回歸知識原點，建立知識關(guān)聯(lián)
——蘇科版“分式章首課”教學(xué)設(shè)計及其反思

◎袁 媛

(蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)，江蘇 蘇州 215000)

一、背景

筆者曾有機(jī)會參加蘇州高新區(qū)初中數(shù)學(xué)青年教師評優(yōu)課比賽，比賽給定了課題：分式章首課章首課并不單指本章教學(xué)第一節(jié)“分式”的第一課時，而是對本章起到引導(dǎo)、簡介、導(dǎo)覽作用的一節(jié)課在蘇科版數(shù)學(xué)教材中，每一章開頭都會有“章頭圖和章頭語”，它是一章的起始，也是知識的生長點和延伸點筆者在備課階段，發(fā)現(xiàn)相關(guān)的課例資料非常少，本文記錄的是比賽時的教學(xué)設(shè)計，思考比較初步，供研討

二、教學(xué)設(shè)計

(一)內(nèi)容解析

本節(jié)課是蘇科版《義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)》八年級下冊第十章的“分式章首課”教材上本節(jié)課的內(nèi)容占了兩頁的篇幅，第一頁給出了矩形和相關(guān)式子，如圖1，以及“實際問題中的一些數(shù)量關(guān)系，可以用分式來表示，通過與分?jǐn)?shù)進(jìn)行類比，探究分式的性質(zhì)和運算法則”；第二頁給出了京滬鐵路的圖片和所涉及的行程類問題(詳見后文中問題12)，以及“本章將學(xué)習(xí)分式、分式運算以及分式方程”相對于后續(xù)的知識內(nèi)容而言，教材提供的內(nèi)容非常少，但是我們細(xì)細(xì)鉆研、慢慢思考就會發(fā)現(xiàn)這其中蘊含了很多的深意

圖1

學(xué)生在此之前學(xué)習(xí)過分?jǐn)?shù)的概念、性質(zhì)、運算，也學(xué)習(xí)過代數(shù)式、整式以及一元一次方程等知識，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)基于以上內(nèi)容，筆者確定了本節(jié)課的教學(xué)重點為引領(lǐng)學(xué)生從知識的原點出發(fā)，體會知識發(fā)生發(fā)展的過程，感受知識之間的關(guān)聯(lián)，并滲透本章節(jié)具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容的研究方法和研究思想

(二)教學(xué)目標(biāo)

了解本章學(xué)習(xí)和研究的內(nèi)容，明確研究本章內(nèi)容的基本研究方法，從學(xué)什么轉(zhuǎn)向怎么學(xué)

學(xué)生通過自主探究、討論、操作等，體會類比、數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、從具體到抽象、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法

激發(fā)學(xué)生對本章節(jié)內(nèi)容的興趣和好奇心，培養(yǎng)學(xué)生宏觀思考問題的意識，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會思考和研究問題，提升學(xué)生的思維品質(zhì)和解決問題的能力

(三)教學(xué)過程設(shè)計

問題1：你們猜猜老師的年齡？

追問：你們的年齡是多少?

設(shè)計意圖 通過猜猜老師的年齡并追問學(xué)生的年齡，以生活化的問題拉近了老師與學(xué)生之間的距離假設(shè)老師年齡為28歲，學(xué)生年齡為15歲，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和數(shù)量關(guān)系的角度，對28和15這兩個數(shù)進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)28和15這兩個數(shù)都是整數(shù)，并且可以進(jìn)行運算

問題2：28和15都是整數(shù)，將兩個整數(shù)相加、減、乘會得到什么數(shù)？

追問：兩個整數(shù)相除，會得到什么數(shù)？

設(shè)計意圖 兩個數(shù)分別進(jìn)行加、減、乘的運算，結(jié)果都是正數(shù)，自然引發(fā)學(xué)生思考兩個整數(shù)相除的結(jié)果是什么樣的兩個整數(shù)相除，若分母不等于1，則結(jié)果為分?jǐn)?shù)為之后類比兩個整式的運算尤其是兩個整式相除(分母中含有字母)得到分式的內(nèi)容做了鋪墊

問題3：小學(xué)時學(xué)過分?jǐn)?shù)的哪些內(nèi)容？

設(shè)計意圖 分?jǐn)?shù)為分式學(xué)習(xí)提供了知識基礎(chǔ)和經(jīng)驗，類比分?jǐn)?shù)的研究對分式進(jìn)行研究老師先讓學(xué)生回憶小學(xué)時學(xué)習(xí)過的分?jǐn)?shù)的概念、性質(zhì)、運算、應(yīng)用，為學(xué)習(xí)分式的內(nèi)容和學(xué)習(xí)策略做鋪墊，讓學(xué)生感受知識之間的聯(lián)系在研究分式時，老師也按照此順序帶領(lǐng)學(xué)生對分式的概念、性質(zhì)、運算、應(yīng)用等進(jìn)行研究，喚醒學(xué)生已有的研究問題的經(jīng)驗和策略，有利于學(xué)生形成知識體系，理解知識之間的聯(lián)系

