采用HB-AFT方法的多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)計算與分析

李 濤，魏政君，上官文斌，呂 輝

(華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣州 510641)

0 引言

多楔帶傳動作為常見的機械傳動方式，通過多楔帶與帶輪之間的摩擦力進行傳動，具有結(jié)構(gòu)簡單、傳動平穩(wěn)、制造成本低等特點[1]。多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)通常是由一個驅(qū)動輪，若干個附件輪和惰輪，一個張緊器以及一根多楔帶組成[2]，如圖1所示。當驅(qū)動輪的扭轉(zhuǎn)振動傳遞到該系統(tǒng)中，會引起相關(guān)的動態(tài)響應(yīng)，如張緊器的擺動、多楔帶的張力波動等[3]。過大的動態(tài)響應(yīng)，會影響系統(tǒng)的平穩(wěn)傳動，并降低多楔帶、張緊器等零部件的使用壽命[4]。因此，在設(shè)計開發(fā)初期，需要檢驗多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)情況是否滿足使用要求。準確預(yù)測系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，對該系統(tǒng)的設(shè)計開發(fā)具有重要的意義。

圖1 多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

目前已有大量學者對張緊器的建模以及多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)計算方法進行了研究。在張緊器建模方面，Zhao等[5]將自動張緊器內(nèi)部的摩擦視作干摩擦，摩擦力的大小與方向只與速度方向有關(guān)。該模型物理意義明確，表達式簡單。Zhu等[6]也將自動張緊器內(nèi)部的摩擦視為干摩擦，并利用雙曲正切函數(shù)對其進行連續(xù)化，之后展開為傅里葉級數(shù)，得到了近似的張緊器模型。Michon等[7]將自動張緊器的輸出力矩分解為3部分，即彈性力距、黏性阻尼力矩以及摩擦力矩。在Dahl模型的基礎(chǔ)上進行簡化，建立了描述自動張緊器遲滯特性的Duhem模型，并推導(dǎo)了Duhem模型中張緊器輸出力矩與張緊器擺角的顯式表達式。Bastien等[8]則利用修正的Dahl模型和Masing模型描述自動張緊器的遲滯特性。

在多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)計算方法的研究上，目前的計算方法主要分為3類：等效線性化法[3,9-10]、諧波平衡法[6,11]、迭代法[12-13]。將張緊器的摩擦特性簡化為庫倫干摩擦，用諧波平衡法來求解，其計算精度比等效線性化法高，并可分析張緊器的粘滑運動現(xiàn)象。然而，張緊器的實際特性并不完全等同于庫倫干摩擦。為了將更準確的張緊器特性考慮到系統(tǒng)動態(tài)計算中，可用迭代方法進行計算，解決張緊器輸出扭矩與響應(yīng)幅值相互依賴的問題，具有很高的計算精度。但是當系統(tǒng)的自由度較大時，需消耗大量的計算時間。

綜上所述，為了在保證較高計算精度的同時，又提高計算效率，提出用諧波平衡法-時頻域轉(zhuǎn)換技術(shù)(HB-AFT)計算多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)的動態(tài)特性。HB-AFT是一種半解析半數(shù)值方法，常被用來求解非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)[14-15]。其核心思想是在頻域內(nèi)求解系統(tǒng)微分方程，在時域內(nèi)求非線性力[16-18]。在計算過程中，通過在時域和頻域之間的切換，既可保證計算精度，又可提高計算速度。

以一個三輪多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)為研究對象，首先建立其數(shù)學模型，并基于HB-AFT方法計算在特定激勵下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)情況，在求解過程中考慮了張緊器的非線性遲滯特性。將HB-AFT方法的計算結(jié)果與數(shù)值積分結(jié)果進行比較，驗證HB-AFT方法在計算多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時具有高精度、高效率的特性。

1 多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)的數(shù)學模型

1.1 時域數(shù)學模型

1.1.1模型假設(shè)與簡化

以三輪多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)為例，在建立三輪多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)的數(shù)學模型之前，需要先對系統(tǒng)進行一定的簡化[10]：

