端滑模控制器與有限時間收斂的抗飽和補(bǔ)償器，實(shí)現(xiàn)了更好的跟蹤性能與更快的響應(yīng)速度。文獻(xiàn)[12]通過引入輔助系統(tǒng)設(shè)計了實(shí)際有限時間自適應(yīng)快速積分滑模控制器，能夠處理輸入飽和問題。文獻(xiàn)[13]針對參數(shù)攝動和外界干擾下的高超聲速飛行器縱向模型設(shè)計了魯棒自適應(yīng)控制器，采用反步法和非線性干擾觀測器結(jié)合的方法，并為解決執(zhí)行器飽和問題設(shè)計了新型輔助系統(tǒng)以補(bǔ)償期望的控制律。

本文考慮了高超聲速飛行器在具有參數(shù)不確定、外界干擾以及執(zhí)行器飽和情況下的固定時間控制問題?；诜e分滑模理論與自適應(yīng)控制相結(jié)合的方法本文設(shè)計了2個固定時間自適應(yīng)滑模控制器，使得系統(tǒng)狀態(tài)在固定時間收斂到平衡點(diǎn)，并利用李雅普諾夫理論給出了嚴(yán)格證明，最后通過對比仿真實(shí)驗驗證了所提方法的有效性。本文主要創(chuàng)新之處如下：1)與文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[12]中積分滑模面的設(shè)計方法不同，本文首先給出了非線性系統(tǒng)的高階滑?？焖俟潭〞r間控制律的設(shè)計方法，然后基于此方法設(shè)計積分滑模面可以保證系統(tǒng)跟蹤誤差及其導(dǎo)數(shù)均可在固定時間內(nèi)一致最終有界。2)本文設(shè)計了一種參數(shù)自適應(yīng)律，表現(xiàn)為非線性微分方程的形式，這種設(shè)計方法能夠保證不確定系統(tǒng)的固定時間穩(wěn)定特性。3)本文設(shè)計了一種自適應(yīng)固定時間抗飽和補(bǔ)償器，可以保證飽和系統(tǒng)的穩(wěn)定性且使其快速退出飽和區(qū)域。4)本文采用了精度高、魯棒性強(qiáng)、收斂時間短的高階滑模固定時間微分器，與文獻(xiàn)[14]中的有限時間魯棒微分器相比，能夠?qū)崿F(xiàn)更加快速地對系統(tǒng)狀態(tài)及高階導(dǎo)數(shù)的高精度逼近。

1 高超聲速飛行器控制問題

1.1 高超聲速飛行器模型

選取文獻(xiàn)[22]中美國國家航空航天局蘭利研究中心提出的剛體高超聲速飛行器縱向模型：

(1)

式中：V為速度；γ為航跡傾斜角；q為俯仰角速率；α為攻角；h為飛行高度；μ為地球引力常數(shù)；r=h-RE，RE為地球半徑；ci(i=V,γ,q,α,h)為外界時變的大氣擾動；L、D、T和Myy分別為作用于飛行器的升力、阻力、推力及俯仰力矩，其表達(dá)式為：

(2)

(3)

式中：δe為升降舵偏轉(zhuǎn)角；Δci(i=L,D,β,Mα,Mq,Mδe)為系統(tǒng)建模不確定。

高超聲速飛行器發(fā)動機(jī)模型采用典型二階系統(tǒng)：

(4)

式中：φc為節(jié)流閥開度指令值；ωn和ξ分別為系統(tǒng)自然頻率和阻尼比；Δcφ為外界擾動。式(1)～(4)參數(shù)的標(biāo)稱值可參照文獻(xiàn)[22]。

系統(tǒng)控制輸入u選為[φcδe]T，考慮執(zhí)行器輸入飽和存在，因此采用飽和函數(shù)sat(u)對控制輸入進(jìn)行限制，定義為：

式中：uimax和uimin為第i(i=1,2)控制輸入的最大最小限幅值。定義理想控制輸入與實(shí)際控制輸入之間的差值為：

Δui=sat(ui)-ui

式中ui是需要設(shè)計的控制指令。

本文針對高超聲速飛行器縱向模型，以控制飛行器速度和高度為目標(biāo)。在模型非線性、參數(shù)不確定、外界干擾及控制輸入飽和的情況下，通過設(shè)計飛行器輸入節(jié)流閥開度φc以及升降舵偏轉(zhuǎn)角δe實(shí)現(xiàn)對期望速度指令Vd和高度指令hd固定時間內(nèi)的穩(wěn)定跟蹤。

