反證法在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用研究

◎朱翠珍

(甘肅省莊浪縣第一小學(xué)，甘肅 平?jīng)?744600)

素質(zhì)教育是現(xiàn)代教育改革的主旋律小學(xué)教育已經(jīng)不是單純的啟蒙行為政府、學(xué)校以及家長(zhǎng)都希望在小學(xué)階段能夠重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生能力的培養(yǎng)，并從多方面憑借先進(jìn)的教學(xué)方式促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展教師在開展教學(xué)活動(dòng)時(shí)，要針對(duì)不同情況運(yùn)用不同的教學(xué)方式教師在對(duì)學(xué)生講述解題方式時(shí)，不要拘泥于方法的講解，要注重培養(yǎng)學(xué)生解題的能力“授人以魚，不如授人以漁”，能力的發(fā)展是學(xué)生成長(zhǎng)的基礎(chǔ)本文針對(duì)反證法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對(duì)培養(yǎng)學(xué)生能力的價(jià)值體現(xiàn)進(jìn)行研究

一、反證法的概念

反證法是指間接證明法的一種，是從反方向證明的證明方法，即肯定題設(shè)而否定結(jié)論，通過結(jié)論逆向推理出矛盾，從而證明原命題具體來講，反證是從反論題下手，把命題結(jié)果作為否定條件，讓其與條件產(chǎn)生矛盾，進(jìn)而證明命題成立利用反證法解題時(shí)，必須用到“反設(shè)”，不然就無法構(gòu)成反證法運(yùn)用反證法解題時(shí)，依據(jù)反設(shè)情況，尋找合理的矛盾點(diǎn)并對(duì)其進(jìn)行反駁，這就是“歸謬法”；想要證明的命題存在多種情況，那就一一證明它們無法成立，這就是“窮舉法”反證法在數(shù)學(xué)中是最常用的方法當(dāng)解題無法在正面進(jìn)行時(shí)，就可以利用反證法，此謂“正難則反”

二、反證法的原理

逆否命題與原命題的真假性相同，這是反證法的邏輯原理原命題的肯定結(jié)果與原命題的否定結(jié)果必然是對(duì)立的現(xiàn)象例如，原命題的肯定結(jié)果為真，那么原命題的否定結(jié)果就是不成立的；反之，原命題的肯定結(jié)果不成立，那么原命題的否定結(jié)果一定為真這里我們要特別注意，否命題和命題的否定結(jié)果是截然不同的兩個(gè)概念命題的否定結(jié)果只是關(guān)于原命題的結(jié)果做出否定證明，而否命題的存在是同時(shí)否定條件與結(jié)果，我們對(duì)此要有清晰的認(rèn)識(shí)

三、利用反證法解題時(shí)的注意事項(xiàng)

(一)反證法需要正確運(yùn)用

結(jié)果的正確否定才是反證法解題的基礎(chǔ)條件，否則命題無法成立數(shù)學(xué)問題的分析要清晰地掌握題型結(jié)構(gòu)，掌握題干信息，從而合理地運(yùn)用反證法進(jìn)行解題，通過命題結(jié)果的否定來證明命題結(jié)果成立，這樣可有效將難度較大的問題進(jìn)行簡(jiǎn)化解決要想否定原命題的結(jié)果，那么在邏輯推理的開展中就要及時(shí)地發(fā)現(xiàn)問題與矛盾，并且主動(dòng)創(chuàng)造矛盾反證法不僅是常規(guī)的解題方式之一，還能給正面解決問題遇到困難時(shí)，提供另一種解題思路，這樣可培養(yǎng)學(xué)生反向思維能力，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力

(二)反證法的核心要點(diǎn)

運(yùn)用反證法，必須清晰掌握反證法的核心內(nèi)容：否定命題的結(jié)果，并在證明的過程中創(chuàng)造矛盾在解題過程中，矛盾會(huì)如何出現(xiàn)，以及出現(xiàn)什么樣的矛盾，都體現(xiàn)了矛盾的不準(zhǔn)確性我們?cè)趹?yīng)用反證法的過程中，保證假設(shè)成立，推理過程嚴(yán)謹(jǐn)且有依據(jù)，必然會(huì)找到矛盾教師在結(jié)合反證法實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，要重視“假設(shè)條件”在問題當(dāng)中的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)邏輯關(guān)系的推理來掌握數(shù)學(xué)證明方法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，反證法在解題、教學(xué)中的應(yīng)用極為常見

