以“圓周角”為例談如何深挖分類(lèi)討論思想

◎于善光

(河北省唐山市豐南區(qū)教育教學(xué)研究與教師培訓(xùn)中心, 河北 唐山 063300)

分類(lèi)討論思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，教師應(yīng)當(dāng)充分挖掘教材中蘊(yùn)含的分類(lèi)討論思想例如，初中數(shù)學(xué)“圓周角”章節(jié)中蘊(yùn)含著豐富的分類(lèi)討論思想，本章是一個(gè)非常典型的案例，值得初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中深入研究在圓周角定理證明中蘊(yùn)含著分類(lèi)討論思想，如果只能看到這一個(gè)重點(diǎn)，說(shuō)明教師對(duì)教材的理解比較膚淺其實(shí)，除了定理證明以外，在圓周角概念教學(xué)中至少蘊(yùn)含四個(gè)分類(lèi)討論思想，由于教師對(duì)教材挖掘不深，這些分類(lèi)討論思想容易被忽略

首先，只有教師的深度備課，才有學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，精準(zhǔn)把握教材是有效教學(xué)的起點(diǎn)教師要對(duì)教材深入挖掘，弄清楚知識(shí)間的邏輯關(guān)系和縱向結(jié)構(gòu)思想蘊(yùn)含在知識(shí)中，離開(kāi)知識(shí)而空談思想和方法如無(wú)源之水、無(wú)本之木教師若想真正讀懂教材，首先要弄清教材所包含的知識(shí)體系如圖1所示，在圓的知識(shí)內(nèi)容中，主要包括：與圓相關(guān)的線(弦、切線、割線)；與圓相關(guān)的角(弦?jiàn)A角、圓心角、圓周角、弦切角、割線夾角、切線與割線夾角等等)；它們之間的位置和數(shù)量關(guān)系圓周角只是與圓相關(guān)的角中的一個(gè)特殊角，教師應(yīng)鉆研它與弦?jiàn)A角、圓心角、割線夾角、割線與切線夾角有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別，同時(shí)，站在專(zhuān)業(yè)的角度審視與分析教材

其次，“數(shù)學(xué)是思維的體操”，數(shù)學(xué)教學(xué)必須有思維含量，讓學(xué)生在思考中經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生、形成、發(fā)展的過(guò)程，深入、深層地學(xué)習(xí)，而不是表面、膚淺地學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)、在體驗(yàn)中學(xué)習(xí)、在學(xué)習(xí)中反思、在反思中運(yùn)用，在運(yùn)用中理解，在理解中升華挖掘教材是基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)學(xué)法是關(guān)鍵，構(gòu)建問(wèn)題串是重點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是根本根據(jù)知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維邏輯構(gòu)建一個(gè)問(wèn)題串，由淺入深，層層遞進(jìn)，研究問(wèn)題的過(guò)程就是學(xué)生學(xué)習(xí)和體驗(yàn)分類(lèi)討論思想的過(guò)程學(xué)習(xí)圓這部分知識(shí)，與以往學(xué)習(xí)的幾何知識(shí)有顯著區(qū)別以往學(xué)習(xí)的幾何知識(shí)更多的是確定幾何圖形的位置關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系，圓這部分知識(shí)更多關(guān)注研究位置關(guān)系，如點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等等這種位置關(guān)系的不確定性和多樣性，本身就是分類(lèi)討論思想的直接體現(xiàn)圓這部分知識(shí)，在研究方法上更突出位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的關(guān)聯(lián)度，相互依賴(lài)、共生共存，更多應(yīng)用分類(lèi)討論思想和方法發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題這也是圓中為什么蘊(yùn)含著豐富的分類(lèi)討論思想和方法主要原因教師要發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，善于挖掘教材的思想價(jià)值，弄清教材所承載的知識(shí)性和思想性，更要深度挖掘每一節(jié)內(nèi)容所蘊(yùn)含的思維內(nèi)容，充分體現(xiàn)知識(shí)的關(guān)聯(lián)度

