考慮攻角約束的導(dǎo)彈制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)

吳 笛，王心明，何金剛，張金鵬，李世華*

(1. 東南大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，南京 210096； 2. 中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽(yáng) 471009)

0 引 言

在常規(guī)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，導(dǎo)彈制導(dǎo)和控制系統(tǒng)通常是分離設(shè)計(jì)的，即傳統(tǒng)的級(jí)聯(lián)或雙環(huán)制導(dǎo)和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。這種分離的設(shè)計(jì)方法難以充分利用兩個(gè)子系統(tǒng)之間的協(xié)同關(guān)系，也難以嚴(yán)格保證整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[1]。同時(shí)，隨著更高的性能需求和精度要求，特別是目標(biāo)高機(jī)動(dòng)的情況下，頻譜分離的假設(shè)往往是不能被滿足的[2-3]。

為了提高導(dǎo)彈的制導(dǎo)性能，文獻(xiàn)[2-4]提出了制導(dǎo)控制一體化的設(shè)計(jì)框架。一體化設(shè)計(jì)是將制導(dǎo)與控制進(jìn)行結(jié)合建模同時(shí)考慮，針對(duì)整個(gè)系統(tǒng)回路進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，根據(jù)導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)直接生成舵角偏轉(zhuǎn)指令。這一設(shè)計(jì)思路可以在一定程度上加快導(dǎo)彈的響應(yīng)，大大減小脫靶量。近年來(lái)，基于一體化的設(shè)計(jì)思想，許多控制策略被應(yīng)用來(lái)設(shè)計(jì)相應(yīng)的制導(dǎo)律，如反步法設(shè)計(jì)、反饋線性化、滑模變結(jié)構(gòu)控制方法、魯棒控制等[5-11]。針對(duì)彈道導(dǎo)彈攔截器，文獻(xiàn)[12]提出了一種基于反步法設(shè)計(jì)技術(shù)的自適應(yīng)制導(dǎo)控制一體化控制方法。文獻(xiàn)[13]在針對(duì)導(dǎo)彈一體化系統(tǒng)的控制律設(shè)計(jì)過(guò)程中采用了次優(yōu)的θ-D控制方法。利用高階滑模控制技術(shù)，文獻(xiàn)[14]開(kāi)發(fā)了一種用于攔截器的綜合自動(dòng)駕駛儀和制導(dǎo)算法。

在實(shí)際的應(yīng)用中，導(dǎo)彈飛行時(shí)其攻角必須被嚴(yán)格的限定在一定范圍內(nèi)，才能保證其飛行的穩(wěn)定性和良好的制導(dǎo)效果。一方面，導(dǎo)彈在飛行過(guò)程中必須限制導(dǎo)彈的正常過(guò)載，以防止結(jié)構(gòu)損傷[15-17]。根據(jù)其氣動(dòng)特性，可以將導(dǎo)彈的過(guò)載約束轉(zhuǎn)化為對(duì)攻角的約束[18]。另一方面，過(guò)大的攻角可能令導(dǎo)彈進(jìn)入失速狀態(tài)，導(dǎo)致其氣動(dòng)力的強(qiáng)非線性和強(qiáng)耦合變得非常嚴(yán)重，從而對(duì)導(dǎo)彈的穩(wěn)定性和制導(dǎo)效果造成一定的影響[19-20]。基于此，各種方法被采用來(lái)實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈的攻角約束，如模型預(yù)測(cè)控制[21]、不變集概念[22]、參考調(diào)節(jié)器[23]、障礙李雅普諾夫函數(shù)法[24]等。模型預(yù)測(cè)的本質(zhì)是將控制設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題，其難以處理建模的不確定性以及干擾帶來(lái)的影響，同時(shí)對(duì)計(jì)算量的需求較大； 不變集是使從不變集開(kāi)始的狀態(tài)始終保持在這個(gè)集合之中，不變集本身的估計(jì)高度依賴于李雅普諾夫函數(shù)的選取，同時(shí)其對(duì)系統(tǒng)所有的初始狀態(tài)都存在一定的約束限制； 參考調(diào)節(jié)器是通過(guò)對(duì)期望軌跡的規(guī)劃來(lái)實(shí)現(xiàn)約束，但并不是直接作用于閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)，而是通過(guò)修改系統(tǒng)期望來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際狀態(tài)的約束，這還取決于系統(tǒng)的跟蹤誤差； 障礙李雅普諾夫函數(shù)法可以做到對(duì)輸出的約束，但在運(yùn)用反步法進(jìn)行狀態(tài)約束遞推的時(shí)候，只能做到對(duì)虛擬控制器和狀態(tài)之間的誤差的約束。