(三)矛盾的幾種形式

利用反證法解題時(shí)，不是只能尋找題干設(shè)置的矛盾矛盾可以多種多樣的形式展現(xiàn)，有的是題干或者部分內(nèi)容制造的矛盾；有的是與真命題產(chǎn)生矛盾，即肉眼可見的邏輯錯(cuò)誤，如“有四條邊的圖形一定是個(gè)正方形”，便可以通過邏輯關(guān)系及“一定”等有關(guān)概念進(jìn)行分析；還有的與臨時(shí)開展的假設(shè)產(chǎn)生矛盾，如對(duì)證明類問題的分析、歸納這類問題以求解、證明為主要任務(wù)，但題干具有更為明顯的混淆性特點(diǎn)，學(xué)生未必能夠快速解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題此外，還有與已知條件產(chǎn)生矛盾，這類矛盾只要按照題目的邏輯關(guān)系進(jìn)行逆向推理即可，證明難度并不大

四、小學(xué)數(shù)學(xué)中反證法的應(yīng)用

(一)反證法在小學(xué)教學(xué)中的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)

反證法是反向思維的一種論證法這種解題思路從命題的題設(shè)出發(fā)，找出矛盾，證明命題成立反證法的特點(diǎn)是思維靈活，簡(jiǎn)單直接很多初學(xué)者對(duì)這種逆向思維感到不適應(yīng)，無法熟練運(yùn)用，有的甚至認(rèn)為反證法加大了解題難度客觀來講，反證法在數(shù)學(xué)解題方式中具有很高的地位，其不僅是一種簡(jiǎn)單、有效的解題方法，還能促進(jìn)學(xué)生在解題過程中有更多的收獲面對(duì)很多難以解決的數(shù)學(xué)題，學(xué)生可以嘗試運(yùn)用反證法在生活中，反證法也能為我們提供幫助我們可以將很多生活難題當(dāng)作數(shù)學(xué)題，將困難反過來思考，可能會(huì)有意想不到的收獲，從而順利解決生活困難反證法的運(yùn)用場(chǎng)景極其廣泛，數(shù)學(xué)學(xué)科的大部分內(nèi)容都可以運(yùn)用反證法來解決，而數(shù)學(xué)之外的學(xué)科，反證法也能給予極大的助力

反證法的靈便性得到很多數(shù)學(xué)家的認(rèn)可，由此可知反證法的應(yīng)用價(jià)值是極其高的從學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)來看，反證法借由提出相反的結(jié)論來幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)，在要求學(xué)生“逆向證明”的同時(shí)提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題比如，已知有0～5 六個(gè)數(shù)字隨機(jī)排列，在每個(gè)數(shù)字的排列都不重復(fù)的情況下，其中出現(xiàn)的最大數(shù)一定是543210從數(shù)學(xué)結(jié)論上來看，這一觀點(diǎn)似乎正確但教師結(jié)合反證法可以讓學(xué)生重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)每個(gè)數(shù)字只有使用一次的機(jī)會(huì)，但可以通過“乘方”的方式來重新表示相關(guān)數(shù)字，如51320對(duì)于學(xué)生來說，這類數(shù)學(xué)知識(shí)是新奇且陌生的教師不必在相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論上下功夫，只要幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念與反證法的應(yīng)用技巧即可教師借用反證法來培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，有利于開拓學(xué)生的眼界，開發(fā)學(xué)生的思維方式

(二)從實(shí)際出發(fā)巧妙運(yùn)用反證法

小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)是以培養(yǎng)學(xué)生能力為主要目的，以鍛煉思維方式為基礎(chǔ)任務(wù)，通過解題時(shí)的技巧運(yùn)用、思路轉(zhuǎn)變，提升學(xué)習(xí)興趣教師應(yīng)教導(dǎo)學(xué)生在面對(duì)困難時(shí)不能輕言放棄，要堅(jiān)持不懈，迎難而上，加強(qiáng)學(xué)生的信心，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題并沒有想象中那么難在解題過程中，解題思路是關(guān)鍵教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情況出發(fā)，將反證法滲透到問題本身，促使問題發(fā)生變化，從而在研究探索后，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，形成有效的思維方式教師在日常教學(xué)中不能刻板，開展教學(xué)活動(dòng)的時(shí)候要多滲透有關(guān)邏輯思維的培養(yǎng)，把數(shù)學(xué)的趣味性、娛樂性呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)是一種游戲，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是充滿樂趣的事