圖1 圓的知識(shí)內(nèi)容

一、突出新舊銜接點(diǎn)，前置學(xué)習(xí)，滲透分類(lèi)討論思想

數(shù)學(xué)課最顯著的特點(diǎn)是知識(shí)之間銜接緊密、成體系、思維邏輯性強(qiáng)特別是新授課，讓學(xué)生充分體會(huì)知識(shí)產(chǎn)生和思維發(fā)展的全過(guò)程至關(guān)重要但一節(jié)課的容量有限，讓學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)充分體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)和思維的完整性，是對(duì)教師的一個(gè)挑戰(zhàn)，需要教師精心地設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容目前，教師對(duì)翻轉(zhuǎn)課堂情有獨(dú)鐘，常利用視頻將學(xué)生容易學(xué)懂的內(nèi)容放在課前學(xué)習(xí)，把更多的課堂時(shí)間用于深層學(xué)習(xí)其實(shí)，教師精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)單也同樣能夠起到前置學(xué)習(xí)的目的，更具有實(shí)際效果教師可以設(shè)計(jì)以下形式的學(xué)習(xí)任務(wù)單，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)圓周角課前完成

“24.1.4 圓周角”學(xué)習(xí)任務(wù)單(一)在△ABC中(如圖2所示)1.內(nèi)角和定理:∠A +∠B+∠C=.2.外角定理:∠ACD=+.圖2(二)利用三角形外角和定理證明(如圖3①～③所示)1.如圖①,已知∠COB是等腰△AOC頂角的一個(gè)外角,求證:∠COB=2∠A.2.變式訓(xùn)練:圖形變換.(1)如圖②,等腰△AOC和等腰△AOD沿公共腰AB所在的直線拼接在同一水平方向上,求證:∠COD=2∠CAD.(2)如圖③,把圖②中的等腰△AOC沿AB翻轉(zhuǎn)180°,求證:∠COD=2∠CAD.圖3(三)圓心角定理的應(yīng)用(如圖4所示)1.定義:頂點(diǎn)在的角叫圓心角.2.定理練習(xí):如圖④所示,在☉O中,AB、CD是兩條弦,如果弧AB=弧CD,那么、;如果AB=CD,那么、;如果∠AOB=∠COD,那么、.圖4(四)點(diǎn)P是☉O上任意一點(diǎn),以P為頂點(diǎn)畫(huà)角,思考:∠P的兩邊與☉O有幾種不同的位置關(guān)系,分別畫(huà)出來(lái).

圓周角定理的證明是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)，會(huì)占用學(xué)生大量的學(xué)習(xí)時(shí)間，但本章節(jié)是教學(xué)重點(diǎn)，必須讓學(xué)生掌握定理的證明方法，深刻體會(huì)分類(lèi)討論思想另外，學(xué)生只利用課上時(shí)間很難完成學(xué)習(xí)任務(wù)，這樣容易導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏系統(tǒng)性和連貫性這時(shí)，作為前置學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)任務(wù)單作用得以體現(xiàn)在學(xué)習(xí)任務(wù)單中的第一題、第二題，使學(xué)生回顧了三角形外角定理及應(yīng)用與此同時(shí)，第二題是圓周角定理證明的變式，這個(gè)練習(xí)承上啟下，既是復(fù)習(xí)，也是鋪墊，為圓周角定理的證明提供了知識(shí)和方法的儲(chǔ)備，分解了課堂學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，突出了重點(diǎn)；第三題，是對(duì)前一節(jié)圓心角的復(fù)習(xí)，同時(shí)也為用類(lèi)比的方法學(xué)習(xí)圓周角定理推論埋下了伏筆；第四題，讓學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手，嘗試和體會(huì)分類(lèi)討論思想，向?qū)W生滲透分類(lèi)討論思想，為學(xué)生學(xué)習(xí)分類(lèi)討論思想埋下了思維的種子

二、突顯教學(xué)原點(diǎn)，初步感知，體會(huì)分類(lèi)討論思想

起點(diǎn)決定路徑方向，教師整體把握教材，追根溯源，突顯教學(xué)原點(diǎn)是成功的一半有了上面的教材分析，教學(xué)原點(diǎn)自然明了，從點(diǎn)與圓的位置關(guān)系入手教師在白板上畫(huà)圓，給出問(wèn)題：

