數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：積累基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的有效載體
——以“直線的傾斜角與斜率”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

徐長(zhǎng)俊

一、引言

當(dāng)前的中職數(shù)學(xué)教學(xué)缺少讓學(xué)生形成基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的環(huán)節(jié)，導(dǎo)致學(xué)生難以理解有些抽象的數(shù)學(xué)概念或者結(jié)論，抽象性是中職學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的最大障礙?！盎緮?shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”是指在數(shù)學(xué)目標(biāo)的指引下，通過對(duì)具體事物進(jìn)行實(shí)際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時(shí)所形成的認(rèn)識(shí)。中職數(shù)學(xué)教師基本都是由普通高中考入大學(xué)的，受普通高中的傳統(tǒng)教學(xué)方法耳濡目染，自然也成為自己的教學(xué)習(xí)慣，但是對(duì)中職學(xué)生用演繹和推理的方法講解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，顯然是行不通的。

學(xué)生的基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)要從數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)恰好提供了一個(gè)很好的數(shù)學(xué)活動(dòng)的形式。數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“數(shù)學(xué)既是一門系統(tǒng)性的演繹科學(xué)又是一種實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！币虼?有必要將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以分成傳統(tǒng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指利用實(shí)物模型或數(shù)學(xué)教具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指以計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用為平臺(tái)進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)中需要“動(dòng)態(tài)”呈現(xiàn)的“圖形與幾何”等問題利用傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)手段難以實(shí)現(xiàn)。相比較而言，以計(jì)算機(jī)軟件為平臺(tái)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在這方面具有極大的優(yōu)勢(shì)。

對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)普遍沒有積極性，數(shù)學(xué)思維能力又不足的中職學(xué)生，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蜃屍湓趧?dòng)手操作的過程中歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，從晦澀難懂的演繹推理中解放出來，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“旁觀者”變成“發(fā)現(xiàn)者”，幫助學(xué)生在積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程，讓數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)不再枯燥無味。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以有力促進(jìn)中職學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的提高。

本文以“直線的傾斜角與斜率”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談一談筆者在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的一些嘗試。

二、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)時(shí)代情境，導(dǎo)入新知

讓學(xué)生觀看蘇通大橋短視頻（如圖1）。

圖1

（教師旁白）蘇通大橋位于南通和蘇州之間，跨徑為1088 米，是當(dāng)今世界跨徑最大、基礎(chǔ)最深、橋塔最高、拉索最長(zhǎng)斜拉橋。

師：看完這段視頻，我們的感受是……

生：宏偉、國(guó)家的強(qiáng)大……

師：從蘇通大橋的斜拉索我們能抽象出什么幾何圖形？

生：直線。

（二）設(shè)計(jì)探究實(shí)驗(yàn)，感知新知

以下實(shí)驗(yàn)都是在GeoGebra 軟件中進(jìn)行。

實(shí)驗(yàn)1：指導(dǎo)學(xué)生完成斜拉橋的繪圖（如圖 2）。

圖2

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^畫斜拉橋，實(shí)際體會(huì)確定一條直線的條件，同時(shí)感知實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)美。

師：圖2 中斜拉索所在直線相對(duì)于橋邊線的傾斜程度是否相同？

生：有些相同，有些不同。

師：我們用什么量刻畫斜拉索的傾斜程度？

生思考……

師：用斜拉索所在直線與橋邊線的夾角刻畫斜拉索的傾斜程度，像這樣的角稱為傾斜角。

實(shí)驗(yàn)2：指導(dǎo)學(xué)生在GeoGebra 軟件中轉(zhuǎn)動(dòng)如圖3 的直線。

圖3

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模鹤寣W(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中感知傾斜角定義的過程。

師：兩直線相交構(gòu)成四個(gè)角，你們選擇哪一個(gè)角刻畫直線的傾斜程度比較合適。

生：角1。

師：如何描述這個(gè)角？

生思考……

師：傾斜角的定義。

傾斜角：直線與x 軸相交時(shí)，直線向上的方向與x 軸所夾最小正角。

師：我們知道已知兩點(diǎn)可以確定一條直線，如果直線過點(diǎn)A、B，傾斜角為，那么這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與傾斜角是不是存在某種關(guān)系？

生思考……

實(shí)驗(yàn)3：指導(dǎo)學(xué)生在GeoGebra 軟件中（如圖4 和圖5）作出經(jīng)過兩點(diǎn)直線的傾斜角。

圖4

圖5

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模阂龑?dǎo)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中體會(huì)并歸納傾斜角與兩點(diǎn)的坐標(biāo)變化之間的關(guān)系。

師：觀察圖4 和圖5，歸納傾斜角和兩點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

師：這個(gè)比值和坡度的定義很類似，我們定義為斜率，斜率和傾斜角的關(guān)系很顯然就是k=tanα。

（三）設(shè)計(jì)嘗試實(shí)驗(yàn)，理解新知

實(shí)驗(yàn)4：指導(dǎo)學(xué)生（如圖6）在GeoGebra 軟件中移動(dòng)點(diǎn)的位置，使得直線的斜率等于所給的值。

圖6

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模很浖梢圆粩嗟仉S機(jī)提出類似問題，學(xué)生用不同的方法反復(fù)嘗試和檢驗(yàn)，過程中有可能會(huì)反復(fù)出現(xiàn)失敗。學(xué)生在對(duì)照公式的不斷試錯(cuò)中，逐漸理解已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率的公式的幾何意義。