1)多楔帶在縱向上的質(zhì)量分布是均勻的，并且忽略多楔帶的蠕變效應(yīng)；忽略多楔帶的彎曲剛度以及縱向拉伸阻尼；忽略多楔帶與帶輪之間的滑移對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響，并且不考慮多楔帶橫向振動對縱向振動的影響。

2)各輪的軸承摩擦等效為黏性阻尼，并認為黏性阻尼系數(shù)不會改變。

3)忽略張緊器所受重力的影響。

圖2 三輪多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)示意圖

1.1.2系統(tǒng)激勵

在穩(wěn)態(tài)工況時，驅(qū)動輪的轉(zhuǎn)速往往不是保持不變的，而是在平均轉(zhuǎn)速附近波動，工程上稱這種現(xiàn)象為扭振。此時，驅(qū)動輪的轉(zhuǎn)角可用下式表示：

(1)

式中：N為驅(qū)動輪的平均轉(zhuǎn)速，k為扭振的階次，Ak(N)代表第k階扭振的幅值，φk(N)為第k階扭振的相位，t為驅(qū)動輪的工作時間。

驅(qū)動輪的扭振會傳遞到多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)中，引起多楔帶的張力波動，帶輪的轉(zhuǎn)速波動以及張緊器的往復(fù)擺動。對于常見的四缸四沖程車用內(nèi)燃機，2階扭振是主激勵，在常用轉(zhuǎn)速區(qū)間其幅值遠大于其他階次扭振的幅值，如圖3所示。因此，在本文的計算中只取2階扭振作為系統(tǒng)的激勵，忽略其他階次的扭振。

圖3 四缸四沖程車用內(nèi)燃機各階扭振振幅隨轉(zhuǎn)速的變化曲線

1.1.3運動方程

Ⅰ 張緊器的模型

如圖4(a)所示，利用Masing模型，將張緊器視作由3部分并聯(lián)組成，分別是黏性阻尼ct、線性彈簧Kt以及由干摩擦副與線性彈簧Kl串聯(lián)組成的元件[8]。黏性阻尼ct與線性彈簧Kt產(chǎn)生的作用力矩均是線性力矩，而干摩擦副與線性彈簧Kl串聯(lián)組成的元件產(chǎn)生的作用力矩則是非線性力矩Mt。Mt的非線性特性正是張緊器非線性遲滯特性的來源，Mt與張緊器擺角θt的關(guān)系如圖4(b)所示。

圖4 摩擦式張緊器的Masing模型示意圖

在圖4(b)中，Mf代表干摩擦副提供的滑動摩擦力矩，θa為張緊臂擺動的平衡位置，θm為張緊臂擺角的幅值，θs為黏滯運動的最大幅值。θs可按照式(2)計算：

(2)

已知張緊臂的擺動角度、擺動方向以及擺角幅值時，非線性力矩Mt的分段表達式如式(3)所示：

(3)

Ⅱ 張緊臂的運動方程

對于張緊臂，其受力情況如圖5所示。張緊器的加載方向為逆時針方向，根據(jù)動量矩定理，可以建立張緊臂關(guān)于其旋轉(zhuǎn)中心的力矩平衡方程[19]：

圖5 張緊臂的受力情況示意圖

(4)

式中：Ma為張緊器在平衡位置時的彈簧預(yù)載，Mb為張緊輪兩側(cè)帶段張力對張緊臂產(chǎn)生的合力矩，其計算方法如下[19]：

Mb=T2Ltsinβ2-T3Ltsinβ3

(5)

Ⅲ 帶段張力與帶輪的運動方程

帶段的張力與帶段的伸長量有關(guān)系，因此，各個帶段的張力可根據(jù)式(6)計算[3,10,19]：

(6)

(7)

式中：T01、T02、T03分別為各帶段的初始張力，Ki為帶段Bi的縱向剛度，E為楊氏模量，A為橫截面積，Δ2和Δ3分別為由于張緊臂擺動引起的帶段B2、B3的長度變化，其精確計算方法見文獻[3]。

對于帶輪i，根據(jù)受力平衡關(guān)系，其運動方程為[3]：

(8)

