含參數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的極值解

吳怡敏， 沈欽銳

(閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 福建 漳州 363000)

單調(diào)迭代結(jié)合上下解的方法已經(jīng)成為研究微分方程特別是整數(shù)階常微分方程邊值問(wèn)題的極值解存在性的一個(gè)有力工具.文獻(xiàn)[1]中考慮了一類帶參數(shù)的微分方程邊值問(wèn)題：

但是對(duì)于分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程，利用單調(diào)迭代結(jié)合上下解方法研究其極值解的文獻(xiàn)還是比較少.故為了更好地發(fā)展單調(diào)迭代方法，本文將分?jǐn)?shù)階的微分方程通過(guò)分?jǐn)?shù)階微積分理論轉(zhuǎn)化為一階常微分方程，然后利用一些解的比較結(jié)果得出了該分?jǐn)?shù)階微分方程的極值解的存在性.

本文考慮了如下一類帶參數(shù)的分?jǐn)?shù)階脈沖泛函微分方程邊值問(wèn)題的極值解的存在性：

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[1]函數(shù)f：J′→R的α>0階Rieman-Liouille積分是指

引理2[1]對(duì)于Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程，當(dāng)t∈(tk，tk+1]，k=1，2，…，m時(shí)有

u(t)+c0+c1(t-tk)+…+cn-1(t-tk)n-1，

ci∈R，i=1，2，…，n，

其中，n=[α]+1．

考慮如下形式的線性微分方程

(2)

2 主要結(jié)果

(3)

定理21)稱(x，λ)是(3)的一個(gè)下解，如果(x，λ)∈PC1[J，R]×R且滿足

2)稱(y，β)是(3)的一個(gè)上解，如果(y，β)∈PC1[J，R]×R且滿足

引理3[2]假設(shè)u(t)∈PC1[J，R]，p，q∈PC[J，R]，dk≥0，bk∈R，使得

成立，則

定理3若邊值問(wèn)題(3)的上解和下解分別是(v0(t)，β0)、(u0(t)，λ0)，其中u0(t)、v0(t)是具有階數(shù)為α的連續(xù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，并且有(v0(t)，β0)≥(u0(t)，λ0)，t∈[-τ，T].假設(shè)下列條件成立：

(H1)對(duì)于任意的(x1，λ1)，(x2，λ2)∈PC′[J×R，R]，如果x1

-M(x-y)-N(xt-yt)；

則問(wèn)題(3)在序區(qū)間[u0，v0]×[λ0，β0]上有極大解和極小解.其中

[u0，v0]×[λ0，β0]={u∈PC[J，R]：

u0≤u≤v0，λ∈R，λ0≤λ≤β，t∈[-τ，T]}．

證明若存在(u(t)，λ)∈[u0，v0]×[λ0，β0]滿足問(wèn)題(3)，則對(duì)任意(η，s)∈[u0，v0]×[λ0，β0]，線性方程的初值問(wèn)題

(4)

存在且有唯一解表示為

(5)

G(η(T)，s)-l(λ-s)=0有

(6)

證明當(dāng)t∈[0，t1]時(shí)，由引理2得

由u(0)=k0，得c1=k0.所以當(dāng)t∈[0，t1]時(shí)，

當(dāng)t∈(t1，t2]時(shí)，由引理2得

由Δu(tk)=Ik(η(tk)，s)-Lk[u(tk)-η(tk)]得

c2=I1(η(t1)，s)-L1[u(t1)-η(t1)]+

所以當(dāng)t∈(t1，t2]時(shí)，

當(dāng)t∈(tk，tk+1]時(shí)，

綜上，(5)為問(wèn)題(4)的解.下證唯一性.

先假設(shè)下列條件成立：

(A1) 存在常數(shù)k1>0，k2>0使得不等式成立,

定義算子Φ：E→E，再令(5)式右邊為Φu(t)，則證明問(wèn)題(4)解的唯一性轉(zhuǎn)化為證明Φu(t)具有不動(dòng)點(diǎn)，即Φu(t)=u(t)．

令w(·)：[-τ，0]→R,定義如下函數(shù)，

(6)

等價(jià)．定義算子T：L1[J，R]→L1[J，R],

(7)

由此算子Φ有不動(dòng)點(diǎn)就轉(zhuǎn)化為算子T有不動(dòng)點(diǎn)．

對(duì)?(z1，λ1)、(z2，λ2)∈L1[J，R]×R，t∈[0，T]，當(dāng)t∈[0，t1]時(shí)，

|(Tz1)(t)-(Tz2)(t)|=

當(dāng)t∈(tk，tk+1]時(shí)，

|(Tz1)(t)-(Tz2)(t)|=

由(A2)知T是壓縮映射算子，(7)有不動(dòng)點(diǎn)，故(4)有唯一解．

定義算子A：[u0，v0]×[λ0，β0]→PC′[J，R]×R為A(η，s)=(u，λ)，其中u，λ分別由(5)、(6)給出，若滿足|f(tk，v(tk)，β，vtk)-f(tk，u(tk)，β，utk)|=Q(tk)，則算子A有下述性質(zhì)：

1) (u0，λ0)≤A(u0，λ0)，A(v0，β0)≤(v0，β0)；

2)A在[u0，v0]×[λ0，β0]上不減，即若(η1，s1)≤(η2，s2)，則有A(η1，s1)≤A(η2，s2)．

下證1)，令(u1，λ1)=A(u0，λ0)，p=u0-u1，則

p′(t)=u′0-u′1≤f(t，u0，λ0，u0t)+

f(t，u0，λ0，u0t)+M(u1(t)-u0(t))+

f(tk，u1(tk)，λ1，u1tk)≤M(u1(t)-u0(t))+

N(u1t-u0t)+Q(tk)=

-Mp(t)+N(u1t-u0t)+Q(tk)，t∈J′，

Δp(tk)=Δu0(tk)-Δu1(tk)≤

Ik(u0(tk)，λ0)-Ik(u0(tk)，λ0)+

Lk[u1(tk)-u0(tk)]=-Lkp(tk)，k=1，2，…，m，

p(0)=u0(0)-u1(0)≤0；p(t)=0，t∈[-τ，0].

