逆向思維在解析幾何證明中的應用

◎陳錦玲

(廣東茂名幼兒師范?？茖W校理學院，廣東 茂名 525200)

一、逆向思維在解析幾何證明中的應用

(一)分析法

當命題的條件比較隱晦，難以直接找到解題思路時，我們可以從問題的結論入手，往回思索，從求解問題追索已知條件，尋找解題的突破口

1設和′分別是坐標原點到點(,,)和點′(′,′,′)的距離，證明當′++′=′時，直線′通過坐標原點

即，，′三點共線，從而直線′通過坐標原點

這道題可以利用直線和平面位置關系的判定定理來做，先求直線的方向向量，再求方向向量和平面的法向量的向量積，另外在直線上取一點，判斷它是否在平面上，這樣做相對麻煩一點我們可以換一種思路，考慮到平面的方程是由直線的兩個方程相加得到的，所以我們只需要證明直線上的任意點都在平面上，就可以確定直線在平面上了

顯然有(++)+(++)=0，即點在平面上，由的任意性得直線在平面上

3用向量法證明平行四邊形對角線互相平分

這道題看起來很簡單，但課堂上筆者讓學生做時發(fā)現(xiàn)，大部分學生都不知從何處入手：或是用命題本身來證明，或是通過“+=+”得到“=,=”,這顯然是不符合邏輯的如果采用逆向思維，只要證明其中一條對角線的中點也是另外一條對角線的中點，這樣它們就互相平分了，證明就顯得輕而易舉了證法如下：

這兩個證法獨辟蹊徑，達到了出奇制勝的目的受這新穎的想法和奇特的論證的影響，學生的大腦會受到鮮活的刺激而處于異常興奮、活躍的狀態(tài)，產(chǎn)生一種豁然開朗的感覺，從而對逆向思維產(chǎn)生深刻印象，對使用逆向思維解題產(chǎn)生濃厚興趣

(二)反例法

為了讓學生準確地把握某個命題的結論所成立的條件和范圍,筆者在教學中常常構造一些反例, 用以糾正學生對某些概念的錯誤認知, 有利于學生從反面記憶定理、性質(zhì)、法則，進而加深對知識的理解

4,,是非零向量，證明：若=，則有·=·,×=×，反之不真,即兩向量數(shù)量積和向量積的消去律都不成立

數(shù)的乘法和加法都滿足消去律在學習向量的運算時, 部分學生往往會受到數(shù)的乘法滿足消去律的影響, 理所當然地認為向量的數(shù)量積和向量積也滿足消去律我們要證明消去律不存在，只需要舉一反例說明即可

如圖1給出的三個非零向量,,，

因為·=||乘在上的射影，

·=||乘在上的射影，

又在上的射影=在上的射影，

所以·=·，

圖1

但顯然≠.

如圖2所示，三向量,,中，因為與構成的平行四邊形面積等于與構成的平行四邊形面積(均等于||)，×與,都垂直,×與，都垂直，而且{,,×}與{,,×}同為右旋向量組，所以×=×，而顯然≠.

圖2

5證明：經(jīng)過雙曲拋物面一條直母線的每個平面不一定經(jīng)過屬于另一族直母線中的一條

在族直母線中取一條直線(=1)為

因為≠0,所以直線不在平面π上，故過族直母線的平面π不經(jīng)過族直母線中的任意一條

通過具體形象的舉反例，不僅問題得以解決，而且使學生加深了對雙曲拋物面的直母線的性質(zhì)的理解，同時訓練了學生的逆向思維，可謂一舉三得

(三)反證法

反證法是從否定結論開始進行推理，直到推理出與已知條件或事實矛盾的結論，從而肯定原結論正確的證明方法由于此法將結論否定后作為條件加以利用，因此增加了推理過程中的前提條件，對于那些已知條件較少的問題，運用此法往往會達到意想不到的效果

6，，，是四個共面的向量，且,不共線，如果=,=，證明：=.

假設≠，即-≠,

由=，=得(-)=0，(-)=0,

即(-)⊥，(-)⊥，又，,，是四個共面的向量,

所以-,，共面, 因此得∥,這與題設矛盾, 所以=.

該題的證法不止一種，教師應啟發(fā)學生從不同角度、不同方向思考問題，鍛煉其逆向思維

(四)逆用命題結論

7利用向量法證明四面體對邊中點的連線交于一點且互相平分

從命題的結論出發(fā)，只要證明“三組對邊中點連線的中點是同一點”，就證明了“對邊中點的連線交于一點且互相平分

設四面體-的一組對邊，的中點分別為，，的連線的中點為，其余兩組對邊中點連線的中點分別為,，下證，，重合

8證明三角形三中線共點

該題可逆用問題結論，利用三角形重心的性質(zhì)來證明，即分別在三條中線上取到頂點的距離是它到對邊距離的兩倍的點，證明這樣的三點重合

所以，，三點重合，

即三角形三中線共點

當命題的條件過于簡單，從條件無從下手時，逆用命題的結論可使命題簡化，解題思路清晰、獨特，證法簡捷明了

(五) “正難則反”原則

解決問題一般先從正面入手進行思考，但有些問題按這種方式會比較困難，甚至無從下手此時應調(diào)整思維方向，采取“順繁則逆、正難則反”的思維策略，這樣常會“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”

9證明方程8+5+5+4+4-8-18+18-99=0表示的曲面是柱面

證明方程表示的曲面是柱面的常用方法，是把方程分解成一次因式的乘積，構造出直線族方程，證明這一族直線是平行直線，從而證明曲面是柱面但是這種方法在本題這里行不通，我們可采用逆向思維構造出一柱面，使它的準線是曲面與坐標面的交線，母線方向為∶∶，再求出這個柱面的方程，將這個柱面方程與原方程比較以確定∶∶，使兩方程一致，這樣就證明了原方程表示的曲面是一個柱面

母線方向為∶∶建立柱面的方程

在準線上任取一點(,,0)，那么過這一點的母線方程為

這種解法打破了常規(guī)，能夠引導學生從多角度、多方位考慮問題，鍛煉其逆向思維

二、結束語

在解析幾何教學中，教師對學生除了進行常規(guī)的正向思維的培養(yǎng)外，還應有意識地加強逆向思維的培養(yǎng)，通過融會貫通正反兩個互逆的思維過程，讓學生擺脫由單一地正向思考導致的機械的、呆板的定式思維的束縛，打破單一的、僵硬的推理模式，幫助學生養(yǎng)成從不同角度分析問題、解決問題的習慣，培養(yǎng)其思維的敏捷性，提高其數(shù)學能力，從而達成讓學生靈活掌握解析幾何知識的目的