1.1.4幾何線性化

式(5)中的β2和β3以及式(6)中的Δ2和Δ3都是關(guān)于張緊臂擺角θt的非線性函數(shù)，這種非線性關(guān)系稱為幾何非線性。在建立三輪多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)的頻域數(shù)學模型之前，需要進行幾何線性化。當張緊臂的擺角較小時，可以在張緊臂擺動的平衡位置附近進行幾何線性化[10]。

如圖6(a)所示，當張緊臂往加載方向小角度擺動φt時，可以認為張緊輪兩側(cè)帶段與張緊臂的夾角保持不變，即β2和β3分別保持為β20和β30不變。其中，β20和β30分別為張緊器在平衡位置時張緊輪兩側(cè)帶段與張緊臂的夾角。張緊臂擺動前后，張緊輪圓心的距離為：

do≈Ltsinφt

(9)

兩張緊輪圓心的連線與帶段B2的夾角α可通過下式計算得到：

(10)

于是，帶段B2的伸長量Δ2為：

Δ2≈-Ltsinφtcosα≈-Ltφtsinβ20

(11)

同理，如圖6(b)所示，帶輪B3的伸長量Δ3為：

Δ3≈Ltφtsinβ30

(12)

如圖6(c)所示，由于假設(shè)β2和β3保持不變，則根據(jù)式(5)(6)(11)(12)可計算得張緊輪兩側(cè)帶段張力對張緊臂產(chǎn)生的合力矩為：

圖6 幾何線性化示意圖

Mb≈Lt[T02+K2(θ2R2-θ3R3)-Ltφtsinβ20]sinβ20-

Lt[T03+K3(θ3R3-θ1R1)+Ltφtsinβ30]sinβ30

(13)

經(jīng)過以上的幾何線性化過程，β2、β3、Δ2和Δ3都轉(zhuǎn)化為關(guān)于張緊臂擺動的角度φt的線性函數(shù)。

1.2 頻域數(shù)學模型

當驅(qū)動輪不存在扭振時，張緊器處于平衡位置。再根據(jù)1.1.1中的假設(shè)，可得各帶輪之間的轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)速的關(guān)系：

(14)

于是，由式(6)得各帶段的張力為

T1=T01,T2=T02,T3=T03

(15)

將式(14)(15)代入式(8)可得

(16)

當驅(qū)動輪存在扭振時，作以下變量替換

(17)

將式(6)(16)(17)回代式(8)，再結(jié)合式(4)(11)—(13)可得三輪多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)在張緊臂平衡位置處幾何線性化后的控制方程，整理為矩陣形式，可得：

(18)

(19)

(20)

(21)

在式(18)-(21)中，[φ2(ω)φ3(ω)φt(ω)]T可視為系統(tǒng)的狀態(tài)量，[φ1(ω)]為系統(tǒng)的輸入量，[Mt(ω)]為系統(tǒng)中的非線性量。

2 多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)時域穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解

2.1 HB-AFT法的原理

時頻域切換技術(shù)的核心思想是在時域中求非線性力，在頻域中求解控制方程[16]。時頻域切換技術(shù)與諧波平衡法結(jié)合，可以進一步提高計算效率。HB-AFT法的原理與計算步驟如下。

對于一個非線性系統(tǒng)，其控制方程一般可以整理為如下的形式[17]：

(22)

將式(22)轉(zhuǎn)換到頻域可得：

L{ω,X(ω)}=F(ω)+Νf(ω,X(ω))

(23)

根據(jù)諧波平衡原理，系統(tǒng)的狀態(tài)量、非線性力以及外激勵均可表示為諧波函數(shù)疊加的形式[20]：

(24)

式中：ω0為外激勵的基頻，k為諧波階次，H為截斷階次。

當外激勵F(t)已知時，只需要求出諧波系數(shù)ak和bk，則可以確定系統(tǒng)的響應(yīng)情況。

步驟1：迭代初值的求解

(25)

3)假設(shè)非線性力為0，即ek和fk均為0向量。將式(24)(25)代入式(23)，可得方程：

(26)

(27)

步驟2：迭代求解過程

(28)

(29)

2)對非線性力的時域序列式進行離散傅里葉變換，得到對應(yīng)的諧波系數(shù)：

(30)