1.2 輸入輸出線性化

本文采用李導(dǎo)數(shù)的方法對高超聲速非線性模型進(jìn)行線性化，根據(jù)文獻(xiàn)[2]，對速度V和高度h分別微分3次和4次，控制輸入φc和δe出現(xiàn)在最后的微分式中，系統(tǒng)相對階為7，與系統(tǒng)的階數(shù)相等。因此，閉環(huán)系統(tǒng)沒有零動態(tài)，可以實(shí)現(xiàn)輸入輸出線性化，當(dāng)考慮建模不確定性和外界擾動，反饋線性化模型可以寫作：

(5)

1.3 相關(guān)引理

式中：α、β>0,p>1>q>0均為常數(shù)，則該系統(tǒng)為全局固定時間穩(wěn)定，且收斂時間T1滿足：

引理2[8]考慮標(biāo)量系統(tǒng)：

引理3[18]對于任意(x,y)∈R2，不等式成立:

式中：ε>0，p>1，q>1且滿足(p-1)(q-1)=1。

引理4[20]對于xi∈Rn,i=1,2,…,n，實(shí)數(shù)p和q滿足01，則下面的不等式成立：

引理5[21]考慮如下積分鏈系統(tǒng)：

(6)

式中：xi(i=1,2,…,n)為系統(tǒng)狀態(tài)變量；u為系統(tǒng)控制輸入。若控制器設(shè)計為：

LHsigβ1(x1)-…-LHsigβn(xn)

式中：LL、LH≥1，且多項式sn+kLnsn-1+…+kL1為Huiwitz多項式。存在ε∈(0,1)，使αn=αε∈(1-ε,1)且βn=βε∈(1,1+ε)，如果參數(shù)αi和βi滿足：

式中：i=2,3,…,n，且滿足αn∈(1-ε,1),βn∈(1,1+ε)，ε∈(0,1)為充分小的正數(shù)，αn+1=βn+1=1，則閉環(huán)系統(tǒng)式(6)是固定時間穩(wěn)定的。且收斂時間的上界隨LL和LH的增大而減小。

2 控制器設(shè)計

2.1 固定時間積分滑模面的設(shè)計

為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)在固定時間內(nèi)收斂，本節(jié)基于引理5分別設(shè)計速度和高度子系統(tǒng)的積分滑模面sV和sh為：

(7)

式中：LV1、LV2、LH1、LH2>0κi、αi、βi>0(i=1,2,3)λj、pj、qj>0,(j=1,2,3,4)，且需滿足αi、pj>1,0<βi,qj<1。eV=V-Vd,eh=h-hd分別為速度和高度跟蹤誤差。

由式(7)可知，滑模面sV和sh的表達(dá)式中包含eV和eh及其高階導(dǎo)數(shù)值，而其高階導(dǎo)數(shù)無法直接測量。本文采用具有精度高、魯棒性強(qiáng)、固定時間收斂的高階滑模微分器[15]，獲取eV和eh的微分估計值。為簡潔，只給出eV的高階滑模微分器為:

(8)

式中：k0、k1、k2為微分器待設(shè)計參數(shù)，其值需滿足Hurwitz多項式s3+k0s2+k1s+k2；α>0為充分小的正數(shù)；θ定義為:

令s=[sVsh]T，考慮飛行器參數(shù)不確定及外界干擾，對滑模面變量s求導(dǎo)并將式(7)和式(5)代入可得：

2.2 自適應(yīng)抗飽和控制器的設(shè)計

考慮控制輸入受到執(zhí)行器范圍的限制，基于文獻(xiàn)[24]，本文設(shè)計新型輔助系統(tǒng)：

(9)