問題4：(基于問題1)，年后，老師的年齡是多少？學(xué)生的年齡是多少？

追問：將兩個整式相加、減、乘得到的結(jié)果是什么數(shù)？

追問：那兩個整式相除的結(jié)果呢？

設(shè)計意圖 列出年后老師的年齡為(28+)歲，學(xué)生的年齡為(15+)歲，讓學(xué)生感受從“數(shù)”到“式”的變化，引出兩個整式的運算，兩個整式相加、相減、相乘的結(jié)果仍為整式，并自然過渡到對兩個整式相除結(jié)果的思考，注重問題的生成，自然形成了分式的概念；通過數(shù)學(xué)內(nèi)部知識的發(fā)生發(fā)展，學(xué)生能感受分式存在和研究分式的合理性和必然性，同時也建立起分?jǐn)?shù)、分式兩個概念之間的聯(lián)系

問題5：是否兩個整式相除都能得到分式，有沒有條件限制？

小組活動:(1)成員A從老師事先準(zhǔn)備好的信封中抽取一張紙片;(2)成員B再從中抽取一張卡片;(3)成員C將這兩張卡片上的式子用除法運算組成新的式子;(4)成員D負(fù)責(zé)在黑板上貼好新組成的式子

追問：黑板上這些式子，哪些是我們學(xué)過的？

設(shè)計意圖 信封里的卡片上有包括數(shù)字在內(nèi)的單項式、多項式，老師在引導(dǎo)小組成員動手操作的過程中，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，使每個學(xué)生都參與到動手實踐和數(shù)學(xué)思考的過程中，從中感受兩個整式相除得到的結(jié)果的類型，結(jié)果有分?jǐn)?shù)、有整式、有分式，并通過討論總結(jié)出分式的特征，兩個整式相除，分母中必須含有字母，才能得到分式此時學(xué)生通過觀察、比較，更加明晰了分式的概念,這一活動的開展可有效提升學(xué)生的合作意識

問題6：如圖2(1)已知長方形的面積為2 m，寬為3 m，則長為 ________；

(2)已知長方形的面積為2 m，寬為m，則長為________；

(3)已知長方形的面積為m，寬為m，則長為________

圖2

設(shè)計意圖 問題6的設(shè)計沿用了章頭圖的矩形，從幾何圖形的角度讓學(xué)生感受分式存在的合理性，另外也讓學(xué)生熟悉這個矩形，為接下來利用此矩形拼圖驗證分式的性質(zhì)的猜想做了鋪墊，并使學(xué)生感受到課堂中的知識之間具有關(guān)聯(lián)性和統(tǒng)一性

問題7:(1)在物理課堂上，一輛勻速行駛的小車4 s行駛了5 dm，則小車的速度是________；

(2)在物理課堂上，一輛勻速行駛的小車4 s行駛了dm，則小車的速度是________；

(3)在物理課堂上，一輛勻速行駛的小車s行駛了dm，則小車的速度是________

設(shè)計意圖 問題7的設(shè)計從物理問題出發(fā)，利用科學(xué)情境讓學(xué)生感受分式存在的合理性和研究的必要性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

問題8：(1)如果兩塊面積分別為3公頃和2公頃的梯田分別產(chǎn)棉花千克、千克，那么這兩塊梯田每公頃產(chǎn)棉花________千克；

(2)如果兩塊面積分別為公頃和公頃的梯田分別產(chǎn)棉花千克、千克，那么這兩塊梯田每公頃產(chǎn)棉花________千克

設(shè)計意圖 問題8更加復(fù)雜一些，從生活實際問題出發(fā)，讓學(xué)生通過生活情境感受分式存在的合理性，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識與生活知識的聯(lián)系，更好地理解學(xué)習(xí)分式的價值另外，此類分式為多項式除以多項式的形式，能夠讓學(xué)生更深一步地感受分?jǐn)?shù)與分式之間的聯(lián)系與不同問題設(shè)置層層遞進(jìn)，學(xué)生的思考也逐步深入

小組活動 利用圖1的矩形進(jìn)行研究(每小組中有2張)

圖3

設(shè)計意圖 學(xué)生在剛才的猜想、驗證的基礎(chǔ)上，對此問題的理解更加容易，也有了經(jīng)驗，仍然是通過動手操作(如圖4)驗證猜想，說明了分式有和分?jǐn)?shù)類似的性質(zhì)需要注意的是，老師在引導(dǎo)學(xué)生感受分式類似于分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的過程中，應(yīng)注重強(qiáng)調(diào)分式研究的方法可以和分?jǐn)?shù)類比，分式的基本性質(zhì)還需在后面學(xué)習(xí)中具體展開研究

