三水平最小低階投影均勻設計的設計效率*

柏啟明，黃興友，薛慧麗，李洪毅

(吉首大學數學與統(tǒng)計學院，湖南 吉首 416000)

從經濟角度出發(fā)，部分因析設計被廣泛應用于工農業(yè)等領域，其關鍵是如何從完全因析設計中挑選試驗點.部分因析設計可分為正規(guī)設計與非正規(guī)設計.正規(guī)部分因析設計主要是利用最大分辨度準則和最小低階混雜準則來衡量部分因析設計的優(yōu)良性[1-2].對于非正規(guī)部分因析設計，通常使用廣義最小低階混雜準則、正交性準則、設計效率準則和最小低階投影均勻性準則篩選最優(yōu)非正規(guī)部分因析設計[3-6].與正規(guī)部分因析設計相比，非正規(guī)部分因析設計試驗次數更靈活，成本更低，運用更廣泛.

均勻設計是由方開泰和王元于20世紀70年代末提出的一種試驗設計方法[7-8]，它要求試驗點在試驗區(qū)域內均勻散布.關于均勻設計的研究已獲得豐富的成果[9-10].基于因子效應的稀疏原則，低維投影的均勻性非常重要，因此許多學者討論了設計的低維投影的均勻性[11-14].例如，針對二水平設計，Zhang等[11]討論了均勻性模式分別與B向量及廣義字長型之間的解析關系；在中心化L2-偏差下，Qin等[12]討論了二水平最小低階投影均勻設計的設計效率，發(fā)現最小低階投影均勻性準則與設計效率準則在設計的強度為2時等價.而在實際試驗中，二水平設計已不能滿足試驗需求，因此有必要研究更高水平設計的投影均勻性與設計效率的關系.

1 基本概念和符號

1.1 正交表

對于一個具有n次試驗、s個三水平因子的設計，若每個水平數在每個因子中出現相同次數，則稱該設計為U-型設計，這種設計的集合記為U(n;3s).對于任意設計d∈U(n;3s)，若在設計d中任意t列的所有水平組合在所有n×t子矩陣中出現的頻率相等，則稱設計d是強度為t的正交表，記為OA(n;3s，t).特別地，t=2時的正交表稱為正交設計，t=1時的正交表就是一個U-型設計.

1.2 廣義最小低階混雜準則

對于設計d∈U(n;3s)，a，b是d中的任意2行，記設計d中行a與行b之間的重合數為δab，即a，b行之間對應位置為相同元素的位置個數.dH(a，b)=s-δab，為設計d的行a與行b之間的Hamming距離.對于j=0，1，…，s，定義

稱向量(E0(d)，…，Es(d))為設計d的距離分布.記|Ω|表示集合Ω的秩.

根據距離分布，Xu等[3]給出了設計d的廣義字長型Ai(d)，

廣義最小低階混雜準則是選擇設計d使得序貫最小化向量(A1(d)，…，As(d)).由Krawtchouk多項式的正交性，有

1.3 正交性準則

對于任意設計d∈U(n;3s)，其任意一個處理組合記為e=(e1，…，es)，其中ei=0，1，2，i=1，…，s.記V為所有v=3s個處理組合構成的集合.對于?e∈V，記yd(e)為設計d中出現處理組合e的次數，yd為yd(e)按字典順序排列得到的v×1維列向量.

記Ω為所有二值的s元組構成的集合.對于?x=(x1，…，xs)∈Ω，定義矩陣

Γ(x)=L(x1)?…?L(xs)，

其中?為Kronecker積，Γ(x)的階數為v×v.對于i=0，1，…，s，記Ωi為Ω中恰好含有i個1元素構成的集合，定義

稱(B1(d)，B2(d)，…，Bs(d))為設計d的B向量.B1(d)，B2(d)，…，Bs(d)度量了設計d與正交設計隨強度遞增時的距離.正交性準則是選擇設計d使得序貫最小化B向量(B1(d)，B2(d)，…，Bs(d))[4].