本文針對(duì)二維制導(dǎo)控制一體化系統(tǒng)，考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)和導(dǎo)彈攻角約束的情況，提出了一種基于廣義比例積分觀測(cè)器(GPIO)帶攻角受限的復(fù)合制導(dǎo)控制方法。首先，將導(dǎo)彈的制導(dǎo)與控制一體化系統(tǒng)作為一個(gè)整體的模型進(jìn)行考慮。針對(duì)由目標(biāo)機(jī)動(dòng)和導(dǎo)彈參數(shù)攝動(dòng)等帶來(lái)的影響，將其作為集總擾動(dòng)，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的廣義比例積分觀測(cè)器來(lái)獲取對(duì)集總擾動(dòng)的估計(jì)信息。針對(duì)制導(dǎo)與控制一體化這一整體的系統(tǒng)，利用分塊反步法的設(shè)計(jì)思想，引入懲罰機(jī)制來(lái)對(duì)導(dǎo)彈的攻角進(jìn)行約束，并在控制方案的設(shè)計(jì)過(guò)程中融入從GPIO所獲得的集總擾動(dòng)估計(jì)信息對(duì)系統(tǒng)中各通道的集總擾動(dòng)進(jìn)行精確補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)在攻角受限的約束條件下的精確制導(dǎo)。通過(guò)嚴(yán)格的理論分析和數(shù)值仿真，驗(yàn)證了所提出的控制方案的有效性。創(chuàng)新點(diǎn)主要有以下三點(diǎn)：(1)控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔，復(fù)雜度較低； (2)考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)和導(dǎo)彈參數(shù)攝動(dòng)等帶來(lái)的影響，以提高系統(tǒng)魯棒性以及制導(dǎo)精度； (3)考慮到導(dǎo)彈攻角存在約束的情況，使得導(dǎo)彈攻角不會(huì)超出約束值。在控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程中，既不對(duì)非約束的初始狀態(tài)施加一定的限制(如不變集)，也不依賴于大量的計(jì)算量(如模型預(yù)測(cè)控制)，同時(shí)也不是對(duì)狀態(tài)進(jìn)行間接約束(如參考調(diào)節(jié)器、障礙李雅普諾夫函數(shù)法)。

1 問(wèn)題描述

1.1 模型描述

在縱向二維平面xoy下，將導(dǎo)彈和目標(biāo)都看作質(zhì)點(diǎn)，導(dǎo)彈和目標(biāo)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖，如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Missile-target relative motion relationship

圖中，M和T分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)；q為視線角；r為彈目相對(duì)距離；am和at分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的加速度；vm和vt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度；ηm和ηt分別為導(dǎo)彈航跡角和目標(biāo)航跡角?；诖?，可以建立導(dǎo)彈和目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的極坐標(biāo)方程：

(1)

就軸對(duì)稱(chēng)戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈而言，彈體縱向加速度可以近似表示為

(2)

將式(1)～(2)整理重構(gòu)，并采用近似cos(q-ηm)≈1，二維彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型可構(gòu)造為

(3)

進(jìn)一步，考慮如下導(dǎo)彈縱向彈目平面線性化姿態(tài)控制模型[25]：

(4)

由此，式(4)可以簡(jiǎn)化表述為

(5)

(6)

即

1.2 控制目標(biāo)

為了實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，需進(jìn)行以下假設(shè)：

本文的控制目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)攻角約束和對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的末制導(dǎo)攔截?；谏鲜黾僭O(shè)，可以將控制目標(biāo)用如下的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行描述：

(7)

2 主要結(jié)果

為了減輕外部干擾的影響，針對(duì)式(6)中存在的干擾進(jìn)行廣義比例積分觀測(cè)器的設(shè)計(jì)，然后基于觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)的觀測(cè)值進(jìn)行前饋補(bǔ)償，并在考慮攻角約束的情況下進(jìn)行制導(dǎo)控制方法的設(shè)計(jì)。

2.1 廣義比例積分觀測(cè)器設(shè)計(jì)

針對(duì)式(6)中存在的干擾進(jìn)行廣義比例積分觀測(cè)器的設(shè)計(jì)，然后基于觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)的觀測(cè)值，并考慮攻角約束進(jìn)行制導(dǎo)控制方法的設(shè)計(jì)。

考慮到受限的情況，且系統(tǒng)受到外部/內(nèi)部干擾的影響(集總干擾)，故對(duì)擾動(dòng)d1需有額外的限制條件。

定理1：針對(duì)式(6)，在滿足假設(shè)3的前提下，構(gòu)造如下的廣義比例積分觀測(cè)器：

(8)

式中：zk=[zk1,zk2,zk3]T∈3(k=0, 1, …,n)分別為x,d,…,d(n)的估計(jì)值;l0,l1,l2, …,ln為正常數(shù); 擾動(dòng)估計(jì)值將漸近收斂到集總擾動(dòng)d，且對(duì)擾動(dòng)各階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)值也會(huì)漸近收斂到真實(shí)值，即

證明：不難發(fā)現(xiàn)，式(8)可以拆解為三個(gè)觀測(cè)器。不失一般性，這里僅對(duì)其中一個(gè)觀測(cè)器給出證明過(guò)程。

定義誤差變量：

e=[e0,e1, …,en]T

結(jié)合式(7)～(8)，可以構(gòu)造如下觀測(cè)誤差方程：

(9)

2.2 基于觀測(cè)器的攻角受限制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

定理2：針對(duì)式(6)，結(jié)合式(8)，設(shè)計(jì)復(fù)合制導(dǎo)律：

(10)