式(9)中設(shè)計的輔助系統(tǒng)能夠保證系統(tǒng)在飽和狀態(tài)下的固定時間收斂特性。

定義變量z=[zVzh]T=[sV-χVsh-χh]T，則

Ξ+Λ0χ+Λ1sigαχχ+Λ2sigβχχ-

(10)

式中：

根據(jù)式(10)，基于引理2設(shè)計固定時間抗飽和動態(tài)逆期望控制律為：

(11)

式中：Ki=diag(kVi,khi),(i=0,1,2)，kVi>0，khi>0，ν1>1，1>ν2>0，?>0為待設(shè)計參數(shù)。

將期望控制器律式(11)代入式(10)整理可得：

(12)

(13)

(14)

2.3 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

定理1對于不確定系統(tǒng)式(5)，無論執(zhí)行機(jī)構(gòu)是否飽和，選取滑模面函數(shù)式(7)、輔助系統(tǒng)式(9)、控制律式(11)、參數(shù)自適應(yīng)律式(13)及式(14)，可以保證系統(tǒng)狀態(tài)z是固定時間穩(wěn)定的。當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)離開飽和區(qū)域時，系統(tǒng)跟蹤誤差eV和eh能夠在固定時間內(nèi)一致最終有界。

證：證明分為2部分，首先證明系統(tǒng)狀態(tài)z的收斂，第2步分析自適應(yīng)抗飽和補(bǔ)償器在抑制飽和方面的作用，證明系統(tǒng)在非飽和狀態(tài)時跟蹤誤差的固定時間收斂特性。

1)選擇如下Lyapunov函數(shù)：

對V求導(dǎo)，并將式(12)代入可得：

(15)

根據(jù)引理3可知：

(16)

將式(16)代入式(15)中，整理可得：

考慮自適應(yīng)律式(13)及式(14)，有：

(17)

其中，根據(jù)引理3有：

(18)

且下列不等式成立：

(19)

根據(jù)引理3及引理4，不等式成立：

(20)

(21)

式中：ψi=min{ψi1ψi2}；ψa=ψ1+ψ2。

綜合式(21)、(20)、(19)及(18)，式(17)可以重新寫作：

記

根據(jù)引理4可以整理得：

(22)

通過選擇相應(yīng)的參數(shù)使K1,min、K2,min足夠大，則收斂時間與收斂區(qū)域均可任意小。

2)由步驟1)的分析可知，變量z的固定時間收斂特性不會受到執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和的影響。如果執(zhí)行器不處于飽和狀態(tài)，即Δuj=0,(j=1，2)，則式(9)變?yōu)椋?/p>

取Lyapunov函數(shù)：

對Vχ求導(dǎo)有：

3 仿真驗證

為了驗證第2節(jié)設(shè)計的控制器的有效性和魯棒性，以及閉環(huán)系統(tǒng)的固定時間收斂特性。本節(jié)基于Matlab/Simulink平臺分別采用2種控制方法進(jìn)行對比仿真實(shí)驗。其中高超聲速飛行器仿真初始狀態(tài)為V0=4 590.3 m/s,h0=33 528 m，α0=2.7°,γ0=0°，控制器參數(shù)設(shè)定值如表1所示。

表1 控制器參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameters of controller

模型參數(shù)不確定考慮為:

考慮實(shí)際飛行環(huán)境，速度和高度指令信號分別設(shè)置為Vd(t)=Vd0+Vd1(t)和hd(t)=hd0+hd1(t)，其中Vd0=V0+ΔV0,hd0=h0+Δh0,ΔV0和Δh0為初始跟蹤誤差，Vd1(t)和hd1(t)由以下濾波器產(chǎn)生：