1.4 最小低階投影均勻性準則

設計d∈U(n;3s)可看作一個矩陣(xij)n×s，其中xij=0，1，2，i=1，2，…，n，j=1，2，…，s.記Jg={u={u1，…，ug}|u?{1，…，s}，|u|=g}為{1，2，…，s}中的所有秩是g的子集構成的集合，其中g=1，2，…，s.Jg中的任一元素u={u1，…，ug}唯一的對應于設計d的一個投影到因子u1，…，ug的g維子設計，記為du.設計d的u-投影中心化L2-偏差記為CDu(d)，

基于中心化L2-偏差，給出如下三水平設計的均勻性模式：

(2)

1.5 設計效率準則

記

對于任一h，Eh值越小，設計d的設計效率越高.設計效率準則是在效應稀疏原則下要求對于每一個h，特別是較小的h，對應的Eh值較小[5].

2 均勻性模式與設計效率的關系

以下引理給出了三水平設計d的廣義字長型與均勻性模式之間的關系：

引理1[13]對于任意設計d∈U(n;3s)，1≤g≤s，有

(3)

(4)

下面的定理給出了三水平設計的B向量與均勻性模式之間的解析關系：

定理1對于任意設計d∈U(n;3s)，1≤g≤s，有

(5)

(6)

從(5)式不難看出，設計d的均勻性模式可用B向量線性表示且Bi(d)的系數為非負數.這說明，對于任意設計d∈U(n;3s)，最小低階投影均勻性準則等價于正交性準則.

為了獲得最小低價投影均勻設計的設計效率，給出如下引理：

引理2[5]設d∈U(n;3s)是一個強度為2的正交設計，則對于1≤h≤H，有

(7)

下面的定理給出了強度為2的三水平正交設計的設計效率與均勻性模式之間的關系：

定理2設d∈OA(n;3s，2)，則對于1≤h≤H，有

(8)

其中

(9)

(10)

將(9)，(10)式代入(7)式，定理2成立.證畢.

推論1設d∈OA(n;3s，3)，則對于1≤h≤H，有

注2推論1表明，對于強度為3的三水平正交表，最小低階投影均勻性準則與設計效率準則是完全等價的.

3 三水平設計均勻性模式的下界

在度量和搜尋最小低階投影均勻設計中，設計均勻性模式的下界起著重要的作用.基于中心化L2-偏差，筆者給出了三水平設計均勻性模式緊的下界.

對于任意設計d∈U(n;3s)，u∈Jg，1≤g≤s，由文獻[13]有

因此，設計d的均勻性模式可表示為

(11)

為了得到設計d均勻性模式的下界，給出如下引理：

引理3[14]對于任意設計d∈U(n;3s)，u∈Jg，1≤g≤s，有

下面的定理給出了三水平設計均勻性模式的下界：

定理3對于任意設計d∈U(n;3s)，u∈Jg，1≤g≤s，有

其中

證明由(11)式有

由引理4有

證畢.

4 數值實例

表1 數值結果

從表1可知，設計d1的強度為3，d2，d3的強度為2，這3個設計按最小低階投影均勻性準則、廣義最小低階混雜準則、正交性準則和設計效率準則排序的結果完全一致，即d1在這些準則下最優(yōu)，d2其次，d3最差.

例2考慮設計d4∈U(9;33)和d5∈U(6;35)，

設計d4和d5的均勻性模式及其下界見表2.

表2 設計d4和d5的均勻性模式及其下界

6 結語

基于中心化L2-偏差，主要研究了三水平設計的設計效率與投影均勻性之間的關系，發(fā)現對于三水平強度為3的正交表，最小低階投影均勻性準則等價于設計效率準則，同時還獲得了三水平設計均勻性模式緊的下界，該下界可以作為搜尋最小低階投影均勻設計的基準.本研究的對象主要是三水平設計，筆者接下來會討論更一般的情況，特別是q水平和混水平設計.