教師在利用反證法實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)工作的過程中，可嘗試結(jié)合客觀生活實(shí)踐與數(shù)學(xué)知識(shí)幫助學(xué)生應(yīng)用相關(guān)數(shù)學(xué)方法，創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)模式比如，現(xiàn)在有6條直線，這6條直線最多只能組成兩個(gè)圖形，且這兩個(gè)圖形一定是三角形利用反證法，我們可從相反的角度進(jìn)行證明：只要證明6條直線組成的圖形不僅僅包含三角形或圖形的數(shù)量超過或不足2個(gè)，便可以證明以上數(shù)學(xué)結(jié)論不正確在拼接圖形之后，學(xué)生可通過幾何實(shí)踐活動(dòng)完成教學(xué)任務(wù)：用4根木棒制作一個(gè)正方形，在正方形中加入兩根長(zhǎng)度相同的木棒，通過設(shè)計(jì)平行線、對(duì)角線的方式重新歸納數(shù)學(xué)問題配合數(shù)學(xué)實(shí)踐，學(xué)生重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)：這樣的分割能夠?qū)⒁粋€(gè)正方形分割為3個(gè)長(zhǎng)方形，或者4個(gè)三角形，由此證明有關(guān)結(jié)論是錯(cuò)誤的先假設(shè)自己的結(jié)論成立，隨后按照自己提出的假設(shè)進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，能夠幫助學(xué)生快速掌握數(shù)學(xué)知識(shí)

(三)反證法運(yùn)用的流程

“反設(shè)”“歸謬”“結(jié)論”這三步組成了反證法的主要流程，彼此聯(lián)系，共同組成了完整的反證法反設(shè)是應(yīng)用反證法解題的基礎(chǔ)，它的正確性保證了命題結(jié)論的準(zhǔn)確性解題前，我們需要對(duì)題干內(nèi)容、相關(guān)條件、命題結(jié)論等主要因素進(jìn)行全面了解與細(xì)致調(diào)查，保證在解題過程中找到矛盾，對(duì)命題結(jié)論進(jìn)行證明，得出命題結(jié)論的肯定或者否定結(jié)果，這整個(gè)過程就是“反設(shè)”歸謬是指根據(jù)反設(shè)創(chuàng)造命題結(jié)論的矛盾，是運(yùn)用反證法的重要步驟之一歸謬是在解題過程中，確定了反設(shè)條件，得到了結(jié)論內(nèi)容之后，開展的解題過程結(jié)論是反證法的最后一步，其是在這個(gè)環(huán)境中產(chǎn)生的結(jié)論，不是命題產(chǎn)生了新的結(jié)論，只是解題過程中依據(jù)反設(shè)創(chuàng)造出來的矛盾總結(jié)出來的結(jié)論反證法的三個(gè)步驟里，反設(shè)與結(jié)論中創(chuàng)造出來的矛盾才是運(yùn)用反證法的關(guān)鍵所在

(四)教學(xué)實(shí)例

反證法是針對(duì)數(shù)學(xué)問題在正面無法得到解答的情況下的另一種有效的解題思路主要表現(xiàn)為以下幾種情況．

1題干內(nèi)容中條件過少，沒有合適的數(shù)學(xué)公式，無法有效推論出結(jié)果，可以采用反證法進(jìn)行證明，從而得出準(zhǔn)確的結(jié)論比如，25個(gè)小朋友參加游戲，將他們分成6個(gè)隊(duì)伍，總有一個(gè)隊(duì)伍里有5個(gè)小朋友對(duì)此進(jìn)行分析：共25個(gè)小朋友，如果每隊(duì)由5個(gè)小朋友組成，那么他們無法分成6個(gè)隊(duì)伍如果每隊(duì)由4個(gè)小朋友組成，那么可以組成6個(gè)隊(duì)伍，還余出1個(gè)小朋友未加入任意隊(duì)伍結(jié)論得以證明：總有一個(gè)隊(duì)伍里有5個(gè)小朋友教師在幫助學(xué)生解答這類數(shù)學(xué)問題的過程中，要從相反的角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：假設(shè)原有的結(jié)論不成立，每個(gè)小組都能夠安排5個(gè)小朋友，或者沒有任何小組達(dá)到5個(gè)小朋友，借由兩個(gè)假設(shè)結(jié)論，讓學(xué)生找到問題的矛盾點(diǎn)