由引理1知p(t)≤0(t∈[-τ，T])成立．

①當(dāng)p(t)<0時(shí)，u0

綜上可得(u0，λ0)≤A(u0，λ0)；同理可證A(v0，β0)≤(v0，β0)．

下證2),記(ui，λi)=A(ηi，si)，i=1，2.令p=u1-u2，則由(5)知

p′(t)=u′1-u′2=f(t，η1，s1，η1t)-

f(tk，u1(tk)，λ1，u1tk)-f(t，η2，s2，η2t)-M(u2(t)-

f(tk，u2(tk)，λ2，u2tk)≤M(η2-η1)+

N(η2t-η1t)-M(u1(t)-u2(t))+M(η1(t)-η2(t))-N(u1t-u2t)+N(η1t-η2t)+Q(tk)≤

-Mp+N(u2t-u1t)+Q(tk)，Δp(tk)=Δu1(tk)-

Δu2(tk)=Ik(η1(tk)，s1)-Lk[u1(tk)-η1(tk)]-Ik(η2(tk)，s2)+Lk[u2(tk)-η2(tk)]≤-Lkp(tk)，

p(0)=u1(0)-u2(0)=k0-k0=0，

p(t)=0，t∈[-τ，0].

由引理1得p(t)≤0，t∈[-τ，T].

①當(dāng)p(t)<0時(shí)，u1

②當(dāng)p(t)=0時(shí)，u1=u2，由0=G(η1(T)，s1)-l(λ1-s1)-G(η2(T)，s2)+l(λ2-s2)≤-l(λ1-λ2)，知λ1≤λ2.

綜上A(η1，s1)≤A(η2，s2).

利用上述類似討論，使用歸納的方法得到一個(gè)關(guān)于問(wèn)題(3)上下解序列{un(t)，λn}、{vn(t)，βn}并且(un+1，λn+1)=A(un，λn)、(vn+1，βn+1)=A(vn，βn)，n=0，1，2….則由1)，2)得(u0，λ0)≤(u1，λ1)≤…≤(un，λn)≤…≤(vn，βn)≤…≤(v1，β1)≤(v0，β0),并且由(4)、(5)、(6)知上述上下解序列具有如下定義：

(8)

(9)

且易知(8)、(9)的解為：

由于序列{un(t)，λn}單調(diào)不減有上界，序列{vn(t)，βn}單調(diào)不增有下界，可得序列{un(t)，λn}、{vn(t)，βn}分別在[0，T]上一致收斂，記

由f、G的連續(xù)性及(8)、(9)知當(dāng)n→∞時(shí)，(u，λ)，(v，β)都是問(wèn)題(3)的解.下證(u，λ)，(v，β)分別是問(wèn)題(3)的極小解和極大解.令(η，s)∈[u0，v0]×[λ0，β0]是問(wèn)題(3)的任一解.要證

(u，λ)≤(η，s)≤(v，β)，t∈[0，T]，

首先(u0，λ0)≤(η，s)≤(v0，β0)對(duì)任意t成立.假設(shè)對(duì)于n∈N，式(un，λn)≤(η，s)≤(vn，βn)成立．

令x(t)=un+1-η，由(8)和(3)，

x′(t)=u′n+1-η′=f(t，un，λn，unt)-

f(tk，un+1(tk)，λn+1，un+1，tk)-f(t，η，s，ηt)-

M(η-un)+N(ηt-unt)-M(un+1-un)-

N(un+1，t-unt)+Q(tk)=

-Mx(t)+N(ηt-un+1，t)+Q(tk)，

Δx(tk)=Δun+1(tk)-Δη(tk)=Ik(un(tk)，λn)-Lk[un+1(tk)-un(tk)]-Ik(η(tk)，s)≤Lk[η(tk)-un(tk)]-Lk[un+1(tk)-un(tk)]=-Lkx(tk)，k=1，2，…，m，

x(0)=un+1(0)-η(0)=0；

x(t)=0，t∈[-τ，0]，

由引理1得x(t)≤0，t∈[-τ，T].

①當(dāng)x(t)<0時(shí)，un+1<η，則(un+1，λn+1)<(η，s)成立.

②當(dāng)x(t)=0時(shí)，un+1=η，由

0=G(un(T)，λn)-l(λn+1-λn)-G(η(T)，s)≤-l(λn+1-s)，

知λn+1≤s.綜上(un+1，λn+1)≤(η，s)成立.同理可證(η，s)≤(vn+1，βn+1)，故有(un+1，λn+1)≤(η，s)≤(vn+1，βn+1)，再由數(shù)學(xué)歸納法可知(un，λn)≤(η，s)≤(vn，βn)對(duì)任意的n∈N都成立.令n→∞得(u，λ)≤(η，s)≤(v，β)，t∈[0，T].因此，問(wèn)題(3)在[u0，v0]×[λ0，β0]上有極大解(v，β)和極小解(u，λ)，即問(wèn)題(1)在[u0，v0]×[λ0，β0]上有極大解(v，β)和極小解(u，λ)，證畢．

3 實(shí)例

例1考慮如下含參數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題：

(10)

易知(10)等價(jià)于

(11)

f(t，v，λv，vt)-f(t，u，λu，ut)=

λvv-λuu-sint(vt-ut)≥

λu(v-u)-sin 1(vt-ut),