3)將式(24)(25)(29)代入式(23)，可得方程：

(31)

(32)

4)當需要的計算精度為1%時，如果相鄰2次求得的諧波系數(shù)滿足式(33)，可認為迭代過程收斂，系統(tǒng)的響應(yīng)為式(34)。

(33)

(34)

式中：||·||1和||·||∞分別代表向量的1范數(shù)和無窮范數(shù)，P為系統(tǒng)的自由度數(shù)。

2.2 時域穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解

對一個已知系統(tǒng)參數(shù)以及激勵大小的三輪多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)，可以使用HB-AFT法計算其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。計算流程如圖7所示。

圖7 使用HB-AFT法計算多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計算流程框圖

一個三輪多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 三輪多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)

利用HB-AFT法計算以下2種工況的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：

1)工況1：驅(qū)動輪的平均轉(zhuǎn)速為600 r/min，只考慮2階扭振，2階扭振的扭振幅值為3°，初始相位為0。采樣頻率fs取1 000 Hz，采樣時間T取1 s，截斷階次H取5。

2)工況2：驅(qū)動輪的平均轉(zhuǎn)速為900 r/min，只考慮2階扭振，2階扭振的扭振幅值為2°，初始相位為0。采樣頻率fs取1 000 Hz，采樣時間T取1 s，截斷階次H取5。

將4階龍格庫塔算法與迭代方法進行結(jié)合，計算三輪多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的過程見圖8。

圖8 使用數(shù)值迭代方法計算多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的過程框圖

利用以上2種方法計算得到的張緊臂擺角的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖9所示，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計算結(jié)果及計算時間見表2。

圖9 張緊臂擺角的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線

表2 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計算結(jié)果及計算時間

由圖9可以看到，2種計算方法求得的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值和相位非常接近。從表2可知，當截斷階次H取5時，HB-AFT法已經(jīng)有很高的計算精度，并且計算效率非常高，計算速度是數(shù)值迭代法的40倍以上。因此，HB-AFT是計算多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的一種高精度、高效的方法，基于此方法可以方便地開展參數(shù)分析以及優(yōu)化的工作。

下面分析截斷階次H對計算精度的影響。選擇工況1作為分析工況，截斷階次H依次取為1、3、5、7、9，根據(jù)圖8的計算流程分別計算不同截斷階次下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。計算結(jié)果以及誤差分析見表3和圖10。

表3 不同截斷階次H下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計算結(jié)果

圖10 計算結(jié)果、計算時間及相對誤差隨截斷階次H的變化曲線

由表3和圖10可知，隨著截斷階次H的增大，計算得到的張緊臂擺角峰峰值逐漸收斂于一個穩(wěn)定值，相對誤差逐漸減小。當截斷階次H取5時，已經(jīng)有相當高的計算精度，相對誤差小于1%。計算時間隨著截斷階次H的增大呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢。截斷階次H為1時計算時間不是最小的原因是，在計算過程中忽略了高階諧波響應(yīng)，導(dǎo)致計算誤差偏大。計算誤差偏大使迭代過程不容易收斂，因此需要進行更多次的迭代計算，使消耗的計算時間增多。由于非線性系統(tǒng)不具有頻率保持性，在計算過程中不能忽略高階諧波響應(yīng)，只保留1階諧波會引起較大的計算誤差。因此，在使用HB-AFT法計算多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時，截斷階次H建議取5或7，此時兼具較理想的計算精度與計算速度。

3 結(jié)論

以三輪多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)為研究對象，在一定的扭振激勵下，采用HB-AFT法求解了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。采用HB-AFT法計算多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)能夠解決張緊器的輸出力矩與響應(yīng)幅值相互影響的問題，并且具有高精度、高效率的特點。保留5階諧波進行計算時，與傳統(tǒng)的數(shù)值迭代法相比，響應(yīng)的相對誤差小于1%，而計算速度提高40倍以上。張緊臂的擺角響應(yīng)中除了含有激勵頻率的頻率成分，還包含一些高次諧波成分。在計算時忽略高次諧波成分，會導(dǎo)致計算精度下降，計算速度也得不到明顯的提升。