1在平面上畫(huà)一個(gè)圓，圓把平面分成幾部分？第一次滲透分類(lèi)討論思想：圓把平面分成三部分，圓內(nèi)、圓上、圓外問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，但很多同學(xué)存在錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，認(rèn)為把平面分成圓內(nèi)、圓外兩部分，而忽視了圓上的情況所以，此問(wèn)題的提出是完全有必要的，是第二問(wèn)題的銜接

2平面上的點(diǎn)與圓有幾種位置關(guān)系？第二次滲透分類(lèi)討論思想：點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系，點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外，因?yàn)辄c(diǎn)與圓存在三種位置關(guān)系，才能得到與圓不同位置關(guān)系的三種角

3以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作角，因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)位置不同，可以得到與圓位置不同的幾種角？第三次滲透分類(lèi)討論思想：有三種角，頂點(diǎn)分別在圓內(nèi)、圓上、圓外，不妨分別叫圓內(nèi)角、圓上角、圓外角，這是與圓相關(guān)角的生發(fā)地，使學(xué)生認(rèn)識(shí)這些角的外延

這三個(gè)問(wèn)題是互相銜接、層層遞進(jìn)的，前者是后者的“出發(fā)點(diǎn)”，后者是前者的“生發(fā)點(diǎn)”師生互動(dòng)，共同探討，分別在白板上畫(huà)出圓內(nèi)角、圓上角、圓外角這一教學(xué)過(guò)程三次向?qū)W生滲透了分類(lèi)討論思想點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是后面學(xué)習(xí)的內(nèi)容，把這部分內(nèi)容前置并滲透，是因?yàn)辄c(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系決定了與圓有關(guān)的三種角，得到了三種角，也就找到了學(xué)習(xí)圓心角、圓周角、弦切角等角的源頭首先，使學(xué)生初步感受了圓周角與圓心角的本質(zhì)不同(頂點(diǎn)的位置不同)；其次，承上啟下，為后面圓周角的概念教學(xué)做好了鋪墊更重要的是，教師使學(xué)生感受了知識(shí)的來(lái)龍去脈、前因后果，知識(shí)更系統(tǒng)，邏輯關(guān)系更清晰，使前后知識(shí)融會(huì)貫通，順理成章

三、突破教學(xué)生長(zhǎng)點(diǎn)，深刻印象，感受分類(lèi)討論思想

尋找新舊知識(shí)的銜接點(diǎn)，使圓周角與圓心角無(wú)縫對(duì)接，即認(rèn)清圓周角概念的內(nèi)涵和外延，同時(shí)看清圓周角與圓心角的區(qū)別與聯(lián)系，突破教學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn)，成為畫(huà)龍點(diǎn)睛之筆通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解到：由角的頂點(diǎn)與圓的位置不同，得到了與圓相關(guān)的三種角，教師再次給出問(wèn)題：

1圓內(nèi)角的兩邊與圓有怎樣的位置關(guān)系？因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以角的兩邊與圓的位置關(guān)系也是唯一確定的，圓內(nèi)角的兩邊永遠(yuǎn)與圓相交同時(shí)，圓心角是特殊的圓內(nèi)角，也就滲透了圓心角與圓周角的共同點(diǎn)——兩邊都與圓相交

2圓上角(圓外角暫不進(jìn)行研究)的兩邊與圓有幾種位置關(guān)系？這個(gè)問(wèn)題是圓上角到圓周角的過(guò)渡與銜接，使學(xué)生認(rèn)識(shí)圓周角的外延，同時(shí)，也是教學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn)，揭示圓心角與圓周角概念的本質(zhì)，由于角的頂點(diǎn)與圓的不同位置關(guān)系決定的兩種不同的角