(1) 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)有界

(11)

將其沿式(6)求導(dǎo)可得

(12)

式中：k1>0為正增益常數(shù)；x3d為虛擬的輸入信號(hào)。若將虛擬輸入x3d設(shè)計(jì)為

(13)

則有

(14)

定義狀態(tài)變量ξ=x3-x3d，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

(15)

將其對(duì)式(6)求導(dǎo)可得

(16)

若制導(dǎo)律u設(shè)計(jì)為

(17)

則有

(18)

綜上所述，定義V=V1+V2，將式(14)和式(18)代入求導(dǎo)，且結(jié)合對(duì)于集總干擾d1的有界假設(shè)(假設(shè)4)，可以獲得如下不等關(guān)系：

(19)

(20)

(21)

(3) 系統(tǒng)狀態(tài)x1漸近穩(wěn)定

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文所提出的制導(dǎo)控制方案的有效性，在Matlab/Simulink平臺(tái)上進(jìn)行了仿真。將式(10)和注釋1中的普通復(fù)合制導(dǎo)律進(jìn)行仿真比較。設(shè)系統(tǒng)初始條件為：r(0)=10 km，q(0)=30°，ηm(0)=45°，ηt(0)=120°。在末制導(dǎo)階段，導(dǎo)彈和目標(biāo)都具有恒定速度，分別為：vm=500 m/s，vt=250 m/s?？刂萍s束(俯仰舵偏角)為|δ|≤30°。

針對(duì)三通道的干擾采用三組五階GPIO(即n=4)進(jìn)行觀測(cè)估計(jì)。觀測(cè)器增益選取為l0=25,l1=250,l2=1 250,l3=3 125,l4=3 125。

兩種制導(dǎo)律的仿真結(jié)果如圖2～6所示，包括導(dǎo)彈與目標(biāo)的飛行軌跡、彈目相對(duì)距離r、攻角α、舵偏角δ和GPIO對(duì)干擾d1,d2,d3的觀測(cè)曲線。

圖2 導(dǎo)彈與目標(biāo)的飛行軌跡Fig.2 Flight trajectories of missile and target

從圖2可以看出，兩種制導(dǎo)律具有相似的彈道。且彈道較為平滑； 圖3彈目相對(duì)距離的曲線表明兩種制導(dǎo)律均可擊中目標(biāo)。由于仿真對(duì)比的兩種制導(dǎo)律均采用“前饋+反饋”的復(fù)合結(jié)構(gòu)，且采用的增益參數(shù)是相同的，因此其對(duì)不確定性參數(shù)和擾動(dòng)等都具有較強(qiáng)的魯棒性(均能擊中目標(biāo))。同時(shí)，本文所提出的帶攻角約束的復(fù)合制導(dǎo)律可以保證攻角不超出約束限制，而大部分的情況，在兩種制導(dǎo)律下，導(dǎo)彈的攻角都是離約束邊界較遠(yuǎn)(如圖4所示)，使得兩者的控制輸入，即俯仰舵偏角，是相似的(如圖5所示)。因此，兩種制導(dǎo)律下的結(jié)果是相似的，即具有相近的脫靶量和飛行時(shí)間。表1中給出了相應(yīng)的脫靶量和飛行時(shí)間。從圖4中可以明確看出，在整個(gè)制導(dǎo)過(guò)程中本文所提出的方法滿足對(duì)攻角的約束，而去除懲罰機(jī)制之后的普通復(fù)合制導(dǎo)律存在攻角超出約束的情況。圖6中給出了擾動(dòng)估計(jì)曲線，由于兩種方法的觀測(cè)器的增益是相同的，因此兩種方法是沒(méi)有太大區(qū)別的。

圖3 彈目相對(duì)距離曲線Fig.3 Curves of missile-target relative distances

圖4 攻角曲線Fig.4 Curves of angle of attack

圖5 俯仰舵偏角(控制輸入)曲線Fig.5 Curves of pitch rudder angle (control input)

圖6 擾動(dòng)估計(jì)曲線Fig.6 Curves of disturbance estimation

表1 導(dǎo)彈脫靶量和飛行時(shí)間

4 結(jié) 論

將導(dǎo)彈的制導(dǎo)與控制系統(tǒng)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行一體化設(shè)計(jì)對(duì)于提高導(dǎo)彈整體性能具有重要的意義。本文主要針對(duì)二維的制導(dǎo)控制一體化系統(tǒng)(結(jié)合彈目相對(duì)距離模型和導(dǎo)彈的姿態(tài)模型)，考慮到其中干擾的影響，基于廣義比例積分觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行觀測(cè)，并在制導(dǎo)律中進(jìn)行精確補(bǔ)償。此外，在此基礎(chǔ)上考慮導(dǎo)彈的攻角受限問(wèn)題，在制導(dǎo)律中引入懲罰機(jī)制來(lái)對(duì)其進(jìn)行有效約束。仿真結(jié)果表明本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律在保證較高制導(dǎo)精度的同時(shí)可以對(duì)導(dǎo)彈的攻角進(jìn)行有效的約束。