2很多無法進(jìn)行正面證明的題目，皆以反證法進(jìn)行處理：明確假設(shè)條件，創(chuàng)造矛盾，開展命題論證比如，三角形中，三個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)內(nèi)角明確是鈍角，必然其他兩個(gè)內(nèi)角是銳角對(duì)此進(jìn)行分析：三角形的三個(gè)內(nèi)角和是180°，90°<鈍角的角度<180°，如果其余兩個(gè)角中有一個(gè)是直角，那么另一個(gè)是銳角，0<銳角<90°，鈍角+直角>180°無法滿足三角形三個(gè)內(nèi)角和是180°，產(chǎn)生矛盾，假設(shè)不成立如果其他兩個(gè)內(nèi)角相加等于90°，與三角形明確的鈍角相矛盾，假設(shè)不成立因此，三角形兩個(gè)內(nèi)角與鈍角相加為180°，并且兩個(gè)內(nèi)角和<90°，該證明成立應(yīng)用反證法進(jìn)行解題的第二種有效方法如下：假設(shè)原結(jié)論成立，按照題目中的思路進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算，當(dāng)題目中的結(jié)論無法被證明時(shí)，則證明相關(guān)描述錯(cuò)誤對(duì)于“三角形中，三個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)內(nèi)角明確是鈍角，必然其他兩個(gè)內(nèi)角是銳角”也可以通過反證法引入逆向思維來進(jìn)行快速證明：假設(shè)鈍角三角形中存在兩個(gè)鈍角，則每個(gè)鈍角都大于90°，兩個(gè)鈍角相加大于180°，這一假設(shè)明顯不成立從不同的角度進(jìn)行逆推也可以有效應(yīng)用反證法

3小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)是邏輯推理，它是小學(xué)數(shù)學(xué)?？疾榈乃刭|(zhì)，也是學(xué)生未來工作與學(xué)習(xí)中的主要關(guān)鍵能力比如，教師獎(jiǎng)勵(lì)表現(xiàn)優(yōu)秀的三個(gè)小朋友一些糖果，一共有9塊糖果，分別發(fā)給小明、小亮與小婷若小明比小亮多4塊，小婷比小明少2塊，小婷比小亮多2塊，則小婷肯定有3塊糖果分析得出：小婷有3塊糖果，如果小亮和小明也有3塊糖果，符合一共9塊糖果，但是與小婷比小明少2塊，比小亮多2塊條件矛盾，假設(shè)不成立如果小亮有1塊，小明有5塊，符合一共9塊糖果，也符合小婷比小明少2塊，比小亮多2塊糖果的條件，假設(shè)成立，因此小婷肯定有3塊糖果

4通過直觀假設(shè)應(yīng)用反證法反證法的最大教學(xué)優(yōu)勢(shì)便在于直觀，其省略了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，允許學(xué)生以更為簡(jiǎn)單的方式來解決數(shù)學(xué)問題以“擲骰子”為例，玻璃杯下面有兩個(gè)骰子，將其分別拋出，兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)相同的可能性為50%從結(jié)論上來看，這一問題并不存在錯(cuò)誤，但骰子上有6個(gè)不同點(diǎn)數(shù)，當(dāng)擲出骰子時(shí)，點(diǎn)數(shù)相同的可能性僅為16教師可結(jié)合數(shù)學(xué)假設(shè)幫助學(xué)生分析相關(guān)問題：假設(shè)結(jié)論正確，則第一次拋出骰子點(diǎn)數(shù)為2，拋出第二個(gè)骰子時(shí)，點(diǎn)數(shù)只能為2或其他另外一個(gè)數(shù)字，不能出現(xiàn)新的數(shù)字組合，不然結(jié)論不成立用假設(shè)驗(yàn)證問題，有利于反證法的應(yīng)用

五、結(jié)束語

結(jié)合以上論述，反證法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在重要意義反證法的特殊解題方式可以使學(xué)生在解題過程中有全新的視角．反證法可培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)問題的多樣變化以及不同的表達(dá)形式．針對(duì)不同題型與不同內(nèi)容應(yīng)用反證法，可有效鍛煉學(xué)生反證法的運(yùn)用技巧，總結(jié)豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的能力符合社會(huì)要求，因此應(yīng)遵循教育改革的指導(dǎo)方針，注重學(xué)生的素質(zhì)教育，促進(jìn)學(xué)生能力得到有效提升，這有助于學(xué)生打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，從而滿足其未來更高層次學(xué)習(xí)與生活的要求