式中Vstep和hstep分別為100 m/s和100 m的階躍信號。

表2 外界擾動變量取值設(shè)置Table 2 Parameter values of external disturbances

仿真結(jié)果如圖1～5所示，其中圖1為2種不同控制方法下的高超聲速飛行器速度跟蹤曲線及誤差變化曲線、高度跟蹤曲線及誤差變化曲線。其中初始跟蹤誤差ΔV0=2 m/s，Δh0=-2 m，假定飛行50 s后遭遇外界擾動。從圖1和圖2的仿真結(jié)果中可以看出，本文提出的自適應(yīng)固定時間控制器相對于傳統(tǒng)高階滑?？刂破髟谒俣群透叨茸酉到y(tǒng)中都具有更好的跟蹤效果，速度誤差和高度誤差都能實(shí)現(xiàn)固定時間高精度收斂，且系統(tǒng)收斂時間穩(wěn)定在后者的47%附近。且對于暫態(tài)過程而言，自適應(yīng)固定時間控制方法有更快的響應(yīng)速度和更小范圍內(nèi)的抖振。對于引入外界干擾后的不確定非線性系統(tǒng)，自適應(yīng)固定時間閉環(huán)控制系統(tǒng)表現(xiàn)出更好的魯棒性和抗干擾性能。

圖1 速度跟蹤響應(yīng)Fig.1 Velocity tracking response

圖2 高度跟蹤響應(yīng)Fig.2 Altitude tracking response

圖3(a)～(c)分別為2種不同控制方法下攻角α、航跡傾斜角γ以及俯仰角速率q的變化曲線圖。相對于傳統(tǒng)高階滑?？刂品椒?，本文提出的自適應(yīng)固定時間控制方法能夠使得各狀態(tài)量在更短的時間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定值，同時也具有更為平滑的過渡狀態(tài)。

圖3 攻角、航跡傾斜角及俯仰角速率響應(yīng)Fig.3 Responses of attack angle, flight path angle and pitch angle rate

圖4(a)～(b)為控制輸入φc與δe的變化曲線，由圖4中可以看出自適應(yīng)固定時間控制方法下過渡過程的控制輸入表現(xiàn)出更小范圍內(nèi)的抖振。且在表1的控制器參數(shù)、控制器增益參數(shù)設(shè)置條件下，該控制方法并未發(fā)生執(zhí)行器飽和現(xiàn)象，而高階滑模方法下的控制輸入φc在初始階段發(fā)生了飽和現(xiàn)象。

圖5(a)～(b)分別為2種控制方法下的滑模面函數(shù)SV和Sh變化曲線圖。由圖5中可以看出，本文構(gòu)造的滑模面式(7)以及設(shè)計的趨近律式(11)能夠滿足速度和高度滑模面均能在固定時間內(nèi)收斂。且相對于傳統(tǒng)高階滑?？刂品椒▽Ｃ婧挖吔傻脑O(shè)計形式，本文的設(shè)計在仿真實(shí)驗中表現(xiàn)出更快的收斂速度和更平滑的過渡過程。

圖4 控制輸入響應(yīng)Fig.4 Responses of control inputs

圖5 滑模面SV、Sh變化曲線Fig.5 Sliding mode resonse curves of SV、 Sh

圖6 自適應(yīng)參數(shù)變化曲線Fig.6 Adaptive parameters response curves

4 結(jié)論

1) 對于速度和高度2個通道，論文中所設(shè)計的控制器均能夠抑制飛行過程中的參數(shù)不確定和外界干擾對飛行控制系統(tǒng)帶來的影響，表明了控制器具有較強(qiáng)的魯棒性。

2) 論文引入高階滑模固定時間收斂的概念，在有效抑制控制器抖振的同時，保證了滑模面以及系統(tǒng)誤差的固定時間收斂特性。仿真實(shí)驗表明，與傳統(tǒng)的高階滑?？刂破鱄OMSC相比，本文控制方法對于高度和速度指令均具有更好的跟蹤效果。

3) 論文提出的新型抗飽和輔助系統(tǒng)，不僅能夠解決高超聲速飛行器執(zhí)行器物理受限下的控制問題，而且也能保證一旦離開飽和區(qū)域后，系統(tǒng)狀態(tài)仍能在固定時間內(nèi)收斂。

未來的研究工作可以按照如下的2點(diǎn)展開：

1) 本文只針對高超聲速飛行器的縱向模型展開了研究，進(jìn)行了控制器的設(shè)計。接下來的工作可對其橫側(cè)向模型及控制器設(shè)計深入研究。

2) 對本文的進(jìn)一步研究，需要采取半物理仿真和實(shí)驗室實(shí)驗等方式來驗證。