圖4

圖5

設(shè)計意圖 讓學(xué)生感受到分式運算和分?jǐn)?shù)的運算類似的基礎(chǔ)上進(jìn)行深入思考，但用拼圖驗證耗時長，難度也大，可以留做課后思考讓學(xué)生進(jìn)行驗證，該環(huán)節(jié)可以培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、合理驗證的數(shù)學(xué)能力,也能激發(fā)起學(xué)生以后學(xué)習(xí)分式的運算的興趣

問題9、10的設(shè)計，以拼圖為載體，融入數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生在操作的過程中不僅驗證了由經(jīng)驗得到的猜想，還在觀察、猜想、驗證的過程中掌握了知識，逐步完善數(shù)學(xué)的思維

問題11：回到問題1，多少年后，學(xué)生的年齡與老師的年齡之比為2∶3 ？

問題12：京滬鐵路是我國東部沿海地區(qū)縱貫?zāi)媳钡慕煌ù髣用}，全長1462 km，是我國最繁忙的鐵路干線之一

如果貨車的速度為km/h,客車的速度是貨車的2倍，那么：

(1)貨車從北京到上海需要多少時間？

(2)客車從北京到上海需要多少時間？

(3)已知從北京到上海的客車比貨車少用6 h，你能用方程描述其中的數(shù)量關(guān)系嗎？

問題13：通過本節(jié)課思考為什么我們要學(xué)習(xí)分式？學(xué)了一些什么內(nèi)容？如何進(jìn)行學(xué)習(xí)？

設(shè)計意圖 通過章首課，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)分式的意義，構(gòu)建有理式體系，解決一些實際問題，也初步了解接下來要學(xué)習(xí)的分式的具體內(nèi)容，更深刻地運用類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、從具體到抽象、由特殊到一般的思想方法去學(xué)習(xí)本章節(jié)的內(nèi)容，能夠認(rèn)識到學(xué)習(xí)分式的價值，更能將其遷移到今后具體的學(xué)習(xí)中

(四)板書設(shè)計

三、教學(xué)感悟

本節(jié)課采用類比的方式進(jìn)行建構(gòu)教學(xué)，充分發(fā)揮知識、方法、經(jīng)驗的正向遷移作用，引導(dǎo)學(xué)生利用舊知得到新知，初步形成數(shù)學(xué)思維方式，老師通過展現(xiàn)概念發(fā)生、發(fā)展的過程，讓學(xué)生理解學(xué)習(xí)分式知識的必要性、合理性和自然性，感悟數(shù)學(xué)中處理問題的一般思路，理解分式形式及其意義

(一)建立知識系統(tǒng)，形成知識通道

大部分老師都會忽視章首課直接進(jìn)行本章節(jié)的內(nèi)容教學(xué)，雖然對整體的教學(xué)沒有太大的影響，但是忽視了知識之間的關(guān)聯(lián)性分?jǐn)?shù)和分式內(nèi)容相似，如果能夠在分?jǐn)?shù)的知識基礎(chǔ)上進(jìn)行類比和遷移，學(xué)生學(xué)習(xí)時也會有所依托，從而更好地學(xué)習(xí)分式的相關(guān)內(nèi)容，產(chǎn)生新的猜想和判斷一方面，從數(shù)式擴(kuò)充的角度來看，整數(shù)到分?jǐn)?shù)擴(kuò)充了有理數(shù)，整式到分式擴(kuò)充了有理式，讓學(xué)生領(lǐng)悟知識在系統(tǒng)中生長的自然性，建立起知識之間的聯(lián)系，構(gòu)建知識體系，形成知識通道，從而更好地掌握知識

(二)回歸知識原點，連接邏輯鏈條

(三)抓住思維主線，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

就培養(yǎng)思維而言，本節(jié)課圍繞“為什么學(xué)？學(xué)什么？怎么學(xué)？”展開，通過問題的引領(lǐng)和驅(qū)動，在促進(jìn)學(xué)生對舊知識的理解和鞏固的基礎(chǔ)上，也促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展和能力提升在探究分式的概念時，教師通過三組問題，體現(xiàn)了從特殊到一般，由具體到抽象的思想方法；在探究分式具有和分?jǐn)?shù)類似的性質(zhì)和運算時，教師利用拼剪矩形的方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗證，體現(xiàn)了幾何直觀性，滲透數(shù)形結(jié)合的思想；在探究分式方程的解法時，教師帶領(lǐng)學(xué)生對比變形前后的方程，使其體會轉(zhuǎn)化思想這三個環(huán)節(jié)都加深了學(xué)生對分式的內(nèi)容的認(rèn)識，同時培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，也有效地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)