跳噪聲擾動(dòng)下人工壓縮Navier-Stokes方程解的適定性*

張 芳

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210046)

Navier-Stokes方程是描述不可壓縮流體動(dòng)量守恒的運(yùn)動(dòng)方程，它在物理流體力學(xué)、大氣航空、海洋動(dòng)力系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用.Navier-Stokes方程的求解一直是人們關(guān)注的一個(gè)課題，而求解不可壓方程組中由對流項(xiàng)而產(chǎn)生的非線性問題的光滑解是相當(dāng)困難的[1].為了克服不可壓約束條件數(shù)值計(jì)算困難，Chorin[2]和Temam[3]在連續(xù)性方程中加入一個(gè)虛擬的壓力時(shí)間導(dǎo)數(shù)，這種方法即人工壓縮法.然而，很多物理現(xiàn)象僅用偏微分方程來描述是不精確的，因此研究者期望可以通過加入噪聲擾動(dòng)來獲得更合理的結(jié)果，且偏微分方程的解在較弱的條件下依然滿足存在唯一性[4-6].目前，學(xué)者圍繞帶跳噪聲的Navier-Stokes方程解的適定性展開了深入研究，得到了很多實(shí)質(zhì)性的結(jié)果[7-8].為了能更好地揭示病毒的發(fā)生規(guī)律和傳播過程，以及模擬布朗粒子的反常擴(kuò)散等現(xiàn)象，研究帶跳噪聲擾動(dòng)下人工壓縮Navier-Stokes方程是十分有意義的，而將Minty-Browder方法應(yīng)用于隨機(jī)Navier-Stokes方程是經(jīng)典的解決方法[9-12].筆者擬利用能量估計(jì)與收斂準(zhǔn)則，討論跳噪聲擾動(dòng)下人工壓縮Navier-Stokes方程解的適定性.

1 預(yù)備知識(shí)

假設(shè)(H,|·|H)是一個(gè)希爾伯特空間，那么存在唯一的一個(gè)與循序可測過程ξ：R+×Z×Ω→H有關(guān)的連續(xù)的線性算子I.I(ξ)是一個(gè)H-值的適定cdlg過程，ξ可表示為且ξ滿足

(1)

對于任意滿足(1)式的隨機(jī)過程ξ,有

其中{0=t0

由算子I的連續(xù)性可得

所有的循序可測過程ξ：R+×Z×Ω→H滿足(1)式，定義為M2(R+，L2(Z,ν,H)).

2 相關(guān)引理

令D?R2是一個(gè)有光滑邊界的有界區(qū)域，u和p分別表示速度和壓力，則人工壓縮Navier-Stokes方程組為

(2)

|(u·?)v，w|=-(Divu)w,v-(u·?)w,v,

(3)

(4)

(3)，(4)式的右邊可以用L4范數(shù)去估計(jì)uivj.

引理1[4]對于任意在R2內(nèi)的光滑實(shí)值函數(shù)φ和ψ，有

(5)

為了得到方程(6)解的存在唯一性，噪聲測度σ需要滿足下列條件：

條件1假設(shè)存在非負(fù)數(shù)K0,K1,K2,L1,L2，使得對于所有的t∈[0,T]且u，v∈V，有

3 主要結(jié)果及其證明

(6)

在(0,T)內(nèi)，方程組(6)的初值條件為(u(0),v)=(u0,v)，(p(0),q)=(p0,q).

(7)

在(0,T)內(nèi)，方程組(7)的初值條件為(u(0),v)=(u0,v).

定理1假設(shè)條件1滿足，且對于任意F0可測的H-值函數(shù)ξ滿足E|ξ|4<+∞,那么方程組(6)存在唯一解(u,p)={(u(t),p(t)):0≤t<+∞},滿足

C{E(|u(0)|2m+ε|p(0)|2m)+1} ?T>0.

證明解的存在性證明.由方程組(7)，可得

(8)

(un(t)·?)un(t),un(t)=-un(t)Divun(t),un(t)-(un(t)·?)un(t),un(t),

(9)

(9)式移項(xiàng)可得

(10)

(11)

對(8)，(10)，(11)式進(jìn)行積分，可得

接下來，計(jì)算隨機(jī)過程

F(t)∶=(|un(t)|2+ε|pn(t)|2)e-δt.

(12)

(13)

于是(13)式可以化為

(14)

整理(14)式，可得

(15)

對(15)式兩端同時(shí)做數(shù)學(xué)期望，可得

(16)

類似地，考慮F(t)∶=(|un(t)|2m+ε|pn(t)|2m)e-δt,同理可得

2m|un(s)|2(m-1)(un(s),σn(s,un(s),z)η(ds,dz)|e-δt}.

令

又令

由Lévy-Burholder-Davis-Gundy不等式，可知

于是對于I(t),有

(17)

其中ε,K2，K充分小.對(17)式 應(yīng)用Gronwall's不等式,可得

(18)

由(8)，(16)，(18)式的一致估計(jì)及(5)式的局部單調(diào)性，再結(jié)合經(jīng)典的Minty-Browder方法[11]，即可證明定理1中解的存在性.

解的唯一性證明.假設(shè)(u,p),(v,p)是方程組(2)的具有相同初值的解，令w=v-u，則

(19)

由ε?t(q(t)-p(t))+Divw(t)=0,再結(jié)合條件1和引理4，可得

由此可得

(20)

對(20)式利用Gronwall引理，即可證明定理1中解的唯一性.證畢.