（四）設(shè)計(jì)類比實(shí)驗(yàn)，應(yīng)用新知

實(shí)驗(yàn)5：小明早晨去爬山，如圖7，請(qǐng)問他爬哪段山坡會(huì)比較吃力？

圖7

設(shè)計(jì)目的：判斷哪段山坡比較吃力當(dāng)然不能完全靠感覺。此實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生將直線的斜率定義和初中已經(jīng)接觸過的“坡度”概念進(jìn)行類比，學(xué)會(huì)用數(shù)據(jù)“說話”，解決生活中的一些實(shí)際問題。

三、幾點(diǎn)思考

（一）基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的中職數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的必要性

某些抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與生產(chǎn)和生活中的實(shí)際問題存在緊密聯(lián)系。學(xué)生在脫離實(shí)際問題的教學(xué)活動(dòng)中難以獲得這些數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解，也難以牢固記憶相關(guān)的概念和公式。教師可以利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將抽象直觀化、可視化，可以引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷一個(gè)概念形成過程，引導(dǎo)學(xué)生感悟知識(shí)發(fā)生過程、理解知識(shí)結(jié)果。

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的生成是數(shù)學(xué)知識(shí)、問題解決、數(shù)學(xué)思維聯(lián)結(jié)融合的結(jié)果。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)形成的關(guān)鍵載體, 學(xué)生在解決問題中才能真正認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)，生成數(shù)學(xué)思維能力。有很多數(shù)學(xué)知識(shí)是動(dòng)態(tài)的，或者是比較抽象的，缺乏基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的中職學(xué)生在理解教師用系統(tǒng)演繹的方法講解數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中障礙很大。

（二）基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的中職數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的可行性

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是在教師引導(dǎo)下，學(xué)生在動(dòng)手動(dòng)腦中完成的數(shù)學(xué)活動(dòng)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是能充分展示探究過程的教與學(xué)的活動(dòng)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要能給學(xué)生提供一個(gè)動(dòng)手解決數(shù)學(xué)問題的平臺(tái)，在情境導(dǎo)入環(huán)節(jié)，在知識(shí)和概念的引入環(huán)節(jié)，在知識(shí)鞏固環(huán)節(jié)都可以設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生從具象中歸納出抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是要能讓學(xué)生在解決一個(gè)個(gè)問題過程中經(jīng)歷不斷的嘗試、觀察和歸納的數(shù)學(xué)活動(dòng)，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

但是，一方面，學(xué)生要完成傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有時(shí)需要花大量時(shí)間，效率低，中職學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間是非常少的，同時(shí)實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果也難以掌控。另一方面，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)需要教師準(zhǔn)備大量的材料，消費(fèi)巨大，難以承受。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在引入中職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中困難重重，而基于計(jì)算機(jī)技術(shù)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芎芎媒鉀Q上述問題。計(jì)算機(jī)軟件能簡(jiǎn)化和模擬實(shí)際問題，易于學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行反復(fù)操作、觀察和歸納數(shù)學(xué)活動(dòng)，大大提高了教學(xué)效率。實(shí)驗(yàn)也不需要準(zhǔn)備一大堆材料，便于教師在以后的教學(xué)活動(dòng)中反復(fù)使用和改進(jìn)。

（三）基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的中職數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的注意點(diǎn)

1.教師是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)者。要將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入中職數(shù)學(xué)課堂，作為數(shù)學(xué)教師不能將別人設(shè)計(jì)好的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)脕砭陀?，教師自己必須有設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的能力。這些能力包括：（1）熟練掌握至少一個(gè)數(shù)學(xué)軟件，如GeoGebra、幾何畫板、Maple 等；（2）大量閱讀數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的案例，模仿案例設(shè)計(jì)自己需要的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；（3）熟知中職學(xué)生的認(rèn)知能力和特點(diǎn)，這樣才能站在學(xué)生角度設(shè)計(jì)出學(xué)生能夠完成的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，才能引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)和探索。

2.實(shí)驗(yàn)要用適當(dāng)問題驅(qū)動(dòng)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)必須要有目的，學(xué)生操作數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要解決一個(gè)具體的問題。教師設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要能讓學(xué)生在做實(shí)驗(yàn)的過程中自主觀察、思考并且歸納結(jié)論，繼而回答教師提出的一個(gè)個(gè)問題。當(dāng)然，這個(gè)問題不能過于簡(jiǎn)單，必須是學(xué)生直接思考難以回答的問題，這樣我們的實(shí)驗(yàn)才有意義，才能真正讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中有所收獲。問題也不能過于復(fù)雜，否則設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也必然復(fù)雜，可以將復(fù)雜的問題分解成幾個(gè)連貫的適當(dāng)?shù)膯栴}，相應(yīng)設(shè)計(jì)幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

3.實(shí)驗(yàn)要易于學(xué)生操作和觀察。教師設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的操作不能復(fù)雜。除了實(shí)驗(yàn)必須有明確的目的之外，利用計(jì)算機(jī)軟件設(shè)計(jì)的虛擬實(shí)驗(yàn)還要簡(jiǎn)單明了，易于學(xué)生操作。過于復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)不知道如何下手。教師設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)時(shí)可以適當(dāng)加一些文字引導(dǎo)或者說明，一步步引導(dǎo)學(xué)生操作、觀察和歸納，教師在學(xué)生做實(shí)驗(yàn)時(shí)也要適時(shí)加以指導(dǎo)。

4.實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)要以學(xué)生為主體。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的主體是學(xué)生，必須要由學(xué)生完成實(shí)驗(yàn)的所有過程，絕對(duì)不能是教師做實(shí)驗(yàn)展示給學(xué)生看。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的就是要讓學(xué)生在“做中思”，在“做中學(xué)”，讓學(xué)生成為知識(shí)發(fā)現(xiàn)的親歷者。教師不能因?yàn)閳D省時(shí)間、趕進(jìn)度而剝奪學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)。只有充分尊重學(xué)生主體地位的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，才能讓學(xué)生真正獲得基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，也才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升。