研究問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)自主探究，動(dòng)手畫(huà)、小組交流，互相補(bǔ)充，得到圓上角的兩邊與圓的三種不同的關(guān)系：①兩邊與圓都不相交；②一邊與圓相交另一邊與圓不相交；③兩邊與圓都相交讓學(xué)生感受了三種圓上角及分類(lèi)討論思想，是上一環(huán)節(jié)的深入步驟在此基礎(chǔ)上，教師在電子白板上進(jìn)行動(dòng)畫(huà)演示，把一個(gè)圓上角繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生直觀地感受三種圓上角及分類(lèi)討論思想，為圓心角與圓周角的對(duì)比打下基礎(chǔ)有了前面的學(xué)習(xí)，教師指明研究方向：我們今天主要研究圓上角最特殊的情況，兩邊與圓都相交的圓上角，為了區(qū)別于其他兩種情況，我們把它叫做——圓周角教師接下來(lái)的任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生研究圓周角的內(nèi)涵，有了前面問(wèn)題的研究，已經(jīng)為概念的教學(xué)做好了鋪墊，教師要給學(xué)生自我表達(dá)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生嘗試自己闡述定義；教師也要允許學(xué)生犯錯(cuò)，產(chǎn)生問(wèn)題沖突，學(xué)生在教師引導(dǎo)與點(diǎn)撥下、同伴互助下不斷修正自己的總結(jié)內(nèi)容，不斷提升與完善，進(jìn)而完整總結(jié)圓周角的概念

四、突出教學(xué)核心點(diǎn)，提升認(rèn)知，深化分類(lèi)討論思想.

本節(jié)內(nèi)容核心知識(shí)是圓周角的定理及推論，核心問(wèn)題是同弧所對(duì)的圓心角和圓周角的位置與數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)完概念以后，教師讓學(xué)生自己畫(huà)出同弧所對(duì)的圓心角和圓周角，并引導(dǎo)學(xué)生分析弧所對(duì)的圓周角、圓周角的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)動(dòng)手畫(huà)圖讓學(xué)生感知弧與圓心角一一對(duì)應(yīng)關(guān)系及弧所對(duì)圓周角的不確定性

教師提出問(wèn)題：一段弧對(duì)一個(gè)圓心角和多個(gè)圓周角，那么，同弧所對(duì)的圓心角與多個(gè)圓周角有幾種位置關(guān)系？

學(xué)生通過(guò)動(dòng)手繪圖、小組合作、組際交流、研究探討同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的三種位置關(guān)系，這是本節(jié)課的核心問(wèn)題，是前面問(wèn)題的升華，也是分類(lèi)討論思想的最深刻的應(yīng)用，是上一環(huán)節(jié)的提升然后，教師再次通過(guò)電子白板進(jìn)行動(dòng)畫(huà)演示，通過(guò)移動(dòng)圓周角的頂點(diǎn)，讓學(xué)生直觀地體會(huì)同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的三種不同的位置關(guān)系，深化了分類(lèi)討論思想

以上內(nèi)容首先研究了同弧所對(duì)圓心角與圓周角的位置關(guān)系，完成了第一階段的內(nèi)容研究位置關(guān)系后，教師引導(dǎo)學(xué)生研究同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的數(shù)量關(guān)系教師再次提出：“學(xué)習(xí)圓心角時(shí)，我們主要學(xué)習(xí)了圓心角定理(等弧所對(duì)的圓周角相等)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了同弧所對(duì)的圓心角與圓周角有三種不同的位置關(guān)系，那么，同弧所對(duì)的圓周角之間、圓心角與圓周角之間是不是也存在著一定的數(shù)量關(guān)系呢？你能不能受圓心角定理的啟發(fā)，進(jìn)行大膽的猜想呢？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探究圓周角定理及推論

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)層次鮮明，銜接緊密，精心構(gòu)建問(wèn)題串，用問(wèn)題引導(dǎo)知識(shí)點(diǎn)，使知識(shí)點(diǎn)一環(huán)緊扣一環(huán)；教學(xué)設(shè)計(jì)邏輯性強(qiáng)，由位置關(guān)系到數(shù)量關(guān)系，思維順暢，循序漸進(jìn)，逐步深化這樣的設(shè)計(jì)能夠先后五次讓學(xué)生體會(huì)、感受與感悟分類(lèi)討論思想，也讓學(xué)生充分經(jīng)歷了從具體到抽象，從特殊到一般的思維過(guò)程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)具有豐富的思維含量，學(xué)習(xí)價(jià)值最大化